合理设置情境,让学生经历数学概念的形成过程

摘要：进入21世纪以来，由于计算机科学、心理学及数学自身的迅猛发展，引发了世界范围内的数学课程改革。那么，怎样使新课程标准的理念在日常教学中得以具体体现呢？这里给我们广大的教师提供了很大的作为的空间。

关键词：情境；学生；数学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673－291X（2011）20－0242－02

我国从2000年开始组织人员在进行各项调查、研究及广泛征求社会各界意见的基础上编写出全国或地方范围内适用的课程标准。这些新的课程标准的共同点在于：新的课程体系不仅要让学生掌握基本的数学知识和技能，更要求教师努力创设一些情景、设计一些活动让学生经历数学知识发生发展的过程，提供学生亲身体验的机会。例如：

《普通高中数学课程标准（实验稿） 》[1]中指出：“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”

《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》[2]：“数学课程不仅应重视教学的内容和要求，更应充分关注课程中的学习过程，创设有利于学生、教师发挥主体性和创造性的条件。要遵循认知心理发展的规律，合理组织教学内容；要用知识的发生、发展、形成和应用的过程，加强数学学习的活动，提供学生亲身感受、体验的机会。”

下面以最近教学的《数学期望》这一内容为例来说明。与其他绝大多数的概率统计的概念一样，数学期望也是在现实生活的基础上抽象出来的数学概念，但是较之于平均数、方差、（古典）概率等概念，它的抽象过程要复杂得多，因此也难懂得多。如果没有充分认识到这一点，那么，对于数学期望这一概念的教学，教师一般会依照教材先介绍数学期望的定义及其计算公式，然后通过一些例子练习数学期望的应用，名为应用，实际上就是套套公式，学生很快就学会了，教师和学生都已觉索然无味，一节课的时间却还没用掉。如此，应付考试足矣。可是，对于数学期望究竟是怎么回事，学生最终还是一片茫然。根据新的课程标准，这种不管知识的来龙去脉，只把学生当成机器强行填塞的做法实在欠妥。

经过再三斟酌，我们这样来上“数学期望”这节课：

师： 同学们，大家已经知道现实生活中有许多可能发生也可能不发生的随机事件，随机事件发生的可能性的大小可用什么数学语言来描述呢？

生：概率。

师：对！而且在理论上，常在古典概型条件下计算概率；在经验上，常用频率（经验概率）作为概率的近似值，即大数定律。请完整地叙述一下大数定律。

生：频率在大数次重复试验中稳定于某一常数（概率）。

师：刚才提到古典概型，古典概型的特点是什么？

生：（1）基本事件全集只包含有限个基本事件；（2）每个基本事件的出现具有相等的可能性。

师：大家知道，概率统计是一门应用性很强的数学分支。上周末我去莫干山旅游，途中一个摆地摊的人引起了我的兴趣。他用20枚签（其中，10枚标有5分分值，10枚标有10分分值）设局，让游客从中抽出10枚，以10枚签的分值总和为奖、罚依据。具体奖罚金额见表1[3]：

如果是你，你愿意参加这个游戏吗？

生甲：我当然愿意。分值总共有11种，中大奖的分值有2种，输钱的分值不过3种。似乎中奖的机会还是蛮大的！而且就算输钱的话， 也就输1元，可是赢的话却能赢10元或100元。

生众：没那么简单吧，那个摊主肯定是为了赚钱而不是赔钱……

师：对！那他是怎样赚到钱的呢？同学们能不能帮他算一算？譬如说，游客中奖的机会到底有多大？是不是刚才生甲所说的2/11？

生：应该不是。因为出现上面每个分值的可能性不一定相同。这与古典概型要求每个基本事件的出现具有相等的可能性不符。

师：对！下面请大家用正确的方法计算上述四个随机事件的概率。为了提高效率，大家分组完成。第1、2、3、4组分别计算奖100元、奖10元、不奖不罚、罚1元的概率是多少。

给学生一定的时间计算、研究。

第四组学生代表上来演示：

当抽到6个5分签，4个10分签时得70分；当抽到5个5分签，5个10分签时得75分；当抽到4个5分签，6个10分签时得80分，抽到这些结果分别有C×C，C×C，×C种。从20枚签中抽取10枚的取法共有C＝184756种。所以输1元钱的概率是：

＝≈0.82110

师：很好，你说得太好了。下面请其他组的同学展示计算结果。

……

师：下面我把四个小组的研究的情况进行一番剪拼，我们会看到一个有趣的结果：

当抽到10个5分签，0个10分签时得50分；

当抽到9个5分签，1个10分签时得55分；

当抽到8个5分签，2个10分签时得60分；

当抽到7个5分签，3个10分签时得65分；

当抽到6个5分签，4个10分签时得70分；

当抽到5个5分签，5个10分签时得75分；

当抽到4个5分签，6个10分签时得80分，

当抽到3个5分签，7个10分签时得85分；

当抽到2个5分签，8个10分签时得90分；

当抽到1个5分签，9个10分签时得95分；

当抽到0个5分签，10个10分签时得100分。

你们能看出其中的规律吗？

生：5分签的个数从0至10依次增大，同时10分签的个数从10至0依次减小。

师：对。由此可以看到，如果我们按照抽到的10分签（或5分签）的个数（0个至10个）进行分类，就可以有条不紊地列出所有的情况。由此可见分类讨论的好处。同时，把所有的情况一一列出的方法叫做穷举法，大家不要忘记这也是一种重要的数学方法。

