初中数学教学中的变式训练探究

【摘 要】新课程标准指出：数学思维能力的培养，其核心是为学习者未来的发展打下基础，在于培养学习者的数感、数学观念和数学思维。数学思维的过程就是分析、综合、判断、推理的过程，并在此基础上派生抽象、概括、比较、分类、系统化和具体化的“产品”――数学思维成果。变式教学与变式训练正好满足这一过程的要求，提供综合思维训练的一个模式，是培养和形成数学思维的有效形式。

【关键词】变式训练;主要类型;应对策略;注意事项

思维是人类对现实的间接概括的认识过程（不同于感觉和知觉）。数学思维能力的培养，其核心是为学习者未来的发展打下基础，在于培养学习者的数感、数学观念和数学思维。数学思维的过程就是分析、综合、判断、推理的过程，并在此基础上派生抽象、概括、比较、分类、系统化和具体化的“产品”――数学思维成果。变式教学与变式训练正好满足这一过程的要求，提供综合思维训练的一个模式.所以说，变式训练的教与学是培养和形成数学思维的有效形式。

一、变式题主要类型

现就有理数的相反数的学习中一些重要概念作具体的变式分析。

（1）相反数的定义是[标准题]

（2）-4的相反数是[标准题]

（3）若有理数x与y的和等于0，试比较x2与y2的大小，[简单变式，条件变式]

（4）在数轴上，表示一对相反数的点，离开原点的距离，[简单变式，变结论]

（5）判断题：a与-a必有一个是负数（），[变结论形式]

（6）一个数的2n+1次幂与它的相反数的2n次幂相等，这个数是（n是自然数）[条件和解答过程都复杂化，结论也复杂化]

由上我们得到：变式题是对标准题而言的，那些条件明显，推理过程（解答过程）明显，结论明确的题，我们把它叫做标准题。所谓变式题主要有以下四种变式：①变条件，②变解答过程，③变结论，④复合变式：变条件和过程，变过程和结论，变条件和结论，或者使条件、过程都复杂化。

二、变式题的应对策略

从思维的角度剖析，怎么对付这些变式题（或自编变式题）呢？简单地说，就是教会学生灵活变通的能力。只有教会了学生灵活变通的能力，才能使学生灵活地分析问题，变中求活，并提出新问题。而这种变通能力是一种非常复杂的心理和智能活动，需要教师有意识并长期地加以训练。

1.变条件的变式题

思考的基本方法是向规范条件转化，例如：

[标准题]对角线的四边形是正方形

[变式训练]

（1）对角线的平行四边形是正方形

（2）对角线的矩形是正方形

（3）对角线的菱形是正方形

2.变结论的变式题

对于几何，存在着“几何，几何，叉叉角角，老师难教，学生难学”的普遍现象。我认为在几何教学中运用变式训练就会使学生对几何产生浓厚的兴趣，这种变式训练典型的作法就是把原有的题目进行放大、缩小、改组、添加、重叠、颠倒，克服学生的思维定势，培养学生具体问题具体分析的灵活性。

[标准题]如图1，?ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架，求证：BD=CD。

思路：利用“边边边”公理的证明，然后就引导学生完成下面的变式训练。

[变式训练1]求证：

[变式训练2]求证：ADBC

[变式训练3]已知：如图2，AB=AD，CB=CD，求证：

[变式训练4]已知：如图（3）AB=AD，CB=CD，求证：

破题思路：变式训练1-3属简单变式训练，变式训练4需先构造全等三角形，添加辅助线连结AC，再由得到。

经常进行这样的变式训练，可使学生的思维达到举一反三、触类旁通的效果，从而减轻学生学习几何的畏惧心理。

3.变解答过程的变式题

思考的基本方法是通过推理（或算）分步向结论靠拢.往往需要迁移其他概念、公式、法则，坚持回归教材，全卷大多数试题源于课本，是课本的例题或习题的类比、改造、延伸和拓展。其目的引导教师重视课堂的有效性，在教学过程中，如何让学生真正理解并掌握新知识，如何有效串联已有知识点，把握问题的实质，教师应充分利用教材例题，但不要拘泥于教材，例题习题功能的开发和拓展就是一个能起事半功倍作用的好方法。引导广大教师用好教材，学生学好教材，发挥教材的扩张效应，将有利于推进素质教育和数学课程改革的顺利实施。

