具有随机利率、随机变差的最优投资和联合比例超额损失再保险

Optimal Investment and Combined ProportionalExcess of Loss

Reinsurance with Stochastic Interest and Stochastic Volatility

YANG Peng1, LIN Xiang2

(1.Department of Basic, Xijing College, Xi’an, Shaanxi 710123;

2. School of Mathematics, Central South University, Changsha, Hunan 410075 )

Abstract For jumpdiffusion risk model, we considered the problem of optimal investment and reinsurance. The insurance company can purchase reinsurance for claims and invest the surplus in a riskfree asset and a risky asset. We assume that the form of reinsurance is a combined proportionalexcess of loss reinsurance. We also assume that the riskfree asset has stochastic interest and the risky asset has both stochastic interest and stochastic volatility. By solving the corresponding HamiltonJacobiBellman(HJB) equation, the closedform expressions for the value function as well as the optimal investment and reinsurance policy were obtained. Especially, through an example we interpreted the results more specifically.

Key words stochastic control; HamiltonJacobiBellman(HJB) equation; Jumpdiffusion risk model; stochastic interest; Stochastic volatility

1 引 言

最近，在保险实务中应用随机控制的理论来解决最优投资和再保险问题，已经成为一个研究热点.对于扩散风险模型，Jeanblanc,Shiryaev［1］，Asmussen,Taksar［2］，Hjgaard, Taksar［3］,考虑了到破产时刻为止的期望折现红利.Browne［4］，Taksar,Markussen ［5］，Bai ,Guo［6］等研究了最小化破产概率的最优策略.对于经典的风险模型，Hipp,Plum［7］，Schimidli［8，9］研究了最小化破产概率.对于跳扩散风险过程， Yang,Zhang［10］, Lin［11］研究了最小化破产概率的最优策略.

Browne［4］首先研究了扩散风险模型的最优投资问题,发现了最大化终值财富的最优投资策略.Bai ,Guo［6］对扩散风险模型，获得了使终值财富的指数效用最大的投资和再保险策略.对跳-扩散风险模型，Irgen, Paulsen［12］，获得了使终值财富的指数效用最大的投资和再保险策略.Yang , Zhang［10］，对跳-扩散风险模型获得了使终值财富的指数效用最大的投资策略，但没有考虑再保险.

目前，有许多学者研究风险模型具有随机利率或随机方差的情形.Liu［13］研究了一个投资问题，他假设股票的价格是Heston’s模型.Li , Wu［14］研究了最优投资问题，他们考虑了随机利率、随机方差的情形，获得了最优策略以及值函数的显示表达.

对于再保险的方式，大多数文献只研究比例再保险的情形.本文考虑的为联合比例超额损失再保险；形式也就是，当保险公司的理赔比较小时采用比例再保险，当保险公司的理赔比较大采用超额损失再保险.同时，风险资产还含有泊松跳，利率和方差都是随机的.本文的目标是，寻找最优的投资和再保险策略使保险公司的期望终值财富最大.通过应用随机控制的理论，构造了财富过程满足的HJB方程.进一步，得到了最优策略以及最大化终值财富期望效用的显示解.

2 模型和HamiltonJacobiBellman 方程

2.1 模型

本文假设，交易中不考虑交易费用和税收；所有资产是无穷可分的；交易连续进行.为了数学上更为严格，假设所有的随机变量和随机过程都定义在完备的概率空间Ω,F,P，满足通常条件，也就是Ft右连续且P－完备.

考虑如下的跳扩散风险模型

dUt=αdt+βdW1t－d∑N1ti=1Si，(1)

其中 α＞0是保险公司单位时间的保费收入；{Si,i=1,2,…}是一列独立同分布的(严格)正值随机变量， Si表示第i次赔付的大小；{N1(t),t≥0}是参数为λ1＞0的泊松过程，表示到时刻t为止的总的索赔发生次数；{W1t,t≥0}是标准的布朗运动，β≥0是常数，表示扩散变差参数.此外，假设{Si,i=1,2,…}, {N1(t),t≥0}和{W1t,t≥0}之间是相互独立的.{U(t),t≥0}为保险公司在t时刻的盈余.

现在对模型(1),采取联合比例超额损失再保险，则盈余过程变为

dRt=pα－1+qxkλ1ρpDtdt

+pβdW1t－d∑N1ti=1min pT1,iSi,DT1,i， (2)

这里T1,i是N1的第i次跳. pt 是t时刻保险公司进行再保险的保留额，假设pt是非负可料的.Dt 是超额损失再保险的超出点，假设Dt是非负可料的.超额损失再保险的保费假设是：

1+qxkλ1ρpDt

=1+qxkλ1EptS－Dt+Ft－，(3)

这里 qxk是安全负载，α+=max0,α，ρpDt是时刻t发生理赔时，从超额损失再保险中获得的期望收益.对于常数p和D有

ρpDt=defEpS－D+=p∫∞D/pSxdx，(4)

这里Sx=1－FSx，第二个等式通过分部积分获得.

