浅谈中学简化或避免分类讨论的几种常用方法

分类讨论的思路方法是中学数学的基本方法之一，但解题过程往往繁琐、冗长，且极易在完备性上造成失误．克服思维定势，尽力打破常规，是一种重要的数学思维方法．如何尽可能简化或避免分类讨论、不断提高解题速度，是中学数学解题的更高追求目标．因此，应尽可能避免讨论，以便简化解题过程，达到简捷解题的目的．下面介绍简化或避免分类讨论的几种常用方法．

（一） 整体代换

当需要分类讨论的问题涉及到若干个体时，如能把若干个体视作一个整体处理，即采用整体代换这种常用的换元技巧，往往可使讨论得到简化．

例1已知函数 f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，求实数 a的取值．

分析 运用整体思想可知，一元二次函数在闭区间的最值只能在区间端点处取得，若分别令端点值或顶点值等于2，即可优先求出字母参数 ，再检验求出的 a值是否与前提矛盾就不难了，这样就避免了对字母参数 a的分类讨论．

解 f(x)=1-sin2x+asinx-a2+2a+5

=-(sinx-a2)2-34a2+2a+6

令 sinx=t，t[-1,1] ．

则

f(t)=-(t-a2)2-34a2+2a+6(t[-1,1] )．

（1）令 ymax=f(1)=2，即 -a2+3a+5=2，则 a=3±212．当a= 3-212时，关于t 的一元二次函数的 f(t)的对称轴 t0=a2[-1,1] ，此时应有ymax=f (a2)，矛盾，舍去；当 a=3+212时，函数 f(t)的对称轴 t0=a2＞1，此时 ymax=f(1)，满足题意．

（2）令 ymax=f(-1)=2，即 -a2+a+5=2，则 a=1±132．当 a=1-132时，关于 t的一元二次函数 f(t)的对称轴 t0=a2＞1，此时应有 ymax=f(1)，矛盾，舍去；

（3）令 ymax=f (a2)=2，即 -34a2+2a+6=2，则 a=-34或 a=4．当 a=-34时，关于t 的一元二次函数f(t) 的最大值应为 f(a2)，满足题意．当 a=4时，函数 f(t)的对称轴 t0=a2＞1．此时应有ymax=f(1) ，矛盾，舍去．

综上，当 a=3+212或a= -34时，能使函数 f(x)的最大值为2.

评析 这种放眼全局、避重就轻的做法解决了受局部牵制的被动，抓住了最大值的本质，也就占据了“至高点”．

（二）挖掘隐含条件

在解分类讨论问题中，如利用显条件解题比较繁杂时，不妨调整思维角度，着力挖掘题目中的隐含条件，变隐含为明显，常常能突破解题难关，开辟解题捷径，这对于培养学生思维的广阔性和灵活性必然有益．

例2 已知函数 f(x)=-12x2+x，是否有实数 m,n(m＜n)使得函数 f(x)的定义域、值域分别是[m,n] 和 [2m,2n]？若存在，求出m , n的值；若不存在，说明理由．

分析 定义域、值域都是两个动态的区间，按常规做法需讨论对称轴与所给区间的相对位置关系，得出函数f(x) 在所给区间的单调性，从而求出函数 f(x)在区间 [m,n] 上的值域，再与所给值域比较即可，这一过程需分三种情况讨论，无法回避一个复杂的程序化的运算过程，但若能从题意中挖掘出“ n≤1”（即对称轴在所给区间右侧）这一隐含条件，则可得出函数 f(x) 在所给区间内单调递增，从而避免繁琐的分类讨论．

解 一方面， f(x) =-12(x-1)2+12在 (-∞,+∞)上的最大值是12 ；另一方面，若存在满足条件的 m,n,则 f(x) 在 [m,n] 上的最大值是 2n．所以[2m,2n] (-∞,1)，即有 2n≤12，得 n≤14＜1．从而函数 f(x)在区间 [m,n] 上是增函数，

所以

f(m)=-12m2+m=2m,f(n)=-12n2+n=2n,

解得 m1=-2,n1=-2.

或 m2=0,n2=0.

又因为 m＜n，所以 m=-2，n=0 ．

评析 本题依据“函数在整体区间上的最大值不小于在局部区间上的最大值”这一个基本事实，挖掘出 n≤14＜1，从而避免了讨论函数 f(x)在所给区间上的单调性．

（三）逆向思维

有些问题直接讨论可能情况较为复杂，而它的反面情形则较为简单，这时根据“正难则反”的原则，我们应逆向思维，从反面寻找简化或避免讨论的途径．

例3 若函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像与 x轴的两个交点中至少有一个在 的正半轴上，试求实数 m范围．

分析 由于要求“ f(x)的图像与 x轴的两个交点中至少有一个在 x轴的正半轴上”，所牵涉到的情况较为复杂，它包括：（1）两个交点都在正半轴上；（2）只有一个交点在正半轴上，且后者又有另一交点在负半轴上或在原点．因此，求解过程显然较繁．故从反面考虑，改求“使交点都不在 轴的正半轴上”的 m的取值范围．

解 先考虑有两个交点，则

m≠0,Δ=(m-3)2-4m＞0,

解得 m ＜1或 m＞9且 m≠0．

又当两个交点都不在 x轴的正半轴上时，有

3-mm＜0,1m＞0,

解得m＞3 ．

从而可知当 m＞9时， f(x)的图像与 x轴的两个交点都不在 轴的正半轴上．那么其反面的结果就是当 m ＜0或 0 ＜m＜1时，图像与 x轴的正半轴至少有一个交点．

评注 上述方法从反面进行思考，从全集中去掉那些不符合题设的解集，而前提条件 Δ＞0及 m≠0在采用这种方法时极易被忽视．

（四）变换主元

有些分类讨论问题中，往往有几个变元，其中常有一个变元处于较为有利的位置，不妨称其为主元．受思维定势的影响，学生在解题时，总是抓住主元不放，结果造成分类复杂，解题过程繁琐．如能采用变换主元，反客为主的策略，则往往化繁为简，避免了讨论．

例4 当 ｜m｜≤1时，不等式2x-1 ＞m(x2-1)(x≠±1)恒成立，求实数 x的取值范围．

分析 本题若以 x为主元对m 进行讨论，则问题的解决就繁琐得多，若以 m为主元则可避免对 x进行分类讨论．

解 因为 2x-1＞m(x2-1)，所以m(x2-1) ＜0．

令 g(m)=m(x2-1)-(2x-1)，则g(m) ＜0在 m[-1,1]上恒成立．

因为 x≠±1，所以 x2-1≠0，故函数 g(m) 为关于 m的一次函数，要使函数g(m) ＜0 在 m[-1,1]内恒成立，需讨论函数 g(m) 在 m[-1,1]的单调性及其最大值．若能结合一次函数图像，则易知只需端点值恒负，故

g(1) ＜0g(-1)＜0.

由 g(1)＜0，得：0 ＜x＜2；

由g(-1)＜0 ，得： x＞3-1或x ＜1-3．

故x 的取值范围是 (3-1,2)．

评注 本题的巧妙之处是主元思想，源于对问题关系本质的深刻理解和数学揭示，求 x反而以 m为主元，对 x进行讨论，这才是真正切中两元关系的要害；另外，对一次函数相应方程或不等式的有解或恒成立问题，由于只需求出主变元函数的值域或上、下限，若能数形结合，则可避免对一次函数单调性进行讨论．