易错反思提高思辨能力

问题提出：P是ΔABC所在平面外一点，PAΔABC，设PA=x，是否存在x值，使∠BPC>∠BAC。

我们不妨从底面三角形的特殊情况入手，运用余弦定理，通过研究cos∠BPC与cos∠BAC的大小关系，探寻满足结论的条件。

1.ΔABC是等边三角形（三边均设为a）

cos∠BPC=a2+x2+a2+x2-a22（a2+x2）

2.ΔABC是等腰直角三角

（1）∠BAC=π2，三边分别设为a，a，2a，

cos∠BPC=a2+x2+a2+x2-2a22（a2+x2）

（2）∠BCA=π2（或∠ABC=π2）

cos∠BPC=a2+x2+2a2+x2-a22a2+x22a2+x2

3.ΔABC是等腰三角形

（1）设AB=AC=a，BC=b

cos∠BPC=a2+x2+a2+x2-b22（a2+x2）

（2）设AB=BC=a，AC=b

cos∠BPC=a2+x2+b2+x2-a22a2+x2b2+x2

平方、展开、化简整理，得（4a2-b2）x2+3a2b2-b4

上式有解需要（4a2-b2）×（3a2b2-b4）

从而若3a

结论：存在。若AB=BC=a，AC=b，当3a

4.ΔABC是直角三角形（ΔABC三边分别是a，b，c）

（1）∠BAC=π2，则a2=b2+c2

cos∠BPC=c2+x2+b2+x2-a22c2+x2b2+x2

（2）∠BCA=π2，则c2=a2+b2

cos∠BPC=c2+x2+b2+x2-a22c2+x2b2+x2

展开整理，得x2+b2

5.ΔABC是钝角三角形（ΔABC三边分别是a，b，c）

（1）∠BAC为钝角，a2>b2+c2

cos∠BPC=c2+x2+b2+x2-a22c2+x2b2+x2

则a2-2x2-b2-c2c2+x2b2+x2>a2-b2-c2cb>0

不妨设a2-b2-c2=k（k>0），原式化为：（k2-4b2c2）x2+4b2c2k+（b2+c2）k2

当k2-4b2c24kb2c2+（b2+c2）k24b2c2-k2。

结合cos∠BPC

若存在x，则必须有4kb2c2+（b2+c2）k24b2c2-k2

4b2c2+（b2+c2）k+k2

（2）∠CBA为钝角，b2>a2+c2

cos∠BPC=c2+x2+b2+x2-a22c2+x2b2+x2

由于∠BPC与∠BAC均为锐角，两边平方、展开整理，得

[4b2c2-（b2+c2-a2）2]x2+4b2c2（b2+c2-a2）-（b2+c2）（b2+c2-a2）2

不妨设b2+c2-a2=k（k>0），原式化为：

（4b2c2-k2）x2+4b2c2k-（b2+c2）k2

当（4b2c2-k2）[4b2c2k-（b2+c2）k2]

即（2bc-k）[4b2c2-（b2+c2）k]

由于2bc-4b2c2b2+c2=2bc（b-c）2b2+c2>0，所以4b2c2b2+c2

得（b-c）2

从而若∠CBA为钝角，当（b-c）20））存在∠BPC>∠BAC。

（3）当∠BCA为钝角时同上。

综上所述，ΔABC的三边分别是a，b，c，P是ΔABC所在平面外一点，PAΔABC，设PA=x，若∠CBA或∠BCA为钝角时存在x值，使∠BPC>∠BAC。

例如当∠CBA为钝角时，且（b-c）20）），使∠BPC>∠BAC。