高考广东理科数学模拟试题

本试卷分为选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟

第一部分 选择题部分

一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1． 设集合P＝{1，2，3，4，5，6}，Q＝{x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是（ ）

A． Ｐ∩Q=P B． Ｐ∩Q?芡Ｑ

C． Ｐ∪Q=Q D． Ｐ∩QP

2． 有限集合S中元素个数记作card（S），设A、B都为有限集合，给出下列命题：

①A∩B＝?的充要条件是card（A∪B）= card（A）+ card（B）；

②A?哿B的必要条件是card（A）≤card（B）；

③A?埭B的充分条件是card（A）≤card（B）；

④A=B的充要条件是card（A）=card（B）.

其中真命题的序号是（ ）

A． ③④ B． ①② C． ①④ D． ②③

3． 双曲线2x2-y2=8的实轴长是（ ）

A． 2 B． 2 C． 4 D． 4

4． ∈（-，0）,sin=-，则cos（-）的值为( )

A． - B． C． D． -

5． 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x）,则 f（2012）的值为 ( )

A． -1 B． 0 C． 1 D． 2

6． 若函数f（x）＝x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 ( )

A． （-2，2） B． [-2，2] C． （-∞，-1） D． （1，+∞）

7． 给定下列四个命题：

①若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

②若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行；

③垂直于同一平面的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

8. 对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“?莓”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m?莓n=m+n ;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m?莓n=mn．则在此定义下,集合M={（a，b）|a?莓b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ）

A． 10个 B． 15个 C． 16个 D． 18个

第二部分 非选择题部分（110分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（9-14小题为必做题，14-15小题选做一个.）

9． 如图所示是求样本x1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 .

10． 命题“存在x0，使得x02+x0+1>0”的否定为 .

11． 若关于x的不等式m（x-1）>x2-x的解集为{x|1

12． 若函数f（x）=，x≠1，x=则f（0.1）+f（0.2）+f（0.3）+…+f（0.9）= .

13． 等差数列{an}中，a3+a11=，则cos（4a7-）＝______.

14． （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点P（1，-）到曲线l∶sin（+）= 上的点的最短距离为____________．

15.（几何证明选讲选做题）如左图，A，B是圆O上的两点，且OAOB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD= ．

三、解答题，本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．(本小题满分12分) 设全集U＝R，

（1）解关于x的不等式x-1+a-1>0（a∈R）

（2）记A为（1）中不等式的解集，集合B＝｛x|sin（x-）+cos（x-）=0｝，若（CUA）∩B恰有3个元素,求a的取值范围．

17.（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；

（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠? （参考公式）

=，=-

18（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC，顶点在A1底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．

（1）求证：A1C1平面ABA1B1

（2）求棱AA1与BC所成的角的大小；

（3）在线段B1C1上确定一点P，使AP=，并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值．

19．（本小题满分14分）

如图，设Ｐ是圆x2+y2=2上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且PD=MD．点A（0，）、F1（-1，0）．

（1）设在x轴上存在定点F2，使MF1+MF2为定值，试求F2的坐标，并指出定值是多少?

（2）求MA+MF1的最大值，并求此时点M的坐标．

20. （本小题满分14分）

定义数列如下：a1=2，an+1=an2-an+1，n∈N*.

证明：（1）对于n∈N*恒有an+1>an成立；

（2）当n>2且n∈N*，有an+1=anan-1...a2a1+1成立；

（3）1-

21． (本小题14分) 已知函数f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m.

（I）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）;

（II）是否存在实数m，使得y=f（x）的图像与y=g（x）的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.

2012年高考广东理科

数学模拟试题参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 解：Ｐ∩Q={2，3，4，5，6}，故Ｐ∩QP，选择D.

3. 解：由2x2-y2=8，可得-=1，即实轴长为2a=4，故选C.

4. 解： ∈（-，0），故cos>0，cos==，于是cos（-）=-cos=-，即选A.

5. 解：f（x）为奇函数，知f（0）=0，又f（x+2）=-f（x），有周期为T=4，故f（2012）=f（2008）=f（2004）=…=f（0）=0，故选B.

6. 解：f（x）=x3-3x+a，有f ′（x）=3x2-3，令f ′（x）=0，可得x=±1，知f（x）有极大值f（-1）=a+2，极小值f（1）=a-2，又f（x）有3个不同的零点，结合图像只需a+2>0，a-2

7. 解：①中缺少两直线相交的条件，故错误；②中两平面可能是相交关系，故错误；排除A、B、D，故选C.

8. 解：若a，b奇偶性相同，有a+b=12，则（a，b）有11种可能性；若a，b奇偶性相反，有ab=12，则（a，b）有4种可能性，故11+4＝15，选B.

二、填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上（9-14小题为必做题，14-15小题选做一个.））

9． 解：由循环结构的程序框图可知需添加的运算为Ｓ=x1+x2+…+x10的累加求和，故应填S=S+xn.

10． 解：由特称命题的否定形式知“任意x，有x2+x+1≤0” .

11． 解：由m（x-1）＞x2-x，可化为x2-（m+1）x+m＜0，即（x-m）（x-1）＜0，对应方程（x-m）（x-1）=0的两根分别为m和1，又原不等式解集为{x│1＜x＜2}，可知m=2.

12． 解：由f（x）=，x≠1，x=可知函数图像关于点（，1）对称，故f（0.1）+f（0.2）+f（0.3）+…+f（0.9）=9.