如：在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图1所示的几何图形：

（1）请你利用这个几何图形求的值为 ;

（2）请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形;

这是一道2015年某市中考试题，本题中第（1）小题若视为标准题，则第（2）小题就是变解答过程的变式题，也就是我们常说的“一题多解”。

4.复合式变题

思考的基本方法是“三管齐下”，目标变形，解答过程目标化（目标思维），结论层次化（分解结论产生或发生的主渠道）。

[标准题]如图，在一个横截面为Rt?ABC的物体中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米。工人师傅要把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到A1BC1的位置（BC1在l上），最后沿射线BC1的方向平移到A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）。

（1）请直接写出AB、AC的长;

（2）画出在搬动此物体的整个过程中A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）。

（答案：（1）AB=2米，AC=米;（2）画法略，路径长约为5.9米）。

本题为2015某市中考试题，试题体现了数学来源于社会生活实际，又应用于指导实践活动。能用数学的眼光认识世界，并用数学知识和数学方法处理周围的问题，是每个人应具备的基本素养。为加强学生运用数学知识分析、解决简单实际问题的能力，变式一些富有一定的趣味性和挑战性，时代气息与教育价值较强的试题。这种做法有利于引导学生关注生活中的数学，关注身边的数学，培养他们从实际问题中抽象数学模型的能力，促进学生形成学数学、用数学、做数学的意识.若将本题做如下变式：

如图，在一个横截面为矩形ABCD的物体中，长BC=1.2米，宽AB=0.5米。工人师傅要把此物体搬到墙边，先将BC边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点C翻转到矩形A1B1CD1的位置（CD1在l上），最后沿射线BD1的方向平移到矩形A2B2C2D2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2D2恰好靠在墙边）。

（1）请求出AC的长;

（2）画出在搬动此物体的整个过程中A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）。

答案：（1）1.3米 （2）s3.3米

本变式训练由于图形的变式从而引发了思维过程和解答过程的改变，也称迁移式变式训练，意在培养学生知识的迁移能力，培养学生从实际问题中抽象数学模型的能力，很好地体现了“人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的理念。

三、变式训练的注意事项

组织变式训练能提高教学效率。但为了使学生准确掌握知识，在解答新的习题时善于应用过去的经验，需要在精心选择题组的基础上，循序渐进地开展变式训练。训练题目要逐步拓展，障碍可不断增添，但是题与题之间坡度要适当，不能使多数学生望而生畏，在变式训练中，也可让学生自主篇拟题目，相互交换练习。这样做，一方面可促使学生主动把握习题结构，提高对不同类型习题的认识水平;另一方面有利于培养学生的社会适应能力。因为学生毕业以后，他们除了面对社会实践中已有的种种各样的问题外，还要根据自己发现问题、提出问题，并解决问题。

在运用变式训练进行教学时，要注意以下一些问题：一是变式训练应有目的;二是变式训练应从学生的知识基础出发，具有较强的针对性，能将学生的新旧知识很好地联系和串联起来;三是变式训练应突出重点，以点带面;四是变式训练应把握好时机和分寸;五是教师应对变式训练中的题目有比较深入的研究，能够根据学生练习的情况适时予以点拨、引导和启发，把学生的思维不断引向深入。

总之，新课标形成“依标靠本”，教好双基知识，摆脱题海战术的良好风气，促进课程改革的顺利进行，数学思想方法是数学的灵魂，掌握了它，就能驾驶知识，形成能力.变式训练的教与学体现课改精神，培养学生的数感、符号感、统计意识、合情推理等能力，渗透数形结合、运动变化以及函数、方程、归纳、分类等思想.教师平时教学应立足于以激励学生学习、促进学生发展为目的，有意识地进行变式教学，这有利于引导学生掌握数学的精髓，培养和形成数学思维能力，体现了素质教育的要求。

参考文献：

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[2]教育部.数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[3]万福，于建福.教育观念的转变与更新[M].北京：中国和平出版社，2010.

[4]陈玉琨，代蕊华.课程与课堂教学[M].上海：华东师范大学出版社，2002.