分类例析函数值域的常用求法

函数知识是高中数学的重要组成部分。一般地，函数y=f(x)由定义域、解析式、值域三部分组成，如何正确求值域是重点与难点。本文介绍几种常用方法，供读者参考。

1.定义法

在函数y=f(x)中，给定一个x的值，有唯一的函数值y与之对应，所有y值的集合叫函数的值域。

例1已知函数f(x)=y=x2+1，x∈{-2,-1,0,1,2}，求值域。

解析：本题中函数表达式已知，自变量x有5个值，与之对应的y值有5个，即5，2，1，2，5。

用集合知识，所求值域为{5,2,1}。

2.配方法

先将函数解析式配方，用二次函数图象，求出函数值域。

例2已知函数f(x)=y=-x2-3x+1，x∈(-2,1］，求函数f(x)的值域。

解析：y=-x2-3x+1=-(x+32)2+134，对称轴x0=-32∈［-2,1)，

ymax=134,ymin=-3，所以值域为［-3,134］。

3.观察法

先将函数等价变形后，观察表达式，得到值域。

例3函数y=2x-3x+1的值域为______。

解析：y=2x-3x+1=2x+2-5x+1=2-5x+1，

因为5x+1可正可负不为0，故y≠2。

4.基本不等式法

对形如y=ax+bx(a,b∈[WTHZ]R[WTBX]+)的函数，使用基本不等式，可求出值域，但一定要注意使用条件：一正、二定值、三相等。x+1x2-x+2的值域。

分析：由x∈[WTHZ]R，有yx2-(y+1)x+2y-1=0。

①当y=0时，x=-1；

(y+1)2-4y(2y-1)≥0。

②当y≠0时，Δ≥0有-7y2+6y+1≥0,

解之，得-17≤y≤1且y≠0。

由①及②知，-17≤y≤1。

6.导数法

对高次函数或含logax,ax的函数，可采用导数方法求最值与值域。其一般步骤是：求导y′；令y′=0，求出极值点并列表，求极值；比较极值与端点值求出最值。

7.单调性法

先考虑函数的定义域，观察随着x的变化，y值的变化情况，判定函数的单调性，用增（减）函数的性质求值域。

例5求y=2x-3-x的值域。

解析：由3-x≥0，有x≤3，

易知，y在(-

䥺SymboleB@,3］上是增函数，所以y≤6。

8.数形结合法

对已知f(x,y)=0，求υ=φ(x,y)的值域，可利用已学知识采用数形结合的方法，求υ的值域。

（作者单位：湖南省桃江县第一中学）