引导学生利用空间向量求解空间角

［摘要］立体几何着重研究的是点、线、面之间的关系，研究空间三种位置关系(即空间直线与直线、直线与平面、平面与平面)以及三种角(异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角)的计算，而借助于向量的计算方法来处理立体几何求角度的问题却越来越多。空间向量在解决立体几何问题中的作用得到了更加足够的重视，因此势必成为解决立体几何问题的一个有力工具。

［关键词］空间直角坐标系 法向量 夹角 二面角

［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1009-5349（2011）07－0152－02

［DOI］CNKI:22-1010/C.20110708.1016.001

空间立体几何问题对于学生来说是个难点，有些学生缺乏空间想象能力，因而很害怕立体几何中证明和求角度的问题。本文结合学生实际情况论述了运用空间向量处理立体几何求角度问题的几种方法。希望通过空间向量的方法让学生重新树立信心，可以解决空间立体几何中线线所成的角、线面所成的角、面面所成的角的求角度问题。

一、注意学生基础知识的储备

（一）学会建立适当的空间直角坐标系

1.学生对于立方体、长方体、正四棱柱等空间几何体很熟悉，可以直接建立（在此不再强调）。

2.对于一些不能直接建立的立体图，要尽量建立较好求的坐标系，使更多需要的点落在坐标轴上，这样的点坐标就相对简单了。

例1：2006年全国二卷第（19）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.

（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；

（Ⅱ）设AA1=AC=AB，求二面角A1－AD－C1的大小.

这样的空间几何体应如何建立空间直角坐标系呢？

引导学生观察几何体的特征，如何构造两两垂直的且交与同一个点的三条线。

首先我们知道直三棱柱的特征是侧棱垂直于底面，又知道底面中AB=BC，这是在告诉我们是一个等腰三角形，再考虑等腰三角形的特征，取底边中点，顶点与中点相连，此线便垂直于底边了。这样就找到了三条两两垂直的且交与同一个点的线，就可以建立空间直角坐标系了，以便我们解决问题。

总结一般步骤为：首先，找到垂直于底面的一条线，作为Z轴。其次，在底面上找两条相互垂直的直线，分别作为X轴和Y轴，利用现有三条两两垂直的直线；

总结常用方法：找中点（一般在题中会出现等腰三角形或者等边三角形，往往找到底边的中点，顶点与中点相连，此线便垂直于底边了，把此线作为其中的一轴）。

（二）平面的法向量的求法

在可以建立空间直角坐标系的前提下，我们就可以求某个平面的法向量了。

法向量指的是垂直于面的向量。在用向量解题的过程中，只要遇到面便要求出它的法向量。如何求平面的一个法向量，如例2。

例题2：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。

分析：这个几何体是正方体，可以直接建立空间直角坐标系，找出需要的三点的坐标即可。

略解：以D为原点建立空间直角坐标系，则E(1， ，0) 、F(，1，0)、G(1，0， )

由此得：

设平面的法向量为=(x,y,z)，由及可得

，令y=1，取平面的一个法向量为=(1,1,1)

评析：因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。

二、注重解决问题的方法的引导与总结

（一）求异面直线所成的角（0°θ≤90°）

求异面直线AB与CD所成角的计算，可以先转化为计算向量 与 的夹角，利用向量的数量积公式的变形，即计算

注意：由于两向量的夹角范围为[0°,180°]，而异面直线所成角的范围为0°θ≤90°，若两向量夹角α为钝角，转化到异面直线夹角时为180°-α，学生往往会忽略符号的问题，求出两个向量所成角的余弦值可能会出现负数。学生会直接回答所得的结果，忽略异面直线所成角的余弦值要去掉负号，取正值，忽略了异面直线所成角的范围。

例3：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求DF与BE所成角度的大小。

引导学生利用空间的向量概念以及向量的计算，包括夹角问题，让学生对所学的知识会灵活运用，将其转化为向量问题来解决。让学生自己去建立空间直角坐标系，准确找出四点坐标，并求出两个向量的坐标，再利用公式计算。

（二）求直线与平面所成的角

已知AB为平面α的一条斜线， 为平面α的一个法向量，过A作平面α的垂线AO，连结OB，则∠ABO为斜线AB和平面α所成的角，易知：

特殊情况：当 ，则直线AB与平面α垂直。

例4：（2006佛山模拟卷第17题）四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点，Q为CD的中点。

1.求证：PACD；2.求AQ与平面CDM所成的角。

分析：第一小问用传统方法比较易证；第二小问用传统方法解有一定难度，但用法向量就较简捷。用向量法解题关键是建立适当的直角坐标系，但是这个空间几何体不能直接建立坐标系，要结合题目所给的条件，侧面PCD是边长为2的正三角形，Q为CD的中点，等腰三角形或正三角形要注意利用三线合一的条件，所以有PQ垂直于CD，又点Q为CD中点，∠ADC=60°，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，所以ADC为正三角形，AQQC。那么就可以以点Q为原点，PQ所在直线为Z轴，QA所在直线为X轴，QC所在直线为Y轴，如图所示建立空间直角坐标系，从而使点坐标易找，解法简便。（将几何问题转化为代数问题计算，求出平面CDM的法向量，就可以转换成求法向量与直线AQ的夹角余弦值即为线面角的正弦值。)

（三）求两个平面所成的角即二面角

利用法向量求二面角的大小的原enm理。

设分别为平面α，β的法向量，二面角α-ι-β的大小为θ，向量的夹角为φ，则有θ+φ=π或θ=φ，基本结论：构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角。

此法是利用两平面的法向量的夹角求角。但要注意两平面的法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补的，所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

例5：在长方体ABCD―A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2，点Q是BC的中点，求此时二面角A―A1D―Q的大小。

分析：一是很好建立空间直角坐标系，二是空间向量的方法避免了去找二面角的平面角，可以直接利用求法向量的夹角来求得二面角。

解：如图，建立空间直角坐标系．

依题意：A1（0,0,2），D（0,α,0）．

Q（2,2,0），D（0,4,0），

A1Q=(2,2,-2),QD=(-2,2,0).

面AA1D的法向量 =(1,0,0).

设面A1DQ的法向量 ，则

．令α1=1，则 ，

．

二面角的平面角为锐角

二面角A―A1D―Q的大小为 ．

评析：1.用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找――证――求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象难度，达到不用作图就可以直接计算的目的，更加注重对学生创新能力的培养，体现了课改的精神。

2.此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题。如本题中若令α1=-1，则，

，二面角A―A1D―Q的大小是

=的补角。所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

综上所述，向量方法具有很大的优越性，但是它并不是万能的，只有那些适于建立空间直角坐标系的题目才更加适合。即在计算或证明立体几何问题时，因地制宜地建立空间直角坐标系，从而将空间问题用坐标运算求解，这样有助于学生避免较为复杂的空间想象，通过计算就可以解决问题。空间向量在解决立体几何问题中起了很大的作用，所以应该让它成为学生解决立体几何求空间角问题的一个有力工具。

【参考文献】

[1]普通高中数学课程标准(实验).

[2]数学(必修2及选修2-1).人民教育出版社.

[3]2010年普通高等学校招生全国统一考试说明．

[4]历年全国各省市高考真题及模拟题.