假设金融市场由两种资产组成：一个是无风险资产，时刻t 时价格记作B(t)；另一种是风险资产时刻t 时价格记作P(t)，B(t)假设满足下面的方程

dB(t)=rtB(t)dt， (5)

这里利率rt 是随机的，满足下面的CIR模型

drt=θ－crtdt+σ0rtdW0t， (6)

且初值r0＞0,W(0)t:t≥0 是标准布朗运动，σ0、θ、c是常数满足 2θ＞σ20,P(t)满足下面的随机微分方程

dP(t)=P(t)rt+kηtdt+σ1ηtdW(2)t+d∑N2ti=1Wi，(7)

其中W(2)t:t≥0 是标准布朗运动，假设W(0)t:t≥0、W(1)t:t≥0、W(2)t:t≥0相互独立，N2t是强度为λ2的泊松过程,ηt满足另一个CIR模型

dηt=b－aηtdt+σ1ηtdW2t . (8)

初值η0＞0,b,a,σ1 是正常数满足2b＞σ21.

设πt 是保险公司在风险资产上投资的比例，把πt,pt,Dt 作为控制变量.在任意时刻t≥0, π=πt，p=pt和D=Dt由保险公司选择.一旦策略pt,Dt,πt确定，则盈余过程变为

dXt=［Xt(rt+kπtηt)+pα－(1+qxk)λ1ρp(Dt)］dt

+σ1XtπtηtdW2t+βptdW1t+πtXtd∑N2ti=1Wi

－d∑N1ti=1min pT1,iSi,DT1,i，(9)

X0=x.

定义1 称策略 pt,Dt,πt 是可行的，如果pt,Dt,πt非负使(9) 有唯一的强解，且对于某常数K＞0满足下面的不等式

Pt+πtXt－＜K1+Xt－. (10)

2.2 HamiltonJacobiBellman (HJB) equation

假设投资者的目标是最大化时刻T时财富的期望效用.设效用函数为ux=xδ, 显然有u′＞0,u″＜0.

本文的目标是寻找最优的值函数

Vt,η,r,x=sup p,D,πEXp,D,πTδXp,D,πt=x(11)

和最优策略 p*,D*,π*使得

Vp*,D*,π*t,η,r,x=Vt,η,r,x.

这里 0＜t＜T， Xp,D,πt是在策略p,D,π下的财富过程.

从Vt,η,r,x满足的HJB着手来解决这个问题.

定理1 假设Vt,η,r,x由 (11) 定义，在0,∞上二阶连续可微.则Vt,η,r,x 满足下面的HJB方程：

supp,π{Vt+［x(r+kπη)+pα－(1+qxk)λ1ρp(D)］Vx

+12σ21x2π2η+p2β2Vxx+b－aηVη

+12σ21ηVηη+σ21xπηVxη+θ－crVr+12σ20rVrr

+λ1E［V(t,η,r,x－min {pS,D})－V(t,η,r,x)］

+λ2E［V(t,η,r,x+πxW)－V(t,η,r,x)］}=0. (12)

边界条件

VT,η,r,x=xδ, (13)

其中Vt,Vx,Vxx分别为V关于t的一阶导数，关于x的一阶导数和关于x的二阶导数.

定理的证明参考Fleming ,Soner［15］中的第四章.

定理2 设W∈C2是一个满足HJB方程(12)和边界条件(13)的单调递增、凹函数，则式(11)定义的最大期望财富Vt,η,r,x恰好等于W.若p*,D*,π*使得

supp,π{Wt+［x(r+kπ*η)+p*α－(1+qxk)λ1ρp(D*)］Wx

+12σ21x2π*2η+p*2β2Wxx+b－aηWη

+12σ21ηWηη+σ21xπηWxη+θ－crVr+12σ20rWrr

+λ1E［W(t,η,r,x－min {p*S,D*})－W(t,η,r,x)］

+λ2EWt,η,r,x+π*xW－Wt,η,r,x}=0. (14)

对于0≤x＜∞,0≤t＜T.则 (p*,D*,π*)是最优的策略，也就是

Wt,η,r,x=Vt,η,r,x

=VP*,D*,π*t,η,r,x.

