圆锥曲线中的最值问题

摘 要: 最值问题是高考重点考查的知识点之一,它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程(不等式)及圆锥曲线等知识紧密联系。为使学生更好的解决这类问题,本文作者总结了以下方法:定义法;三件函数法(或参数方程法);不等式法;构造函数法;数形结合法。

关键词: 圆锥曲线 最值问题 定义法

最值问题,几乎涉及高中数学的各个分支,在生产实践当中也有广泛的应用,它是历年高考重点考查的知识点之一,经常与三角函数、二次函数、一元二次方程(不等式)及圆锥曲线等知识紧密联系,所以其解法灵活,综合性强,能力要求高。学习如何利用一定的数学方法来解决这类问题就显得尤为重要。下面我将针对圆锥曲线中的最值问题,介绍几种具体的方法。

一、定义法

圆锥曲线许多性质都是由其定义派生出来的,如果能从它的定义出发,挖掘其性质,把定量的计算与定性的分析有机地结合起来,则可达到事半功倍的效果。下面举例说明。

例1、已知椭圆+=1的左焦点为F,椭圆内有一个定点A(4,1),P为椭圆上任意一点,试求:①当|PA|+|PE|取最小值时,求P点的坐标。

②|PF|+|PA|的最大值,求P点的坐标。

分析:①如果设P(x,y),因为|PA|+|PE|式中的数值“”恰为,与离心率e有关系,考虑左准线,巧妙运用椭圆的第二定义把|PF|转化为点P到左准线的距离。②因|PF|+|PA|与离心率e没有关系,不能考虑左准线,就利用椭圆的第一定义。

解:①a=5,b=4,e=,左准线x=,过点P作左准线的垂线,垂足为N,过A作此准线的垂线,垂足为M,由椭圆的第二定义 |PN|==|PF|,于是|PA|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN|≥|AM|(|AM|为定值),当且仅当P点是线段AM与椭圆的交点时等号成立。

②如图,设椭圆的右焦点为F',则|PF|+|PA|=2a-|PF′|+|PA|=2a+|PA|-|PF′|。

连结AF′并双向延长交椭圆于BC两点,如图所示,

||PA|-|PF′||≤|AF′|,

-|AF|≤|PA|-|PF′||AF′|,

|PF|+|PA|=2a+|PA|-|PF′|≤2a+|AF′|=10+。

当且仅当P与B重合时,等号成立。

所以(|PF|+|PA|)max=10+。

说明:①由上述求解过程中可知:椭圆上任一点P到椭圆内一定点A及一焦点F的距离之和存在着最大值,这个最大值就等于长轴长加上这个定点到另一焦点F的距离,即为2a+|AF′|。

②与此相类似,我们可求得本例中|PF|+|PA|的最小值为10-,一般地,|PF|+|PA|的最小值为2a-|AF′|。

变式训练:F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P为双曲线右支上一点,则|PF|+|PA|的最小值为(D)。

A.6 B.7 C.8 D.9

点评:一般的,遇到有关焦点(或准线)问题,首先应考虑用定义来解题。椭圆上的点大两焦点的用第一定义,椭圆上的点到焦点及准线的距离考虑用第二定义。如果引入变量来求最值,会陷入复杂的运算,然而从定义入手,可大大简化运算,少算多思。

二、三角函数法(或参数方程)

我们学过的正弦函数和余弦函数是在区间[-1,1]上取值的,如果我们可以把要求解的问题用三角函数式表示出来,再进行化简,就可以利用三角函数的有界性,求出最值。

例2、在椭圆+=1上找一个点P,使它到直线L:3x-2y-16=0的距离最短,并求出最短距离。

分析:利用椭圆的参数方程,易得到动点P的坐标,从而利用点到直线的距离公式找到P到L的距离。

解:设P到L的距离为d,

椭圆的参数方程为x=2sinθy=cosθ(θ为参数),

则P(2Sinθ,cosθs),

d==(其中cosφ=,sinφ=)。

当θ-φ=时,d有最小值。

此时,θ=+φ,sinθ=cosφ=,cosθ=-cosφ=-,

P(,-)。

变式训练:已知实数x,y满足2x+3y=6x,则x+2y的最大值为(D)。

A.12 B.11 C.10 D.9

三、不等式法

例3、设点O是直角坐标系的原点,点M为直线l∶x=-P(P>0)上的,y动点,N在线段MO的延长线上,且满足|MN|=|MO|・|NO|。

(Ⅰ)求动点N的轨迹方程。

(Ⅱ)当P=1时,求|MN|的最小值。

解:(Ⅰ)设N(x,y)(x>0)

由题设M、O、N三点共线,

可联想到对应线段成比例此时需作辅助线段,

得M、N两点各到x轴的垂线段得到比值,求出轨迹方程,过程略。

所得轨迹方程:(P-1)x+Py-2Px-P=0(x>0)。

(Ⅱ)当P=1时,N点轨迹代入即为y=2x+1(x>0)。

设N(x,y)M(-1,t),由M、O、N三点共线得:

=,即=-t,

M(-1,-),

则|MN|==

=x++1≥2+2=4。

当且仅当x=即x=1时等式成立。

当x=1时,|MN|min=4。

四、构造函数法

例4、求抛物线y=2x上与点A(,0)距离最近的点M及相应的距离|MA|。

解:设M(x,y)是曲线上任意一点,即y=2x,

|MA|=(x-)+y=(x-)+2x=(x+)+,x≥0,

此关于x的函数在[0,+∞)上单调递增,

其最小值在x=0时取得,此时|MA|=,

故所求M(0,0),相应的距离|MA|=。

点评:当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时,可通过建立目标函数,求其目标函数的最值。上述解题过程是将求圆锥曲线最值转化为讨论二次函数最值,其中运用配方法进行恒等变形。此时应注意其定义域受题设条件限制时,要避免简单地认为一定在抛物线顶点处取得最值。

变式训练:已知P点在圆x+(y-2)=1上移动,Q点在椭圆+y=1上移动,试求|PQ|的最大值。

解:故先让Q点在椭圆上固定,显然当PQ通过圆心O时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大值,只要求|OQ|的最大值。设Q(x,y),

则|OQ|=x+(y-4) ①

因Q在椭圆上,则x=9(1-y) ②

将②代入①得|OQ|=9(1-y)+(y-4)=-8(y+)+27。

因为Q在椭圆上移动,所以-1≤y≤1,故当y=时,|OQ|=3。

此时|PQ|=3+1。

点评:(1)与圆有关的最值问题往往与圆心有关;

(2)函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。

五、数形结合法

例5、P为抛物线x=4y上的一动点,定点A(8,7),求P到x轴与到A点的距离之和的最小值。

解:过P引X轴的垂线PM并延长,与准线Y=-1于Q点,由抛物线的定义可知|PQ|=|PF|=|PM|+1,

|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-1。

P到x轴与到A点的距离之和最小,则连接AF,于抛物线的交点即为满足要求的P点。

最小值为|AF|-1=9。

点评:在解题的过程中要画出图像,从图像中发现,运用数形结合法解决问题。

综上所述,解决圆锥曲线中的最值问题,要注意联系圆锥曲线的定义和性质,重视运用数形结合,将问题转化为一定的函数关系或不等式进行讨论。

学无定法,贵在得法,解题关键还在于具体问题具体分析,具体处理。

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