分类讨论的数学思想方法范文

分类讨论的数学思想方法篇1

关键词：初中数学；三角形；分类讨论思想

一、问题提出

分类讨论思想的基本要求首先是不重复、不遗漏，分类讨论思想可以培养学生思维的连贯性和有序性，培养学生完整细致地分析问题的习惯和探索问题的能力，提高学生严谨的思维。通过研究发现，学生碰到这类问题常常不知道如何切入，更不知道要分类讨论解答，还有一类学生清楚分类讨论，但是分类不完整，其次分类完整的学生在计算的过程中也会出现一些小问题，而能完整解答的微乎其微。因此，教师教学中对这种解题思路方法的渗透显得尤为重要，学生要从平时的教学中积累和提炼、总结归纳。最后达到运用非常熟练，这将是一个漫长的吸收内化的过程。几何中的三角形中涉及分类讨论思想的题型有等腰三角形、直角三角形、相似三角形等；等腰三角形经常按顶角和低角分类、按底边或腰进行分类。直角三角形一般情况是按直角顶点分类。相似三角形中，当出现“ABC与DEF相似”或“以点A、B、C为顶点的三角形相似于DEF ”时，由于点的对应关系不确定，通过分类讨论才能更清晰、更完整地解答。

二、核心概念

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类思想可不像一般的数学知识那样，通过几节课的教学就可让学生掌握应用。而是要根据学生的年龄特征，学生在学习各阶段的认知水平，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵，从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性，对培养初中生全面、周密地分析问题和解决问题的能力起到了十分关键的作用。在初中数学教学中我们要时刻渗透分类思想，引导学生多利用分类讨论方法解决问题。

三、分类讨论思想解题的思维过程分析

在运用分类的思想进行解题时，其思维过程通常可以分为：（1）要明确是否需要分类讨论；（2）确定分类的对象；（3）确定分类的标准；（4）逐类逐级分类讨论；（5）综合、归纳结论。运用分类的思想解题首先需要明确分类讨论的原因，即哪些问题常常需要用到分类的思想来解决。大多数的学生在面对一个数学问题时，不易判断此问题是否需要用到分类的方法来解决该问题，即无法根据问题的条件和结论迅速辨认问题中与分类有关的数量关系或位置关系。因此，从所给的问题情境中，正确而迅速地辨认题目中与分类有关的数量关系或位置关系的，是解决问题的基础，一般的说，当我们研究的问题是下列几种的情形时，可以考虑使用分类的思想方法来解决问题。

在初中数学教学的过程中逐步恰当地渗透数学思想方法，培养学生的思维能力，让学生形成良好的数学思维习惯，既是符合新课程的标准，又是进行数学素质教育的一个极好的切入点。数学中的分类讨论思想不但是一种重要的数学思想，而且是一种重要的数学逻辑方法，分类思想不但在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着不可替代的作用。数学中的分类讨论思想，是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类进行研究，从而解决问题的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，更是一种重要的数学逻辑方法。

四、实例分析

【分析】分CP=CO，PC=PO和OC=OP三种情况分别讨论即可。在每种情况下分别画出对应的图形，利用三角形相似的原理加以解决，本题对学生的能力要求较高，有的学生望而却步，有的学生可能只想到了其中的一种或两种情况。考虑到题目考查了分类讨论的思想，这样的学生已经是非常了不起了，接下来就要通过一些方法加以解决，笔者认为这道题只是常州中考题中涉及分类讨论思想的其中一例，还有很多就不一一列举。在今后的教学中还要加以提炼和总结，对不同层次的学生在渗透分类讨论思想的教学过程中还需要因人而异，不仅是分类讨论思想是这样，其他初中数学中涉及的思想方法应该加以研究落实。

参考文献：

[1]党中.分类讨论的几点思考[J].中国新技术新产品，2010（15）.

