圆锥曲线中距离的最值问题探讨

关于几何中的点与点之间的距离问题,是研究点与点、点与线、点与面、线与线、线与面以及面与面的关系的最基本的内容,而距离的最值问题又是考试中常涉及的知识点,且在实际生活中具有广泛的应用价值。以下就圆锥曲线中曲线上的点到一焦点和定点的距离之和的最值问题予以总结,以便在解答有关选择题和填空题时直接引用,供大家参考。

1 关于椭圆

已知椭圆方程为+=1(a>b>0)

F1、F2分别为椭圆的左右焦点,求椭圆

上的点P到F1和定点M的距离之和

的最值。

1.当定点M在椭圆外部时(如图1)

(1)求|PF1|+|PM|的最小值

只需连结F1M,F1M与椭圆的交点P1,便是所找的最小值点,其最小值直接用两点距离公式可求得。

(2)求|PF1|+|PM|的最大值

只需连结MF2,并延长MF2与椭圆相交于一点P2,便是所找的最大值点,其最大值为2a+|MF2|(|MF2|+|F1P2|的值)。

证明:在椭圆上任取异于P2的一点P,连结PF1、PF2、PM、则有|PM|+|PF1|

(1)当M点与F2不重合时,则有|PM|+|PF1|的最小值是射线F2M与椭圆的交点P1,其最小值为|P1M+|P1F1|=2a-|MF2|,而|PM|+|PF1|的最大值点是线段MF2的延长线与椭圆的交点P2,其最大值为|P2M|+|P2F1|=2a+|MF2|。

证明:在椭圆上任取异于P1 P2的一点P,连结PF1、PF2、PM。

|PM|+|PF1|=|PF1|+|PF2|-|PF2|+|PM|

=2a-(|PF2|-|PM|)>2a-|MF2|

而 |PM|+|PF1|=2a-(|PM|-|PF2|)

以上结论成立

(2)当M与F2重合时,椭圆上的任意一点到F1和到M的距离之和都为2a,此时有2a±|MF2|=2a。

由此可知,除定点M在椭圆外时,|PM|+|PF1|的最小值为|PF1|外,其他情况的最小值都为2a-|MF2|,最大值都为2a+|MF2|

2 关于双曲线

设双曲线方程为-=1(a>0,b>0)、F1、F2分别为左右焦点,求双曲线上一点P到F1和一定点M的距离之和的最小值。

(由于双曲线是无限延伸的,所以所求距离之和无最大值)。

P1为最小值点

4.特别地,若要在双曲线右支上求点P,使|PF1|+|PM|的值为最小,首先连结MF1,若MF1与双曲线右支有交点P1,这点便是所找的最小值点,则|PF1|+|PM|的最小值为|MF1|,若没有交点,则应连结MF2,MF2与双曲线右支的交点P2,即为所求的最小值点,其最小值为|MF2|+2a,当然这时M只能是在双曲线右支的外部。(如图7)

证明:在右支上任取异于P2

的一点P,连结PF1、PF2、PM。则有

|PF1|+|PM|=|PF1|-|PF2|+|PF2|+|PM|

=2a+|PF2|+|PM|>2a+|MF2|

=|P2F1|+|P2M|

P2为右支上的最小值点

总之,求双曲线上一点到一焦点和定点的距离之和的最小值时,首先应考虑该焦点与定点的连线是否与双曲线有交点,若有,这点便是最小值点,若没有,则应考虑连结定点和另一交点来找,这时的值的求法应联想到双曲线的定义来求。

3 关于抛物线

设抛物线的方程为:y2=2px(P>0),

F为焦点,求抛物线上一点P到F

和到定点M的距离之和的最小值

1、当定点M在抛物线外部时,

(如图8)则有|PF|+|PM|的最小值为|FM|,连结FM与抛物线

N,即P1为最小值点。

证明:|P1N|=|P1F|

|P1F|+|P1M|=|P1M|+|P1N|=|MN|=+x0,即为|PF|+|PM|的最小值,特别是当定点在抛物线内部时,抛物线上到定点和焦点的距离之和的最小值点是过定点M作抛物线的准线的垂线与抛物线的交点,垂足为N,且最小值为|MN|(=+|x0|,)。

以上求值方法对于焦点在其它位置时,可用以上方法类比得出结论。

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