我国国债市场债券凸性价值的测量

【摘要】债券的凸性价值是体现债券本质的重要价值,表现为在利率波动幅度较大的情况下,能给投资者带来的债券到期收益率之外的额外收益。文章以对债券凸性价值的理论界定为基础,推导出相应的估价方法,进而以2009年1月5日我国国债市场64种固定利率国债为样本,对其凸性价值进行了估算。结果显示,这些债券的凸性价值不大,其原因可能在于我国债券市场收益率的波幅较小,。

【关键词】债券;凸性;波动率;凸性价值

一、引言

债券价值的变化主要源于市场利率的波动。由于利率与债券价格关系的非线性特点,一定幅度的利率波动并不导致债券价格相同幅度的增减。具体而言,对于不嵌入期权的标准固定利率债券来说,以某一利率水平为基点,利率上升导致的债券价格下降幅度会小于利率上升幅度,而利率下降导致的债券价格上升幅度会大于利率的下降幅度,这就是债券的“凸性”价值(Convexity)。由于债券凸性价值是一种潜在价值,因此国内外债券市场中,对这种价值的分析已经成为固定收益证券投资的重要一环。在市场利率波动无法忽视的情况下,对于债券凸性可能导致的额外收益必须进行合理定价,否则债券市场中存在着套利机会。

国外和台湾学者对这一问题的研究已经较为成熟,其中Ilmanen(1995)[1],Kahn & Lochoff(1990)[2],Lacey & Nawalkha(1993)[3]与吕麒麟(1993)[4]的研究成果具有代表性。但国内这方面的研究成果还不多。本文在界定债券凸性价值的基础上,首先应用Tuckman(2002)的方法推导出债券凸性价值计算公式,然后把这一公式应用于我国的国债市场,以2010年1月5日中国上交所与深交所的可交易债券为样本,对其凸性价值进行测算和讨论。

二、对债券凸性价值的相关理论推导

(一)债券定价公式与持续期和凸性计算

令c为债券的年息票率,y为债券的到期收益率,t为时刻,则某一债券在时刻t的价值可表示为p(y,t;c)。对于年付息一次的债券来说,若剩余年数T为整数,为以年为单位的付息时刻,则基本的定价公式为:

如果剩余年数为非整数,则债券价格需要包含一定应计利息,此时的债券定价公式为:

显然,两种情况下p都是是y的凸函数,这就是债券凸性价值的根源。债券价值与到期收益率间的关系可由图1加以直观表示。假定初始期待到期收益率与债券价值分别为p0与y0。如果到期收益率的波动性为0,则期望的债券未来价格Ep与p0相等。若假设未来到期收益率以概率取y+,以概率取y-,则期望的债券未来价格Ep’是p+与p-的一个线性组合。如果与相等,由于p是y的凸函数,因此Ep’一定在p0之上。这就说明,在利率随机波动且无法确定波动方向的情况下,债券的价值被债券凸性放大了。

形式地,对于按年付息的固定利率国债来说,其(修正)持续期D被定义为债券价格关于到期收益率的一阶导数与债券面值之比,凸性C被定义为债券价格关于到期收益率的二阶导数之比。即:

(二)债券凸性价值的理论推导

以下对债券凸性价值的理论推导基于Tuckman(2002)[6]。在利率随机的条件下,对p(y,t;c)应用Ito引理进行展开:

所导致的收益,即债券的凸性价值。

这样,在时间区间一定的情况下,债券凸性价值取决于:①债券的凸性C;②到期收益率的波动率的平方,即;这两个变量都与债券凸性价值正相关。一般而言,债券的到期期限越长,则凸性越大,到期收益率波动越小。因此,不能简单肯定高凸性的债券(即长期债券)凸性价值就大,还要具体考察利率的波动率结构(Interest Volatility Term Structure)。

三、债券凸性价值的估价方法

根据本文第二部分的推导,债券凸性价值为。其中凸性C可由(4)式直接解出,而到期收益率的估计比较困难。首先,由于期限的临近,当前债券与未来的同一债券到期收益率是不同的,因为它们有不同的剩余期限。其次,实际中不一定是常数,它可能随时间的变化而变化,从而加大估计难度。

对于第一个问题,可以利用国债收益率曲线上相应特定期限的到期收益率波动率,近似替代某一具有相同到期期限国债的到期收益率波动率。由于理论上可以在每一时点对国债到期收益率曲线进行完整绘制,因此就能考察它随时间流逝而显现的动态变化,从而在一定观察期间内求出位于到期收益率曲线上具有相应期限的国债收益率的波动率,以此替代不落在收益率曲线上的待考察的具有相同期限的国债收益率的波动率。