分类讨论的数学思想方法篇2

随着社会的不断进步，不断发展，教育教学的改革也在逐步更新、升级，为了更好地推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，教师就应更多的的关注学生的学习方法和策略。随着课程改革的深入，“应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的关键入口。

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

分类讨论思想，贯穿于整个初中数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，主要有以下几种：①数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。⑤问题中几何图形的不确定，应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，从而激发学生研究问题，探索规律，学习数学的积极性。

分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

例如：认识字母a可以表示数后，让学生对数a进行分类，得出数a可表示正数、零、负数三类。又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，这样学生通过对两个有理数大小比较、分类讨论后，就能系统、完整地掌握两个有理数大小比较的运用。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，弄清它们的内涵与外延。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：

（一）根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

例如：化简|a|－2，解答此题，是按a的取值分类讨论，即：按当a>0，a＝0，a

（二）根据数学法则、性质或相互关系进行分类

例如：解关于x的不等式:ax＋3＞2x+a，我们可以把不等式移项变形为(a－2)x>a－3，然后根据不等式性质可分为：a－2>0，a－2＝0和a－2

（三）根据图形的特征或相互关系进行分类

例如：已知等腰三角形有一个内角是50度，求其余两个角各是多少度。

解答此题就是对给出的等腰三角形的这一个50度的内角是底角、顶角两种情况进行讨论，从而求出解答结果。

三、引导分类讨论，提高合理解题的能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题

由以上的例子我们知道：抓住分类讨论的动机，把握了分类的标准，就能做到分类时条理清楚，标准一致，在解答问题时就不会重复、遗漏，保证解题的准确率。

教学中的分类讨论思想是一种比较重要的思想，通过加强数学分类讨论思想训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来将产生深刻和久远的影响，教师在制订数学目标，采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论的思想，并在具体教学过程中努力实现。根据初中学生的特点，教学要遵照循序渐进、逐步深化的原则，并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学。自觉地重视和加强分类讨论思想的教学，也是实施素质教育的具体表现，教学中的分类讨论教学与素质教育中提出的培养学生的创新精神与探索精神是一致的。

分类讨论的数学思想方法篇3

关键词：高中数学教学分类讨论思想方法

在解答高中数学题时，有些学生缺少分类讨论的意识，解题能力水平较低，常常出现一道题解到某一步时，没有接下来的解题思路，解题思维受限，而分类讨论思想方法则能够让这道题目由大变小，将其分解，在得出答案后再把过程合并.学生通过合、分、合的方式，降低了问题的难度，扩大解题思路，提高了解题能力.

一、在高中数学教W中运用分类讨论思想方法

的重要性

1.明确运用的原因.在高中数学教学中运用分类讨论思想方法时，教师要明确分类的原因，才能化整为零，完成题目的解答.其原因包括以下几点：教材中一些抽象的概念、定理等内容的给出；课本中涉及函数、方程等内容的知识点，让参数值“质变”；由于几何图形的变化，引发出多个问题的结果；特别的排列组合方式；等等.

2.掌握正确的分类讨论方法.要想合理分解问题，就要按照固定的步骤和标准，不可重复和遗漏.正确的分类讨论法必须遵循以下原则：确定分类标准；讨论的对象不可重复，不可遗漏；如果要对多个对象分类讨论，要合理划分层次，每个层次都要有统一的标准.

3.注意分类结果的整合.分类讨论思想有很强的逻辑性，解答这些问题时必须全面分析，运用逻辑推理能力和相关技巧.在运用分类讨论思想方法的过程中，要分析对象是否需要分类讨论，如果可以用整体的解题思路分析对象，就不要使用分类讨论，以免增加解题步骤.

二、在高中数学教学中运用分类讨论思想方法

1.在函数中运用.在算式中包含参数的函数计算，参数值一旦发生变化，会直接影响最后计算的答案，让其发生质变.在这类问题的解答中，必须进行分类讨论，让问题简单化，快速接触问题.比如，函数y=x2-3x，x∈[-3，a]，则函数的最小值g（a）=.在思考这道题时，学生首先想到利用对称轴，即x=1.5.但x=1.5可能超出题目给出的区间范围[-3，a].这就要求学生确定题目的性质，以便在后面的讨论中合理分层，明确使用的参数.分解过程如下：如果-3

2.在概率中运用.在解答概率问题时，学生可以运用分类讨论思想方法.需要注意，在解题过程中，必须明确这道题目给出的信息及要求，再进行分类讨论，从而得出答案.比如，给出一个集合I ={1，3，5，7，9}，要求选择 I集合中的非空子集A、B，让集合B最小的数字大于A中最大的数字，共有几种方法？由题目给出的条件可以知道：子集A、B都是非空子集；子集B中最小的数字大于A中最大的数字.首先，子集B中3是第一个数字，即最小，那么子集A只有一个选择，即A={1}，这时子集B共有8种方法选择数字，5、7、9这三个数字可以在其子集中，也可不在其子集中.其次，子集B中5是第一个数字，即最小，子集A有三种选择，分别是{1}、{3}、{1，3}，此时子集B可以有四种选择方法，7和9两个数字可以要，也可舍弃.接着，子集B中7是第一个数字，子集A有7种选择方法，即{1}、{3}、{1，3}…{1，3，5}，子集B有两种选择，即数字8在子集B中，或不在子集B中.最后，子集B中，9是第一个数字，此时子集A共有15种选择，即{1}、{1，3}、{1，3，5}、{1，3，5，7}，但子集B只有唯一一种选择，即B={9}.通过分层讨论，得出1×8+3×4+7×2+15×1=49，即共有49种分法可以实现这一条件.

