高中数学命题教学渗透微型探究学习实践初探

摘 要：高中数学命题教学中渗透微型探究学习有助于激发学生的求知欲，提高意义建构能力，掌握数学思想方法，并形成正确的数学观. 在改变学生学习方式的同时，真正地体现学生的主体作用.

关键词：命题教学；微型探究

《普通高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.” 因为数学命题反映了数学的重要规律与方法，是前人经过长期的探索和总结凝练而成的，因此大多数数学命题都适合渗透微型探究的教学模式，让学生亲身去经历、感受、探索和发现，从而在日常教学中潜移默化地培养学生探究能力及创新精神. 笔者结合教学实践，就数学命题教学设计中渗透微型探究学习，浅谈自身的做法与体会，供参考.

创设新鲜、有趣等多样化的问题情境，再现知识的发生、发展过程，不仅能够有效地培养学生分析问题与解决问题的能力，而且还可以激发学生的学习兴趣，促使学生以最高昂的热情、最积极的态度投入到探究中来. 在教学实践中，创设的情境可以通过实际问题、文化背景、数学故事或数学史及数学知识内部结构等实现.

案例1 等差数列前n项和（第1课时）的引入

教师：高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称. 高斯十岁时，有一次老师说：“现在给大家出道题目：1+2+3+…+100等于多少？”过了两分钟，正当大家在“1+2=3，3+3=6，4+6=10，…，”算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050.” 教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050.” 这个故事告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法：“内部配对思想”.

教师：接着请大家求解以下问题：考查如图的一堆钢管，共5层，最上面一层钢管数为5，最下面一层钢管数为9，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？如果你选择用高斯的方法，会出现什么问题？有没有更好的解决办法？

学生讨论结果：

学生1：若选用高斯法，如果所求的是奇数个数相加，则需要找出“中间数”.

学生2：可以在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管，构成一个平行四边形，每层都是5+9=14根，共5层，所以钢管总数是=35根.

教师：我们把这样的配对方法称为“外部配对思想”，转化为数学书写格式为：

教师：以上两式相加，每个竖直框内的和相等且都等于14，从而解出S. 此法称为倒序相加法，请大家用此法推导等差数列求前n项和的公式.

以上公式推导的引入设计以高斯的故事（内部配对思想）及钢管问题（外部配对思想）作为情境，顺理成章地引出倒序相加法，属于发现式的引入方式. 学生被小故事中的“数”吸引的同时，又被钢管问题展示的“形”吸引，提高了学习的兴趣. 如此的引入设计，提高了学生的探究热情，并使学生的思维真正参与到课堂中来，使学生在问题情境中学会发现问题、分析问题、解决问题.

命题的生成与论证过程中蕴涵着丰富的数学思想方法，开展微型探究学习在促进学生理解与认识命题的同时，也有助于形成技能. 因此，命题的课堂教学需要教师对教材内容进行加工、重组并生成，使教学设计符合学生的认知结构及学习心理，以便他们积极主动地参与探索命题的生成与证明，参与讨论，相互启发，从而掌握命题及该命题蕴涵的鲜活的思想方法.

案例2 “两角和与差的三角函数”的生成与证明.

教师提出学习的课题：已知任意角α，β的三角函数值，推导三组公式：

探究问题1：这三组公式是否有关系？从哪一组公式开始研究？有哪些思想方法？

探究问题2：在公式（1）中，和角公式应先推导哪一个？

探究问题3：接下来请各小组再结合向量的数量积这一工具，就和角的余弦公式的推导展开讨论，探求解决方法.

教师：请大家共同比较完成的小组展示的两种方法，并总结用到了哪些数学思想方法.

学生：公式推导过程中，都用到了建立坐标系（数形结合思想）、方程的思想、坐标法、向量法.

以上探究过程中，学生以三组公式为载体，要求学生自主分析并确定研究思路和方向，共同讨论和角的余弦公式的推导.通过对问题的探究，学生提高思维水平的同时，深刻领悟知识背后的数学思想方法，理解数学的本质，从而逐渐学会用数学的眼光思考问题，进一步增强创新意识.

数学学习的目的在于应用，因此，在命题的教学与学习的过程中，必须注重在实际生活及其他学科中的应用，并在其中渗透微型探究，从而使学生灵活、巧妙地运用所学知识，极大地提高学生探究数学的热情，促进学生思维灵活与敏捷的同时，发展了学生应用数学的意识，拓展了学生的视野.

案例3 苏教版必修4《二倍角的三角函数》习题

为解决这一问题：设计探究问题如下：

问题1：在物理学中，雨水为什么会下落？

问题2：雨水从屋顶上流下的路程用哪些量表示出来？

问题3：通过什么思想方法可以找到时间与倾斜角α的关系式？

以上案例是以实际生活与物理知识为背景，结合了三角函数二倍角公式的应用性问题，设计的引导性的探究问题，鼓励学生去探究，提高了学生对数学学科的学习兴趣，同时也体现了数学的思维方式在人类的生产、生活及科学发展中的重要性. 教师应在教学过程中加强引导学生挖掘数学知识与生产、生活及科学发展的联系，尽可能多地提供学生感兴趣的案例进行探究，如：函数知识用于解决手机话费问题；数列用于解决利率、分期付款等问题；线性规划用于解决材料或时间最优化问题等等. 通过对这些问题的探究，体现了数学应用的重要性，最终使学生形成正确的数学价值观.

命题教学需要使学生系统地掌握数学命题，逐步建立相应的认知结构，才能不断提高数学基本能力. 在知识整合中渗透微型探究学习，让学生在命题的形成、变式及延伸中，形成命题的“同化”与“顺应”，进而将命题的共同点提取出来，并将之运用到问题解决中来，提高问题解决的能力.

案例4 面面平行判定定理

教师创设面面平行的情境后，提出判定定理的背景材料供学生探究.

1. 形成假说.

教师：前面证明“线面平行”时，用定义很难证明，所以我们寻求了用于证明的判定定理. 现在我们需要寻求判定“面面平行”的条件，从“线面平行判定定理”条件与结论出发，你有什么启示？

学生1：“线面平行判定定理”体现了降维的思想，由“线线平行”可证得“线面平行”，我们能否寻求条件由“线面平行”证得“面面平行”？

教师：那么寻求一个平面内几条直线与另一平面平行呢？

学生2：一个平面内一条直线与另一平面平行. （假说1）

学生3：一个平面内两条平行线与另一平面平行. （假说2）

学生4：一个平面内两条相交线与另一平面平行. （假说3）

教师：以上同学提出的3个假说，我们来逐一检验. （师生共同利用模型检验）

2. 形成命题：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. （师生共同证明略）

3. 变式延伸：判定“面面平行”的条件是否可以是“线线平行”？

学生在以上“面面平行”判定定理的建构过程中，从“线面平行判定定理”的条件与结论的内部联系出发，共同讨论与交流，自主发现、检验与论证定理的形成与发展. 如此的微型探究学习，学生从直觉思维到理性思维的循序渐进的过程中，将新知识纳入自身的知识体系中，有助于拓展思维并发展认知结构.

总之，数学命题中的微型探究设计，能有效优化学生的学习方式，使学生在命题的发现、生成、论证、应用及整合的过程中，真正成为学习的主人. 因此数学命题教学中，教师需要不断改进教学策略，设计适合学生认知水平的命题教学的微型探究学习，从而唤醒学生的探究意识，形成良好的探究氛围，有效培养学生提出问题的能力、合情推理的能力、分析论证的能力，逐步提高数学素养.