启发思维开拓多种路

一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程.

教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维.

解决问题的过程实际上就是寻求认识问题的正确途径，找到解决问题的要害，这是培养学生提高学习能力的根本所在.

因此，教学中教师不仅要善于诱导学生去发现问题，更要善于帮助他们总结归纳问题，使其认知水平有所提高.

举一个最简单的例子，可以用多种知识解决，学生会怎么思考呢？只有在简单的题目中学会多种方法，才能在难题中用方法，下面谈谈我在教学中诱发一题多解的几种做法.

例题：对任意三角形，求证：（1） 三边上的高交于同一点；（2） 外心、垂心、重心共线，且外心到重心的距离等于重心到垂心的距离的一半.

一、 揭示本质诱发一题多解

分析：这是一个初中学生都知道的结论，由于是几何问题，首先想到用几何方法解决；

简证：做ABC的垂线AD、BE交于点O，过点O作OFAB,连接OC

∠BFO=90°,∠BDO=90°,B、D、O、F四点共圆，∠7=∠5 ∠3=∠2

∠AEB=90°,∠ADB=90°,A、B、D、E四点共圆，∠7=∠6 ∠7=∠5

∠5=∠6

∠OEC=90°,∠ODC=90°,O、D、C、E四点共圆，∠1=∠4

又∠2=∠3，∠3=90°-∠5，∠4=90°-∠6且∠5=∠6

∠3=∠4 又∠2=∠3 ∠2=∠4

∠BOE=180°,∠COF=180°,C、O、F三点共线

又OFAB，CF为ABC的高,ABC的三边上的高交于同一点

本题的几何证明方法利用了图形中的垂直关系，得到了大量的四点共圆，从而得出角的多种相等、互余等关系，使得命题得到证明.

由此，我们发现，面对同样的一道平面几何的证明题观察并分析图中的信息是十分重要的；

二、 启发联想诱发一题多解

联想是由一事物想到另一个事物的思维过程，它是创造性思维的起点.

与平面几何知识联系最密切的知识应该是向量了，课堂上启发学生展开联想，进行发散性思维，可以帮助学生突破感官时空限制，扩大感知领域，唤起学生对已有知识和经验的回忆，沟通新旧知识之间的联系，达到一题多解，发展学生的思维.

方法一：假设ABC中，AD垂直BC于点D，CE垂直AB于点E,AD交CE于点H,

只要证明BHAC就可以

ADBC,CEAB,

AH•BC=0,CH•AB=0

研究

AC•BH=(AB+BC)(BA+AH)

=AB•BA+AB•AH+BC•BA+BC•AH

=AB•BA+AB•AH+BC•BA=

AB•(BA+AH-BC)=AB•CH=0

即BHAC，所以三边上的高交于同一点；

在平面几何中存在大量定理，熟悉和熟练地运用它们将会使得一些题目的证明十分简单，如本题就用到了赛瓦定理：如图：

BD=AB•cosB，

CD=ACcosC,CE=BCcosC,

AE=ABcosA,AF=ACcosA,

FB=BCcosB,BDDC•CEEA•AFFB=1,且AD、BE、CF显然不平行，根据赛瓦定理得：AD、BE、CF交于一点；

从上面的证法不难发现，对于一些重要的定理，不仅要知道，更要理解和掌握，这样才能将这些定理灵活地运用到做题之中，这点十分重要.

但这种几何方法在证明第一问时十分

简洁明了，第二问数量关系就比较麻烦.

三、 数形结合诱发一题多解??

广泛地运用实物模型图、线段图、矩形图等等，直接地、形象地揭示应用题的数量关系，引导学生从不同的角度、不同的侧面去观察、捕捉一题多解的“影踪”，促使学生有所发现，有所创造.

用解析几何处理如图建立直角坐标系：设A(0,a),B(b,0),C(c,0)

则直线AC:y=-acx+a，直线AB:y=abx+a

设直线BD:y=cax+n，直线CE:y=-bax+m，

代入对应点B、D求出n=bca，m=bca 直线BD、CE在y轴上交于同一点，

ABC的三边上的高交于同一点

四、 引导操作诱发一题多解

“儿童的智慧在他们的指尖上.

”心理学实验也证明：认知的发生和发展是通过人的活动来实现的.

因此，解题时要结合题中情节引导学生进行一些操作活动，让学生在真实、具体和有趣的操作情境中丰富感知，在身临其境中得到启发，激活思维，从而探求一题的多种解法.

将复数的几何意义与向量有很多共同处，又可以得到如下解法：

以如意ABC的外心为坐标原点建立复平面的坐标系，H为AC边上的垂线和BC边上的垂线的交点；|A|=|B|=|C|

(H-A)与(B-C)垂直，(H-B)与(A-C)垂直

则(B-C)可以如图所示

(H-A)在直线l上，

若表示出l上任意一点，则λ(H-A)就可以表示出来

|B|=|-C| ∠1=90°设E为C的反向延长线，即|E|=|-C|=|C|

E=C F=B+C

(B+C)与(B-C)垂直 (H-A)=λ1(B+C)

同理(H-B)=λ2(A+C)

H=A+λ1B+λ1C

H=B+λ2A+λ3C λ1=λ2=1

H=A+B+C因H是A、B、C的对称式，可见CZ3也过点H；

ABC的三边上的高交于同一点

五、 沟通知识诱发一题多解

学生随着年级的上升，逐步掌握了多方面的数学知识.

解题时，可引导学生应用不同知识来剖析数量关系，让其上下沟通，左右交叉，这样就会产生尽可能多、尽可能新、尽可能独特的解题方法.

学生学习的实质是在教师的启迪下自主探索建构的过程.

解题时巧设问题，如“这题还有别的解法吗？” “如果……会怎样？”等势必扩大学生思考的范围，拓宽学生解决问题的视野，促使学生开动脑筋，更深入地思考，去发现解决问题的新思路、新途径.

如果将这一题放在复数的知识体系下，也是可以解决的；

以三角形的外心为复平面的坐标原点，不妨设ABC的外接圆的半径为单位1，

设ABC的三个顶点对应的复数为A、B、C,O是ABC的外心为复平面的坐标原点，

|A|=|B|=|C|=1,=1A,

=1B,

=1C,

从顶点A、B、C向对边引垂线，垂足为Z1、Z2、Z3，

AZ1BC,ReZ1-AC-B=0,

Re(Z1-A)(C-B）(C-B)(C-B)=0

即Re(Z1-A)(C-B)=0 (Z1-A)(C-B)=

-(Z1-A)(C-B)

Z1-A-Z1+A

=C-B-Z1C+Z1B

Z1(-)+A(-)=(C-B)+Z1(B-C)

|C|=|B|=||=||=1 Z1-BCZ1=A-BC

设AZ1与BZ2交于点H, H-BC=A-BCA

同理可得：H-CA=B-CAB

H=A+B+C

因H是A、B、C的对称式，可见CZ3也过点H；

ABC的三边上的高交于同一点

不仅如此，由于复数O、13(A+B+C)、A+B+C分别对应ABC的外心、重心、垂心，

故它们显然共线，且外心到重心的距离等于重心到垂心的距离的一半.