总之，在高中数学教学中，教师要改变教学观念，运用分类讨论思想方法，帮助学生掌握解题技巧，提高学生的解题水平，拓展学生的思维模式，促使学生形成数学思维，提高学生的数学素质，让学生的解题思路更加严谨，并学会灵活应变.

参考文献

王艳青，代钦.高中数学解题教学中的分类讨论策略[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2011，12.

朴希兰，朴勇杰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].教育教学论坛，2015，7.

分类讨论的数学思想方法篇4

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

整数、分数、正有理数、零、负有理数。教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：有理数、有理数。为下一步分类讨论奠定基础。认识数a可表示任意数后，让学生对数a进行分类，得出正数、零、负数三类。通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

三、引导分类讨论，提高合理解题的能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题

例1、已知函救y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m是实数）.如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值.

分析：这里从函数分类的角度讨论，分m-1=0和m-110两种情况来研究解决问题。

解：当m=l时函数就是一个一次函数y=-x-1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

当m11时，函数就是一个二次函数y=（m-1）x2+（m-2）x-1

当=（m-2）2+4（m-1）=0，得m=0.

抛物线y=-x2-2x-1，的顶点（-1，0）在x轴上

例2、函数y=x6–x5+x4-x3+x2–x+1，求证：y的值恒为正数。

分析：将y的表达式分解因式，虽可证得结论但较难。分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。

证明：⑴当x≤0时

x5-x3-x≥0，y≥1恒成立；

⑵当0

y=x6+（x4–x5）+（x2–x3）+（x–1）

x4>x5，x2>x3，1>xy>0成立；

⑶当x=1时，y=1>0成立；

⑷当x>1时

y=（x6–x5）+（x4–x3）+（x2–x）+1

x6>x5，x4>x3，x2>xy>1成立

综上可知，y>0成立。

例3、已知ABC是边长为2的等边三角形，ACD是含30°角的直角三角形。ABC和ACD拼成一个凸四边形ABCD。（1）画出四边形ABCD；（2）求四边形ABCD的面积。

分析含30°角的直角三角形ACD中我们可以把AC作为斜边、AC作为直角边二类情况来研究。如图1是以AC为斜边和等边三角形ABC拼成的四边形ABCD（DDAC=30°和DDAC=60°这两种图形算出的四边形ABCD面积相同的，故归纳为同一类）.AC为直角边又可分为二种不同情况如图2和3。从图1，S四边形ABCD=；从图2，可算得S四边形ABCD=；可算得S四边形ABCD=3

由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

分类讨论的数学思想方法篇5

【关键词】初中数学 分类思想 教学渗透 方法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）09-0161-02

数学分类思想是一种比较重要的数学思想，也是一种很重要的数学逻辑思维方法，分类思想所应用的范围是具体的，所研究的对象也是具体的。所以要求教师在教学过程中能够设定具体的教学目标和教学方法，在初中生现有特点的基础上进行教学，引导学生掌握数学分类思想，同时也要在讲解数学题时把分类思想渗透到当中。通过这种方法，主要让学生在了解的基础上进行合理的运用。

一、重视教学过程分类思想的渗透，培养学生分类意识

分类行为在人们的日常生活中并不少见，我们会对自己穿的衣服进行季节分类、风格分类，我们也会对自己所用的工具进行分类。生活中的分类思想会方便我们的生活，把分类思想与初中数学相结合也会产生不一样的教学效果。初中生在生活中本身就具有分类思想，数学教师可以利用学生的这一特点，结合学生对分类思想的把握程度把生活中的分类思想迁移到数学教学中来，提高数学课堂的教学效率。

