运用动量守恒定律妙解题

动量守恒定律是物理学中的一个重要规律，在求解一些物理问题时我们常常会用到它。下面举例说明。

例1 一辆装有沙石总质量为M的小车，正以速度v0在光滑水平面上前进。突然车厢底部不断有沙子漏出撒在路面上，那么在沙石漏出的过程中，小车的速度怎样变化？

错解 有动量守恒定律有Mv0=（M-Δm）u，则u=■，即小车的速度增大。

剖析 产生上述错解的原因在于没有考虑动量守恒定律的系统性，把原来属于系统内漏掉的沙子“丢弃”了。

正解 作为系统，沙子在漏出时也具有与小车同样的水平速度，由动量守恒定律有

Mv0=Δmv0+（M-Δm）u，解之得u=v0

即小车速度不变，保持原来的速度做匀速前进。

点评 动量守恒定律的研究对象是一个系统，而不是一个物体，动量守恒指系统的总动量保持不变，而不是指系统内各物体的动量保持不变。

例2 机车拖着车厢在平直的轨道上匀速前进，突然车厢脱钩，机车的牵引力不变，摩擦力正比于车辆的重量，机车的质量为M，车厢质量为m。原来共同速度为v0，则车厢停下来的时刻速度是多大？

解析 因机车拖着车厢匀速前进，即牵引力F等于机车受到的摩擦力f1与车厢受到的摩擦力f2之和，即对机车和车厢这一系统来说，其所受的合力为零，系统动量守恒。车厢脱钩后到车厢停止之前，F、f1、f2均不变，系统所受的合外力仍为零，动量仍然守恒。

设车厢停下来时，机车的速度为u，则有

（M+m）v0=Mu+0，解之得

点评 动量守恒定律的成立的条件是系统不受外力或合外力为零，而不是系统内各物体所受的合力为零。

例3 如图1所示，质量为m的子弹以速度v0从正下方向上击穿一个质量为M的木球，击穿后木球上升的高度为H，求木球被击穿后子弹上升的高度h有多大。

解析 在子弹击中并穿过木球的极短时间内，重力的冲量可以忽略不计，子弹与木球组成的系统在竖直方向上动量守恒。

设子弹在穿出木球后，子弹与木球的速度分别为v和u，则有

mv0=mv+Mu

u2=2gH

v2=2gH

联立以上三式可求出子弹上升的高度为：h=■。

点评 当物体间的相互作用力（系统内力）远大于系统合外力时，系统近似遵循动量守恒定律，比如碰撞、爆炸等过程。

例4 内装沙子的小车总质量为M，静止在光滑水平面上，在小车上方距沙子表面高为h处以速度v0水平抛出质量为m的铅球，如图2所示。铅球落入车内沙子中后与小车一起运动，试求小车的运动速度。

解析 铅球落入沙子中，沙子对铅球有竖直向上的作用力，沙子和铅球构成的系统在竖直方向上动量并不守恒，但在水平方向上由于系统不受外力作用，因而系统在水平方向上动量守恒。

由于铅球平抛后水平速度不变，则有

mv0=（m+M）u，

故小车的运动速度为：u=■v0

点评 若系统在某一方向不受外力或所受外力的代数和为零，则在这个方向上系统的动量守恒。

例5 湖边停着一只小船，第一次人从岸上以相对于船的水平速度v跳到船上，人跳上船后，船的速度为v1；第二次人先站在停稳的小船上，然后人以相对于船的水平速度v跳离船，人离开船时，船的速度为v2。若不计水对船的阻力，则两次船速大小相比较是（）

A.v1=v2 B.v1>v2

C.v1

解析 把船与人看成一个系统，在水平方向上系统所受的合外力为零，动量守恒。设人的质量为m，船的质量为M，并以v为正方向。对第一次跳动来说，有

mv=（m+M）v1，解之得v1=■v

对第二次跳动来说，人离开船时，人对地面的速度为（v-v2），故有

0=m（v-v2）-Mv2，解之得v2=■v

则v1=v2，故应选A。

点评 动量守恒中的速度都必须是相对同一参照系，在一般情况下，都以大地为参照系。

例6 两辆质量相同的小车，置于光滑的水平面上，有一人静止在小车A上，两车静止，如图3所示。当这个人从A车跳到B车上，接着又从B车跳回到A车，并与A车保持相对静止，则A车的速率（）

A.等于零

B.小于B车速率

C.大于B车速率

D.等于B车速率

解析 选A车、B车和人作为系统，两车均置于光滑的水平面上，在水平方向上无论人如何跳来跳去，系统均不受外力作用，故满足动量守恒定律。

设人的质量为m，A车和B车的质量均为M，最终两车速度分别为vA和vB，则由动量守恒定律，有

0=（M+m）vA-MvB，解之得■=■，即vA

（作者单位：河南省许昌市高级中学）