学生是怎样建构数学模型的

在一次调研中，听了一位教师执教人教版三年级“认识东南西北”一课。本节课的教学内容主要由两个例题组成。例1呈现的是学生在操场上辨认东、南、西、北四个方向的活动情境，旨在引导学生在已有生活和知识经验的基础上，根据学生自身的方位来形成辨认东、南、西、北这四个方向，并感受数学与现实生活的密切联系。例2呈现的是学生完成校园示意图的活动情境，旨在引导学生“在图上表示各建筑物的位置关系”，并通过交流“知道地图通常是按上北下南，左西右东绘制”的常识。

教师教学例1前，作了三个层次的铺垫：层次一：请学生根据太阳升起的方位来唤起生活中对“东南西北”四个方位。层次二：在确认黑板的位置为“东”，并贴了“东”这个方位后，请学生说说其他三个方位分别在哪里？并根据学生的回答，黑板上直接呈现右图。层次三：请学生起立，根据教师说的方位转动身体面朝相关方向，加深认识。在上述基础上呈现例1，展开教学。

这样的教学设计在充分利用学生熟悉的生活场景作为教学资源，唤起学生直接经验方面是合理的、有效的，但在从生活场景转换成书面表达的过程中，教师没有给学生留下足够的探索空间，基本是以告知的方式呈现结论，强调了对知识结论的机械记忆，降低了学习过程的思维含量，这对学生经历“东、南、西、北”从生活场景到数学表达的数学化过程是不利的，由此引发如下思考。

一、从生活场景到平面表达，其实是一个建构数学模型的过程

对于三年级的学生来说，在一个具体的生活场景中，根据已经积累的感性经验，只要找到某一个参照物，如“太阳从东方升起”，“树的年轮密的方向是北面”等等，学生就能够辨认“东、南、西、北”四个方向。然而，当需要把一个生动的立体的场景绘制在一个平面上，要求学生用数学的眼光来认识“东、南、西、北”四个方向时，就会存在一定的困难。因为在这个过程中，需要学生经历两个层次的策略转化：一是从生活场景中的“前、后、左、右”的相对性，转化到书面表达时纸上的“上、下、左、右”的相对性；二是从生活场景中“东、南、西、北”的顺时针旋转方式辨认，转化到书面表达“东、南、西、北”时顺时针旋转确定方向时方法的应用。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将模型思想作为数学课程内容的一个重要部分，因此，在学生数学思维的发展过程中，数学模型建构的能力成为一项不可或缺的组成部分。无论是数的认识、形的感知、规律的探究、问题的解决，均可以引导学生用数学的思想方法来表达，形成数学的思维结构，建立数学的意识状态，建构起一定的数学模型。学生对“东、南、西、北”等方向的认识同样如此，从具体生活场景转化到书面表达时，其实质同样是一个数学化、模型化的过程。学生也唯有经历这样一个过程，才能将生活场景中对“东、南、西、北”四个方位的认识经验用到解决数学问题上来。

二、学生是怎样建构数学模型的

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：“建立数学模型的过程可以是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号表示数学问题中的数学关系和变化规律。”那么，在实际教学中，学生能不能完成“东、南、西、北”四个方位的认识这个数学模型的过程？如果能，又需要通过怎样的路径来实现这一过程呢？

一是拉长探索书面表达“东、南、西、北”四个方向的“图示”（即如本文开头的图例）的过程，在充分唤起生活中对“东、南、西、北”四个方向的辨认经验后，经历一个对书面表达的自我探索过程，是实现这个目标的基本途径。

二是在引导学生经历作业纸上尝试表达“东、南、西、北”的图示时，设计三个层次的认识活动作支持。1.激活思维。学生虽然有前期对生活场景中“东、南、西、北”四个方向的辨认体验，但接下来的任务是把生活场景中的“东、南、西、北”四个方向表示在作业纸上，这是一个具有一定挑战性的学习任务，需要激起学生思考，调动其学习的注意力与积极性。2.体验过程。从生活场景中借助直接经验认识“东、南、西、北”四个方向，到平面表达“东、南、西、北”四个方向的位置关系，这是两种不一样的认识方式。一种侧重于直观感知，有时可以借助于直接的操作活动，是一种直观形象的学习过程。而书面表达更多依赖于思维抽象，需要学生把直观感知的信息转换成数学符号，特别是需要借助平面上的“上、下、左、右”与生活场景中的“东、西、南、北”的对应关系，才能准确地完成任务，在认识要求上，远远高于生活场景中的认识。因此，对转化过程的体验是学生必须经历的过程。3.形成经验。有学生的自我探索，就会产生丰富的学习材料，而这些材料正是学生原始思维状态的暴露，是学生自我认知经验的产物，这不仅可以为后续教师的有效引导提供依据，同时也为学生形成活动经验提供保证。