数学教师可以在教学过程中渗透分类思想，培养学生的分类意识。比如数学教师在对图形进行讲解时可以引导学生根据图形的相互关系或者图形之间不同的特点进行分类。像三角形就可以依据三角形的形状分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。通过这种分类的方法可以让学生从直观的角度了解到三角形的特点，而且教师也可以引导学生在日常的学习数学的过程中运用分类方法，进行解题。

初中数学教材中的很多定理，法则，公式，习题都在一定程度上体现了数学的分类思想，教师在教学中应该不断的强化学生分类讨论的意识，就一道应用题的不同解法展开讨论，同时总结归纳针对某一种题型的答题技巧。通过这种分类讨论的方法，可以让学生避免出现大的错误，弥补在思考问题时出现的漏洞。

教师在对“有理数”这一章进行讲解时，需要反复的在教学过程中渗透分类思想，让学生能在潜移默化中形成数学分类的思想，增强学生概括能力，帮助学生总结出规律性的答题方法，从而通过渗透这种分类思想，加强学生思维的逻辑性和缜密性。

二、教授不同的分类方法，增强初中生思维缜密性

在传统的教学模式中，初中数学教学在研究数学分类思想上有很多不足。但是随着教育的改革，如何把分类思想运用到初中教学中逐渐成为人们重视的问题，除了要发挥教师的作用之外还需要强调学生的主体地位。教师在教学过程中渗透分类思想的同时也需要引导学生掌握不同的分类方法，帮助学生运用不同的方法来解答数学题。在这里主要的分类方法有三种，一种是根据数学的概念进行分类，第二种是根据数学的法则或者性质来进行分类，第三种是根据数学题型之间的关系进行分类。

例如在数学不等式中，就有关于分类思想的渗透。在（k-1）・x>k・k-1不等式中，是需要对k-1是否大于零进行讨论的，如果不加以讨论，就不能得到争取的答案。因为既可以k-1>0或k-1=0也可以k-1

三、强调在实践中学生的分类讨论，提高学生整体能力

分类讨论是一种重要思想，也是学习中的一种重要逻辑，同样也是解题中的一种重要策略。分类思想对于数学教学来说是重点，同样也是难点。分类讨论的本质是思想的划分，把要讲述的数学问题划分成不同的领域问题，分类研究，总结统一性和差异性，分类求解，然后统一整理。初中数学中的讨论问题往往是学生做题的一大难点，遇到这类问题就无从下手，造成此类题型的正确率偏低，教师要从初中抓起，引导学生建立分类讨论的思想，让学生自觉运用分类思想解决问题。

初中的一些概念往往是分类定义的，所以应用概念做题时，就要进行分类讨论，如：几何问题还有代数问题。初中经常有些题目是开放性的，答案不唯一，学生做这种问题时经常会出现漏解现象，所以要从不同角度进行讨论。还有取值问题，一些题目中在讨论取值中会出现不同而使问题答案不同，要从不同角度讨论问题的取值，缩小取值范围。几何问题同样需要分类讨论，一些文字语言不能表达图像的形状，所以要进行分类讨论。

教师要认真钻研，从实际出发，了解学生真正需要的是哪方面的知识，学生面临分类问题时出现的问题，有目的的进行教学，对学生进行分类思想的渗透。首先要在教材中给学生们指出这些问题，让学生们认识到这些问题，才能很好的避免错误的发生。初中生的分类讨论思想还不是特别强，教师应该理论与实际结合，通过实际的例子来解答问题，使学生了解分类的原因和分类的顺序。同时教师要经常与学生讨论问题，只有通过讨论解决问题学生的记忆才深刻。

总而言之，数学中的分类思想是作为初中生需要了解和掌握的一种数学思想，学生需要在学习过程中依据具体的数学题型总结归纳出分类思想所应用的范围。教师可以在教学过程中渗透分类思想，培养学生分类意识，引导学生进行分类讨论，提高学生整体能力，依据实际情况不断探索从而得出争取的教学途径，激发学生学习数学的积极性和热情，提高学生的学习能力。

参考文献：

[1] 谢丽贞.从分类思想的角度谈初中数学有效教学[J].广西教育A（小教版），2015，1.

[2] 周成.数学分类思想在初中教学中的渗透[J].读写算（教研版），2015，13.