3 跳扩散风险模型的最优投资和再保险

本节求解HJB方程(12)满足边界条件(13)的解.与Li ,Wu ［14］相似，设值函数满足表达式

Wt,η,r,x=ft,η,rxδ， (15)

其中，对于所有的η 和 r，fT,η,r=1.

把式(15)带入HJB方程(12) ,然后设p=mx,D=nx，有

supm,n,π{ft+［r+kπη+mα－1+qxkλ1ρpn］δf

+12σ21π2η+m2β2δδ－1f+b－aηfη

+12σ21ηfηη+σ21πηδfη+θ－crfr+12σ20rfrr

+λ1fE1－min {mS,n}δ－1

+λ2fE1+πWδ－1}=0. (16)

现在设f(t,η,r)=φ(t)exp {φ(t)η+h(t)r}，边界条件φ(T)=1和 φ(T)=h(T)=0,则 (16)变为

supm,n,π{φ′+［φ′η+h′r］φ+［r+kπη+mα

－1+qxkλ1ρpn］δφ+θ－crφh

+12σ21π2η+m2β2δδ－1φ

+b－aηφφ+12σ21ηφφ2+σ21πηδφφ

+12σ20rφh2+φλ1E1－min {mS,n}δ－1

+φλ2E1+πWδ－1}=0. (17)

下面寻找最优策略m*,n*,π*使(17) 最大.

引理 1 设

f1m,n=12m2β2δ(δ－1)+mαδ

－δ1+qxkλ1ρpn

+λ1E1－min {mS,n}δ－1, (18)

f2π=kπηδ+12σ21π2ηδ(δ－1)

+σ21πηδφ +λ2E1+πWδ－1,(19)

则有下面的结论

1)存在m*和n*(可能取无穷) 使得fm,n在m*,n*处获得最大值.

2)存在一个有限的π*使gπ在π*处获得最大值.

证明 参考Irgens,Paulsen［12］定理3.1证明的方法，在这里不再证明.

把m*,n*,π*带入式(17) 获得

φ′+(φ′η+h′r)+φ［r+kπ*η+m*α

-(1+qxk)λ1ρp(n*)］δφ

+12(σ21π*2η+m*3β2)δ(δ-1)φ

+(b-aη)φ+12σ21ηφ2+σ21π*ηδφ

+(θ-cr)φh+12σ20rφh2

+φλ1E［(1-min{m*S,n*})δ-1］

+φλ2E1+π*Wδ－1=0. (20)

也就是

［φ′+σ21π*δ－aφ+12σ21φ2+12σ21π*δδ－1

+δkπ*］φη+h′－ch+12σ20h2+δφr+φ′

+{b+θh-12m*3β2δ(1-δ)+m*αδ

-(1+qsk)λ1ρp(n*)δ+λ1E［(1+q*S)δ-1］

+λ2E1+π*Wδ－1}φ=0.(21)

然后，只需要解下面三个常微分方程即可：

φ′+σ21π*δ－aφ+12σ21φ2

+12σ21π*δδ－1 +δkπ*=0,

φT=0, (22)

h′－ch+12σ20h2+δ=0,hT=0, (23)

φ′+{b+θh-12m*2β2δ(1-δ)+m*αδ

-(1+qxk)λ1ρp(n*)δ+λ1E［(1+q*S)δ-1］

+λ2E1+π*Wδ－1}φ=0. (24)

解得式(22),式(23),式(24) 如下

φt=ξ1ξ2exp σ212ξ1－ξ2T－t－1ξ2exp σ212ξ1－ξ2T－t－ξ1. (25)

满足条件

2σ21δkπ*＜1σ41σ21π*δ－a+π*δ1－δ

ξ1=－1σ21σ21π*δ－a

－1σ41σ21π*δ－a2－π*δδ－1+2σ21δkπ*,

ξ2=－1σ21σ21π*δ－a

+1σ41σ21π*δ－a2－π*δδ－1+2σ21δkπ*,

ht=ζ1ζ2exp σ202ζ1－ζ2T－t－1ζ2exp σ202ζ1－ζ2Y－t－ζ1.(26)

这里

ζ1=cσ20－cσ202－2δσ20,

ζ2=cσ20+cσ202－2δσ20,

δ＜c22,

φt=exp {bΦT－Φt

+θHT－Ht +gm*,n*,π*T－t} ,(27)

其中Φt=∫t0φsds,Ηt=∫t0hsds,

gm*,n*,π*=-12m*2β2δ(1-δ)+m*αδ

-(1+qxk)λ1ρp(n*)δ+λ1E［(1+q*S)δ-1］

+λ2E［(1+π*W)δ-1］.