下面我们对计算结果进行汇总、分析。我们用X来表示奖罚金额。“X=n”表示赢得n元这一随机事件，在这个问题中n可取-1，0，10，100四个值，n取不同值时“X=n”的概率是不同的。把同学们的计算结果用表2汇总就是：

请同学们解释一下表格中的数据说明了什么问题？

生：通过表格中的数据，我们可以了解到要想得大奖的希望实在是太渺茫了，而输钱的可能性却很高。

师：是啊，当时我就站在地摊旁边，不动声色地算了半天，然后对摊主说了上面这番话。可是摊主却说：“被罚钱的概率是很大，但是罚额很低啊！赢得大奖的概率小，但是奖额很高啊！两者互相扯平，刚刚好！”被摊主这么一说，我就糊涂了。我觉得他说得很有道理，但是又觉得他不可能不赚钱。那他到底能赚多少钱呢？同学们能不能计算一下？

学生一片茫然。讨论了一阵子，有人说：

我觉得把上表每列的数据分别相乘然后加起来就是每人能从游戏中挣到的钱。

师：这个结果是多少？

生：还没算……哦，是-0.81元。

师：“-0.81元”的含义是什么？是说每个人都要输给摊主0.81元吗？可是要输的话总是输1元，怎么会是0.81元呢？

生：哦，大概是平均每人输给摊主0.81元吧。

师：为什么把上表每列的数据分别相乘然后加起来就是平均每人输给摊主的钱？

生：这个……只是感觉，我也说不清为什么。

师：你刚才提到平均值，那我们就来计算一下平均值吧。假设有m个人参加游戏，那么就应该有82.11%的人赢-1元钱，17.78%的人赢0元钱，0.10825%的人赢10元钱，0.0010825%的人赢100元钱，那么平均每个人赢的钱应该如何计算？

生：

X＝

＝-0.81（元）

师：他的感觉是对的！原来这样计算出来的真的是平均值！刚才的算式的值显然与m的值无关，那么，是不是说无论几个人去参加游戏，总是平均每人输给摊主0.81元？实践是检验真理的唯一标准，我这里准备好了游戏中所需的材料，下面请10个同学上来抽一下签，然后我们来计算一下平均值。

学生抽签、计算。

师：实际的结果是0.1元，与-0.81元严重不符。这是怎么回事？

生：我认为是算式与人数有关。因为在算式中用到了概率的值，根据大数定律，只有在大数次的重复实验中，频率才会稳定于概率。所以在实际的游戏中，参加的人数越多，平均每人输给摊主的钱就应该越接近0.81元。

师：你说得太好了！由于概率是一个理论值，所以-0.81也是理论值，是我们根据大数定律期望能得到的理论上的平均值，数学上称之为数学期望。数学家正是根据现实生活中许许多多类似于刚才这样的例子，抽象概括出了数学期望的这一数学概念。请大家根据刚才的例子，尝试自己给数学期望下一个定义。

得出数学期望的定义之后，利用课本上的例题和练习熟悉一下数学期望的计算公式，特别要强调学生对运算结果的实际意义的正确理解。

作业：利用今天所学的数学知识为某商家的某产品设计有奖促销方案，并讨论它的可行性。

通过课堂现场感知和事后课堂录像的分析，可以肯定我们对“数学期望”的教学设计是成功的，是受到学生普遍欢迎的。我们认为，这样的教学最大的成功之处在于合理设置了情景（摊主设局，到底如何赚钱），随着情景的不断展开，一个个问题（你愿意参加这个游戏吗；游客赚钱的机会到底是多大；奖罚是扯平的吗；摊主到底能赚多少钱；为何现场抽奖结果与事先计算结果不符；等等）自然产生，有效地激发了学生的好奇心和探索欲望，在问题解决的不断驱动下，让学生亲身经历了数学概念的形成过程，并进行应用（解数学期望应用题及利用数学期望设计有奖促销方案），从而获得了对数学期望这一数学概念的深刻理解，并有利于学生正确的数学观的形成（例如，数学与现实世界是紧密联系的，数学概念是从现实世界中抽象出来并有着广泛应用的；探索数学是有趣的；等等）。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验稿）[EB/OL]. http：//www.省略/200406/ca473620.htm.

[2] 上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿》[M].上海：上海教育出版社，2004.

[3] 上海市工业与应用数学学会、上海市数学会. 竞争与风险决策的数学模型.内部资料.