分类讨论的数学思想方法篇6

分类是自然科学中的基本逻辑思想方法之一，各门科学都要运用分类思想（如语文分为文学、语言和写作，外语分为听、说、读、写和译，物理学分为力学、运动学、热学、声学、电学、光学和原子核物理学，化学分为无机化学和有机化学，生物学分为植物学、动物学和人类学等），只有将分类思想应用于空间形式和数量关系时，才能成为数学思想。“数学中的分类思想是按照数学对象的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后，根据共同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。”本研究所说的分类讨论思想方法是指数学思想方法中的分类讨论思想方法。

在人类认识史上，分类一直扮演着重要的角色，可以说，自有人类的产生，就有了分类活动，分类活动贯穿于人类的一切生产、生活等社会实践活动中。中西各族人民都有自己悠久的分类活动史，闪烁着丰富的分类思想的光辉。从分类思想的历史考察中可以发现，中西在公元前就有了分类思想，并逐步得到发展。

在数学的发展历史中，分类思想方法是被人们广泛使用来研究数学问题，解决各种各样问题的重要方法，也是一种最基本、较高层次的思想方法。古今中外的名家名著对此有过精辟的研究和阐述:如《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年（公元前一世纪）。全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。每道题都以“有问、有答、有术”的形式给出，其中“术”就是解题方法，有的一题一术，有的多题一术。在代数方面，《方程》一章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。公元656年由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》（包括《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《张丘建算经》《夏侯阳算经》《缉古算经》《五曹算经》《五经算术》和《缀术》），作为算学馆学生用的课本。其中也包含着大量分类讨论思想方法的问题。

在西方，公元前五世纪柏拉图在分类问题上提出了二分法思想。亚里士多德在批判二分法的基础上提出自己的见解，全面地在各个领域进行分类。而柏拉图的另一个学生大数学家欧几里得是与他的巨著――《几何原本》一起名垂千古。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作。在《几何原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里得把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系――几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。其中组成《几何原本》的概念结构方法就是分类讨论思想方法，在书中点是最小元素，点的延伸形成线，线的延伸形成面，面的延伸形成体。点只有位置，线只有长度，面只有长度和宽度，体有长度、宽度和高度。点、线、面、体，是几何的最大分类。其中，点、线、面、体四大元素各自又可以在内部分类，当然点除外。分类出来的小元素各自又可以在内部继续分类，直至不可以再分类。也就是说，在纵向应该力求尽可能穷尽的分类。在横向也应该力求尽可能穷尽的分类。这就像一个国家，首先分类为省，各省又分类为市，各市又分类为区、县，区又分类为办事处以及街道、县又分类为乡镇以及村落。《几何原本》就是这样力求完美的逻辑体系。两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。

经过人类几千年的发展，数学内容的分支也越来越多，从广义上来看，数学有纵向和横向两种分类方法。

从纵向划分：

初等数学和古代数学；变量数学；近代数学；现代数学。

从横向划分：

基础数学；应用数学；计算数学；概率统计；运筹学与控制论。

数学分类现象有现象分类本质分类之别。所谓现象分类，是指仅仅根据数学对象的外部特征或外部联系进行分类。这种分类往往把本质上相同的对象分为不同的类别，而把本质上不相同的对象归为同一类别。例如：自然数集可以根据能否被2整除的标准分类奇数和偶数。为了更好地认识自然数间的内在联系，则需要按自然数所含质因数的个数进行分类

自然数质数（质因数个数为1）1（质因数个数为0）合数（质因数个数大于1）

在这个更深刻的本质分类的基础上，通过对质数、合数的进一步研究，就可得到算术基本定理。

在现代数学教育研究中主要有解恩泽，徐本顺、张奠宙、朱成杰、朱水根、王延文、王林全、李玉琪、彭光明等人对分类思想方法作了一些研究，这些研究成果主要有:

1989年解恩泽，徐本顺 《数学思想方法》（编著）

1991年张奠宙，朱成杰 《现代数学思想讲话》（编著）

1998年朱水根，王延文 《中学数学教学导论》（专著）

1999年王林全，林国泰 《中学数学思想方法概论》（编著）

2000年李玉琪《中学数学教学与实践研究》（编著）

2008年彭光明《数学教学方法思考与探究》（专著）

在这些编著或专著中，分类讨论思想是作为研究的一小部分被提及，作为数学思想的一个部分，研究者一般都是先介绍分类讨论的概念、原则、分类的解题步骤，最后举例分类讨论的应用。对分类讨论思想方法在中学数学教学中的地位，分析分类讨论思想方法教学对学生的培养功能及探索分类讨论思想方法的教学途径，这些书本都没有提到，本研究将会在这些方面加强，这也是论文的创新之处。

由此可见，分类讨论思想方法作为数学中的思想方法一直受到数学家或数学教育者的关注。在数学问题的解决，数学的发展过程中分类讨论思想方法有着极其重要的作用。

参考文献：

［1］张奠宙，朱成杰.现代数学思想讲话 ［M］.江苏：江苏教育出版社，1991-08.