对于第二个问题,解决方法是使用条件异方差模型(Conditional Heteroskedasticity

Model)来依托以往信息对当期波动率进行估计,但这主要适用于高频数据。为降低数据的条件异方差性,可以将债券日波动率进行年化(Annualize),这样只要债券到期收益率的波动率在年度间是稳定的,则日波动率的条件异方差效应就可以忽略。为此,可以首先使用相应债券到期收益率的历史标准差对其波动率进行估计。具体而言,对日波动率的估计是:

由于数据易得性原因,对每一特定期限的债券收益率波动进行估计仍存在困难。为此可以先分别对每个关键期限点国债收益率的波动率进行估计,然后再使用多项式插值方法把待考察债券的日收益率波动率间接估计出来。

四、实证研究结果

本文样本数据来源于中国债券信息网与和讯债券网,以2009年1月5日―2010年1月5日的相关信息为依据,涉及64种在上交所与深交所进行交易的固定利率国债。

首先,本文根据中国债券信息网构建的固定利率国债收益率曲线日变化情况,通过式(9)与(10),估计出债券到期收益率的关键期限年化波动率,如表1所示。

下面使用多项式样条的方法,对整个固定利率国债的波动率结构曲线进行拟合。相较拟合利率期限结构,拟合利率的波动率结构不要求拟合曲线的导数连续性,以此降低拟合难度。由于关键期限在短期限区域高于长期区域,因此将整个期限分为两个子区间:[0,5],(5,30],并分别对这两个区间进行多项式样条拟合。之后,将64种债券的剩余期限代入到拟合函数中,得到债券到期收益率波动率的估计值。

图1与图2分别显示了2009年关键期限国债年化波动率期限结构,以及64种债券年化波动率结构的插值估计。其中横轴为债券剩余年,纵轴为对应的年化波动率。

在估计出债券年化波动率后,根据债券凸性价值公式,得到64种债券基于历史波动率的凸性价值。图3总结了64种债券随期限变化的凸性价值变化。

图4显示,债券凸性价值随剩余期限上升而单调递增。这说明,尽管波动率结构不呈现单调性,但由于债券凸性随期限增加而增加的速度更快,因此债券凸性价值也随期限增加而增加。其中剩余期限为17.62年与27.38年的国债,具有更高的凸性价值,分别为0.1%与0.098%。也就是说,如果持有17.62年期国债与27.38年期国债,投资者能从利率波动中分别获得0.1%与0.098%的“超额”收益。但剩余期限大于10年的长期债券,其凸性价值随剩余期限延长而增加的速度,明显地小于短期债券。分析原因,可能由于长期国债到期收益率波动率的显著下降所致。

表2是相关数据的总结。

图4与表2显示,基于历史波动率,我国市场债券的凸性价值不显著,最大仅为0.1%。这与发达国家债券市场的情况形成鲜明对比。比如Ilmanen(1995)[1]通过对1983―1995年美国债券市场的研究,发现持续期30年的债券凸性价值可以达到4%。

也就是说,我国债券市场凸性债券体现的凸性价值有限。分析其原因,可以归于两点:(1)我国债券市场债券收益率的波动率偏小;利率的市场化程度不高,可能是收益率曲线过于稳定的原因之一;(2)我国债券市场的品种过少,投资者选择余地少,因而债券价格缺乏根据市场环境进行迅速调整的灵活性。

五、总结

本文探讨债券凸性价值的由来与本质;在建立相应计算公式的基础上,以我国国债市场64种固定利率国债为样本,估计了这些国债基于历史波动率的年化凸性价值。实证研究结果显示,64种国债的凸性价值不显著。由此得到的结论是:我国国债市场债券到期收益率具有较强的稳定性。

参考文献

[1]Ilmanen A.Convexity Bias and Yield Curve[R].New York:Saloman Brothers,1995.

[2]Kahn R N,Lochoff R.Convexity and Exceptional Return[J].The Journal of Portfolio Management.1990,16(2):43-47.

[3]Lacey N J,Nawalkha S.Convexity,Risk,and Returns[J].Journal of Fixed Income.1993,3(3):72-79.

[4]吕麒麟.债券投资组合――凸性与票息之研究[D].国立中央大学(台湾),1999.

[5]Barber J R,Copper M L.Is bond convexity a free lunch?[J].Journal of Portfolio Management.1997,24(1):113-119.

[6]Tuckman B.Fixed Income Securities:Tools for Today's Markets(2nd)[M].Hoboken,New Jersey:John Wiley & Sons,Inc.,2002.