所以，有

Wt,η,r,x=exp {b［Φ(T)－Φ(t)］

+θ［H(T)－H(t)］+g(m*,n*,π*)(T－t)

+φ(t)η+h(t)r}xδ. (28)

知道Wt,η,r,x是HJB方程(12)满足边界条件(13)的解.所以，有下面的定理

定理3 对财富过程 (9)，最优的比例再保险策略为p*=xm*∧1, 最优的超额损失再保险策略为D=n*x, m*,n*由式(18)获得.最优的投资策略 π*由式(19)获得.

最优的值函数为

Vt,η,r,x=exp {bΦT－Φt

+θHT－Ht+φ(t)η+h(t)r

+gm*,n*,π*T－t}xδ.(29)

4 例 子

这一节，通过一个例子来说明上一节得到的结论.假设保险公司的盈余满足下面的扩散风险模型：

dUt=αdt+βdW1t, (30)

对式(30) 进行比例再保险(不考虑超额损失再保险).设0≤1－p≤1 是比例再保险的利率,则式(30)变为

dRt=pαdt+pβdW1t. (31)

把式(31)在金融市场上投资，投资方式和第二节介绍的一样，这由定理3可得到下面的结论

定理 4 当保险公司的盈余满足扩散风险模型时，最优的再保险策略为

p*=q*x∧1=αβ2δ1－δx∧1. (32)

最优的投资策略为

π*=k1－δσ21+φt1－δ, (33)

最优的值函数为

Vt,η,r,x=exp {bΦT－Φt

+θHT－Ht+δ1－δT－t

+φtη+htr}xδ. (34)

5 总 结

本文研究了跳-扩散风险模型的最优投资和再保险问题.在考虑再保险时，假设再保险的形式为联合比例-超额损失再保险；在考虑投资时，假设无风险资产和风险资产的利率是随机的，同时风险资产的方差也是随机的.这给问题的解决带来了很大的困难.本文采用了一些技巧，应用HJB方程理论，获得了最优策略、最大化终值财富期望效用的解，得到了比较完美的结果.最后，并通过一个例子解释了得到的结论.

但是本文也存在一些不足，比如：文章给出的结果，没有给出在经济上的解释；在考虑投资时没有考虑交易费用.这些问题将是，以后研究的方向.参考文献

［1］ P JEANBLANC，A N SHIRYAEV.Optimization of the flow of dividends［J］ Russian Mathemaitcal Surveys 1995,50(2):257-277.

［2］ S ASMUSSEN, M TAKSAR.Controlled diffusion models for optimal dividend payout［J］. Insurance :Mathematics and Economics,1997,20(1):1-15.

［3］ B HJGAARD, M Taksar.Controlling risk exposure and dividend payout seemes: Insurance company example［J］. Mathematical Finance, 1999,9(2):153-182.

［4］ S BROWNE.Optimal investment policies for a firm with a random risk process:exponential utility and minimizing the probability of ruin［J］. Mathematics Methods Operator Research 1995,20(4):937-957.

［5］ M TAKSAR, C MARKUSSEN. Optimal dynamic reinsurance policies for large insurance portfolios［J］. Finance and Stochastics 2003,7(1):97-121.

［6］ L BAI, J GUO.Optimal proportional reinsurance and investment with multiple risky assets and noshorting constraint［J］.Insurance Math Econom 2008,42(3): 968-975.

［7］ C HIPP, M PLUM.Optimal investment for investtores with state dependent income, and for insurers［J］.Finance and Stochastics ,2003,7(3):299-321.

［8］ H SCHMIDILi.Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting［J］. Scandinavian Actuarial Journal 2001,1:55-68.

［9］ H SCHMIDLI.On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance［J］.Annals of Applied Probability 2002,12(3):890-907.

［10］H YANG, L ZHANG.Optimal investment for insurer with jumpdiffusion risk process.［J］. Insurance: Mathematics and Economics 2005,37(3) :615-634.

［11］X LIN. Ruin theory for classical risk process that is perturbed by diffusion with risky investments［J］.Appl Stochastic Models Bus Ind,2009, 25:33-44.

［12］C IRGENS,J PAULSEN. Optimal control of risk exposure, reinsurance and investments for insurance portfolios［J］. Insurance: Mathematics and Economics 2004, 35(1) :21-51.

［13］J LIU. Dynamic portfolio choice and risk aversion［R］. Working Paper, UCLA, Los Angeles 2001.

［14］J LI, R WU.Optimal investment problem with stochastic interest rate and stochastic volatility: maximizing a power utility. Applied Stochastic ［J］.Model in Bussiness And Industry 2009, 25(3):407-420.

［15］W H FLEMING , H M SONER.Controlled markove processes and viscosity solutions ［M］.New York: Springer Verlag 1993.