分类讨论的数学思想方法篇7

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答. 实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的一种数学策略.

下面，举例说明分类讨论思想在高中数学解题中的应用. 一、选定适当的分类标准对所研究的问题进行分类

进行分类讨论时，首要解决的是：对谁分类，即分类对象是什么？其标准是什么？对于一道数学题目，首先认真审题，研究要分类讨论的对象，分类的对错好坏确定题目解法的最终结果，直接影响解题的成败. 分类时尤其要注意不能有重复，更不能有遗漏，分类标准也应当一致.

例1 一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ）.

A. x + y - 7 = 0 B. 2x - 5y = 0

C. x + y - 7 = 0或2x - 5y = 0

D. x + y - 7 = 0或2x + 5y = 0

分析 此题需要确定直线方程的形式可否写成截距式，所以需要分类讨论截距是否为0，否则会漏解.

二、讨论时应注意每个分类的前提条件，综合作答时，也要注意每个分类讨论的条件

分类的目的是为了化繁为简，再逐一讨论解答每一类问题，而讨论时应紧扣分类这个前提，此时，相当于给问题增设了题设条件，因而，使问题得到解决. 较复杂的题目会出现多级分类，讨论时应逐级进行，不能越级，书写时条理要清晰.

例2 已知集合A = {x|x2 = 1}，B = {x|ax = 1}，若B？哿A，求实数a 的取值集合.

分析 由于A = {-1，1}，所以分两种情况讨论.

解 （1）B = ？准，此时a = 0；

三、分类讨论思想是一种解题策略

分类讨论是一种重要的数学思想，也是解决数学问题常常用到的一方法，但对于大多数学生来说是觉得很繁琐又是很难掌握的，这需要教师在教学过程中有耐心，循序渐进地养成良好的分类讨论意识，从而达到培养学生思维的严密性和灵活性的最终目的. 但是高中数学中的数学思想不是只有这一种，在实际解题过程中如果能结合利用数形结合的思想、函数与方程思想、化归的思想等解题思想方法就可以避免麻烦的分类讨论，或者简化分类讨论的对象，从而更加准确、快速地解决问题. 所以在教学中一定避免让学生机械记忆，盲目套用，在解题过程中要引导学生选择正确的解题思路，向学生介绍一些探索问题的方向和方法.

例3 实数k为何值时，方程kx2 + 2|x| + k = 0有实数解？

对于数学题目何时需要分类讨论，则要根据题中所给条件而定，并没有硬性的规定，更没有直接可以套用的公式和规律. 我们只有在教学时不断积累经验，不断改进方法，才能使学生正确合理地应用分类讨论. 在解题时，应注意挖掘题目中的极个别情形进行分类讨论. 例如：“方程ax2 + bx + c = 0有实数解”转化为Δ = b2 - 4ac时忽略了个别情形：当a = 0时，方程虽然有解但不能转化为Δ ≥ 0；又如：设直线方程时，不能直接设直线的斜率为k，当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑，这样直线方程要分有斜率和没有斜率两类情形讨论；再如：等比数列{an}的前n项和公式也是分为q = 1和q ≠ 1两类情形给出的，等等类似问题都需要分类考虑.

分类讨论的数学思想方法篇8

[关键词]分类讨论思想；高考；例题；数学；教学

所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它揭示着数学事物之间的内在规律。学会分类，有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。在高考复习中，我做了这样一些尝试。

一、正确认识分类讨论思想在高考复习中基本思想

1、分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。

2、明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：

⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；

⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；

⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；

⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；

⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；

⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。

3、运用分类讨论的思想解题的基本步骤：

⑴确定讨论对象和确定研究的区域；

⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；

⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论。

二、典例剖析

在考高复习中，我利用以下几个例题来阐述如何利用分类讨论思想的。

【例1】将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）

a. 159 b. 1512 c. 1515 d. 1518

解析：连续掷三次骰子出现点数的方法总数为63种，其中公差为0的等差数列有6个，公差为1或-1的等差数列有2×4=8个，公差为2或-2的等差数列有2×2=4个，所以满足条件中的概率为 6+8+4563=1512。

答案：b

点评：本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数.