13． 解：{an}为等差数列，a3+a11=，可得a7==，故cos（4a7-）=cos=.

14． 解：由l：sin（+）=可化为x+y=1，点P（1，-）在平面直角坐标系下坐标为P（0，-1），故P到l的距离为L==.

15. .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本题满分12分）

解：（1）由│x-1│+a-1＞0，即│x-1│-a．

当a＞1时，解集是R；

当a≤1时，解集是{x│x＜a或x＞2-a}．

（2）当a＞1时，CUA＝；

当a≤1时，CUA＝｛x│a≤x≤2-a}．

因sin（x-）+cos（x-）

＝2［sin（x-）cos+cos（x-）sin］

＝2sinx．

由sinx=0，得x=k（k∈Z），即x=k∈Z，所以B＝Z．

当（CUA）恰有3个元素时，a就满足a＜1，2≤2-a ＜3-1＜a≤0，，

解得-1＜a≤0．

17． （本题满分12分）

解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种……………2分

所以P（A）=1-=………………3分

答：选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是……………4分

（2）由数据可求得=12，=27……………5分

由公式，可求得=，=-=-3…………6分

故y关于x的线性回归方程为=x-3……9分

（3）当时x=10，=×10-3=22，│22-23│＜2；

…………………………………………10分

同样，当x=8时，=×8-3=17，│17-16│＜2．…………………………………………11分

所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． …………………………………………12分

18． （本题满分14分）

解：(1) 证明：ABAC ，AC与A1C1 平行，

A1C1AB ……………………………………1分

又A1B平面ABC，A1BAC.

于是A1BA1C1………………………………2分

又A1B∩AB=B，

所以A1C1 平面ABA1B1…………………4分

（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2）B1（0，4，2，），=（0，2，2），==（2，-2，0）.

cos===-，

故AA1与棱BC所成的角是． ……………8分

（3）设=?姿=（2?姿，-２?姿，0），则P（2?姿，4-２?姿，0）．

于是AP==?圯?姿=（?姿=舍去），

则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2）．……10分

设平面P-AB-A1的法向量为=（x，y，z），则・=0，・=0， 即x+3y+2z=0，2y=0.

令z=1,故=(-2,0,1).………………………12分

而平面ABA1的法向量=（1,0,0），则cos===，

故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是． ……………………………………………………14分

19． （本题满分14分）

解:（1）设点M的坐标是（x，y），P的坐标是（xp，yp）………………………………………………………1分

因为点Ｄ是Ｐ在x轴上投影，M为PD上一点，由条件得：xp=x，且yp=y…………………………2分

Ｐ在圆x2+y2=2上，x2+(y)2=2，整理得+y2=1，c==1……………………4分

即M轨迹是以F1(-1，0)，F2(1，0)为焦点的椭圆.…………………5分

由椭圆的定义可知, │MF1│+│MF2│=2a=6.…………………………6分

（2）由(1)知│MA│+│MF1│=2+│MA│-│MF2│≤2+│AF2│=2+…………9分

当A，F2，M三点共线，且M在延长线上时，取等号………………………………………………………11分

直线AF2：x+=1，联立+y2=1…………12分

其中1＜x，解得x1=，y1=.……13分

即所求的M的坐标是（，）.

……………………………………………………14分

20． （本题满分14分）

解：（1）用数学归纳法易证.

（2）由an+1=a2n-an+1得：

an+1-1=an（an-1），

an-1=an-1（an-1-1）

……

a2-1=a1（a1-1）,

以上各式两边分别相乘得：an+1-1=anan-1…a2a1（a1-1），又a1=2,

an+1=anan-1…a2a1+1.

（3）要证不等式1-＜++…＜1，可先设法求和：++…，再进行适当的放缩.

an+1-1=an（an-1）,

=-,

=-,

++…+

=（-）+（-）+…+（-）

=-=1-＜1.又a1a2…a2012＞a=22012,

1-＞1-，原不等式得证.

21． （本题满分14分）

解：（I）f（x）=-x2+8x=-（x-4）2+16.

当t+1＜4，即t＜3时，f（x）在[t,t+1]上单调递增，

h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7;

当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16；

当t＞4时，f（x）在[t,t+1]上单调递减，

h(t)=f(t)=-t2+8t.

综上，h(t)=-t2+6t+7，t＜316， 3≤t≤4-t2+8t. t＞4

（II）函数y=f（x）的图像与y=g（x）的图像有且只有三个不同的交点，即函数(x)=g（x）-f（x）的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.

（x）=x2-8x+6lnx+m，

′（x）=2x-8+==（x＞0）.

当x∈（0，1）时，′（x）＞0，（x）是增函数；

当x∈（0，3）时，′（x）＜0，（x）是减函数；

当x∈（0，+∞）时，′（x）>0，（x）是增函数；

当x=1，或x=3时，′（x）=0.

（x）最大值=（1）=m-7,（x）最小值=（3）=m+6ln3-15.

当x充分接近0时，（x）＜0；当x充分大时，（x）＞0.

要使（x）的图像与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须（x）最大值=m-7＞0，（x）最小值=m+6ln3-15＜0， 即7＜m＜15-6ln3.

所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图像有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15-6ln3).

（本试题由龙山中学蓝天飞、吴伟阳、李小腾老师拟制）

责任编校 徐国坚