浅谈向量解几何题的方向

通过对数学题的研究与探索，笔者总结出运用向量解几何题有两个最基本的方向：找统一关系与找性质。

找统一关系是为了统一表示关系，这使得题中各相关量有统一的表示，便简化了关系，使得所有量之间的计算与比较有清晰简便的显示。

找性质更多的是在几何问题中运用，当然在代数问题中利用向量基本性质对向量拆分、合并，相加减同样能优化解题，但在研究几何问题时，若能结合例如垂直、平行等性质来解题，向量工具性更能体现。

当用解析法在直角坐标系内运用向量解题时，则更是简易。一则向量有了坐标表示，简便了计算；二则直角坐标系集中了以上两大方向。既有统一关系又有利用垂直的性质。

下面以例题的形式展现向量工具性在明确解题方向下解题的淋漓尽致。

例一：设四面体ABCD中（如图1）,点G是底面BCD的重心，求证

图一

分析：（找统一关系）既然命题结论是与三个不共面的向量有关，不妨将其定为基底，只需将 拆分以求利用基底表示。

证明：连BG交CD于E，由G为BCD的重心知，

.

又由E为CD的中点知

例二：如图二，设P1,P2,P3,……,Pn是圆O内接正n边形的顶点，P是圆O上的任意点，求证， 为定值。

分析：（找统一关系与性质）圆上任意一点与圆心的连线为定长。且有

证明：由 , 有

其中r为圆的半径。得证。

例三：如图在六面体PABCQ中，

QA=QB=QC=AB=BC=CA= ,求异面直线PA与QC所成的角。

图三

分析：（找性质）本题首先不好平移，其次建立直角坐标系时，Q点难定坐标，较繁琐，故可利用空间向量找性质，垂直向量数量积为0来优化解题。利用垂直和统一，关联O。

解：

得 则异面直线PA与QC所成角的大小为45°

通过以上例题的展示可见向量明确解题方向后的优势。在解几何题时，当我们用到向量工具时，便可以有两个基本的方向――找统一关系与找性质。在有了解题方向的情况下，解题自然变得简易许多。

参考文献：

[1]高中数学竞赛辅导[M].陕西师范大学出版社

[2]江西省南昌市2010年高三年级第一次模拟考试.第7题