【例2】设函数f（x）=ln（x+a）+x2.

（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ine52.分析：函数的极值、单调性是函数的重要性质.极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题.解：（1）f′（x）=15x+a+2x，依题意有f′（-1）=0，故a=352。

从而f′（x）=2x2+3x+15x+352=（2x+1）（x+1）5x+352。

f（x）的定义域为（-352，+∞）。

当-352

当-1

当x>-152时，f′（x>0）。

从而，f（x）分别在区间（-352，-1），（-152，+∞）单调递增，在区间（-1，-152）单调递减。

（2）f（x）的定义域为（-a，+∞），f′（x）=2x2+2ax+15x+a。

方程2x2+2ax+1=0的判别式=4a2-8。

（i）若<0，即-20，故f（x）无极值。

（ⅱ）若=0，则a=2或a=-2。

若a=2，x∈（-2，+∞）

f′（x）=（2x+1）25x+2x。

当x=-252时，f′（x）=0，

当x∈（-2， -252）u（-252，+∞）时，f′（x）>0，所以f（x）无极值。

若a=-2，x∈（2，+∞），f′（x）=（2x-1）25x-2>0，

f（x）也无极值。

（ⅲ）若>2，即a>2或a<-2，则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根x1=-a-a2-252，x2=-a+a2-252。

当a<-2时，x1<-a，x2<-a，从而f′（x）在f（x）的定义域内没有零点，故f（x）无极值。

当a>2时，x1>-a，x2>-a，f′（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知f（x）在x=x1，x=x2取得极值。

综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为（2，+∞）。f（x）的极值之和为：f（x1） +f（x2）=in（x1+a）+x12+in（x2+a）+x22=in152+a2-1>1-in2=ine52。 　点评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论导数的符号.一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程f′（x）=0在f（x）的定义域内有解；二是在方程f′（x）=0的根的两边导数f′（x）的符号要相反.因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论。

【例3】设函数y=f（x）的图象是曲线c1，曲线c2与c1关于直线y=x对称。将曲线c2向右平移1个单位得到曲线c3，已知曲线c3是函数y=log2x的图象。

（1）求函数f（x）的解析式；（2）设an=nf（x）（n∈n）求数列{an}的前n项和sn，并求最小的正实数t，使sn

解：（1）由题意知，曲线c3向左平移1个单位得到曲线c2，曲线c2是函数y=log2（x+1）的图象。

曲线c2与曲线c1关于直线 对称，曲线c2是函数y=log2（x+1）的反函数的图象。

y=log2（x+1）的反函数为y=2x-1.f（x）=2x-1。

（2）由题设：an=n×2x-n， n∈n

sn=（1×21-1）+（2×22-2）+（3×22-3）+……+（n×2n-n）

=（1×21+2×22+3×22+……+n×2n）-（1+2+3+……+n）

=（1×21+2×22+3×22+……+n×2n）-n（n+1）52①

sn=（1×21+2×22+3×23+……+n×2n）-n（n+1）52②

2sn=（1×22+2×23+3×24+……+n×2n+1）-〗n（n+1）

由②—①得， sn=-（21+22+23+……+2n）+n×2n+1-152n（n+1）

=-2-2n+151-2+n×2n+1-n（n+1）52=（n-1）×2n+1-n2+n-452.

当t=2，sn-2an=[（n-1）2n+1-n2+n-452]-2（n×2n-n）

=-[2n+1+（n+1）（n-4）52]

s1-2a1=-1<0，s2-2a2=-5<0，s3-2a3=-14<0。

当n≥4时sn-2an=-[2n+1+（n+1）（n-4）52]<0.

当t=2时，对一切n∈n，sn<2an恒成立. 当0

=[（2-t）n-2]×2n-n2+n52+tn+2>[（2-t）n-2]×2n-n2+n52

记m=352-t，则当n大于比m大的正整数时，

sn-tan>2n-n（n+1）52=[1+n+n（n-1）52+…]-n2+n52>0.

也就证明当t∈（0，2）时，存在正整数n，使得sn>ta。

也就是说当t∈（0，2）时，sn≤tan不可能对一切n∈n都成立。

t的最小值为2。

从以上的例题中可以看出，分类讨论思想，本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略。