三、数学模型建构中，教师需要给学生提供帮助

对三年级的学生来说，他们对“东、南、西、北”四个方向虽然有一定的生活经验，但对“东、南、西、北”等方位概念的掌握还比较抽象，需要大量的感性支持和丰富的表象积累。因此，教学中，教师在引导学生经历数学化的过程时，还需要给学生提供适时、适度的帮助。

1.在提出书面表达的要求前，利用丰富的生活场景引导学生充分体验。

从教材的编排来看，例1的教学任务是“使学生认识东、南、西、北四个方向，能够用给定的一个方向辨认其余的三个方向，并能用这些词语描述物体所在的方向”，直至例2才有书面表达的要求。因此，教师在组织教学时，如同例1对生活场景解读的教学环节还得拉长，可以多形式组织学生说说生活场景中的“东、南、西、北”。如，教室里的“东、南、西、北”以及“东、南、西、北”各个方向上的物品；结合学生的经验，想象校园中的“东、南、西、北”以及不同方向上的建筑物；体验以自身为标准，说说处在自己“东、南、西、北”方向上的同学等等。这些活动的组织，旨在引导学生充分经历“东、南、西、北”等方向的辨认体验，帮助学生积累丰富的感性经验，从而为后续平面表达作准备。

2.借助书面表达情况的反馈交流，在关注多样性的同时引导学生归纳一般规律。

当学生尝试完成以某一个方位为标准的“方位图例”之后，组织学生交流（此时的交流一般先反馈正确的情况），一般会出现如下情况（不足四种也可）：

对于这些结果，不能仅仅简单地反馈“对”或者“错”，而在于引导学生对这些图例作对比解读，请学生整体观察后说一说，方位图中隐藏着怎样的规律，让学生发现无论哪一幅图中，“东与西”、“南与北”均是相对的；“东、南、西、北”四个方向可以以顺时针方向来辨认，当确定了“东”之后，顺时针辨认依次为“南”、“西”、“北”；同理，当确定了方位“南”之后，顺时针辨认依次为“西”、“北”、“东”等等。当然，此时也需要对学生结合自己经验形成的观察记忆方法作出肯定。如，在课堂上，当学生以自己面朝的方向为起点，他会说：“当我面朝‘东’时，我的右面是‘南’；当我面朝‘南’时，我的右面是‘西’；当我面朝‘西’时，我的右面是‘北’”。这样表达显然是学生自己最能理解的，是其自身认识经验的提炼，值得肯定。教学也只有引导学生达到这样的认识层次，才能认为基本建构起“东、南、西、北”的数学模型。

3.提供多样的场景，加深对“东、南、西、北”四个方位的认识。

当学生初步建立了“东、南、西、北”四个方向的概念之后，教师还需要提供一些场景进行巩固提升。如，例2根据实际场景在图纸上表示相关物体及所处的方位。请学生完成后交流，抓住“东、南、西、北”表示在图例中的相对性及“顺时针方向的辨认规律”等知识的体验进行强化。至此，再说明“地图通常是按上北下南，左西右东”这样的方位顺序来编制的常识，并结合学生生活的城镇地图，请学生以某个场所为标准去说说不同场所的所在方向，就此巩固认识。

类似于“东、南、西、北”这样生活气息很浓的教学内容，在小学数学教学中还有不少。因此，在处理设计这类教学内容时，我们需要思考“如何调动学生思维的参与与活动经验的数学化提炼，引导学生完成数学化、模型化的过程”等基本问题，最终更好地为学生形成数学经验服务。

作者单位

浙江省嘉兴市南湖区教育研究培训中心