圆锥曲线易错点剖析

一、对概念一知半解

我们认识一种新事物往往从定义、概念去入手，它是解决数学问题的重要依据和源泉，然而我们往往一目十行，似懂非懂，没有深入，导致了概念性的错误.

1.圆锥曲线第一定义

（1）椭圆：与两定点[F1、F2]距离之和等于常数[2a]，且[2a一定要大于F1F2]. 当常数等于[F1F2]时，轨迹是线段[F1F2]；当常数小于[F1F2]时，没有轨迹.

（2）双曲线：与两定点[F1、F2]距离之差的绝对值等于常数[2a]，且[2a]一定要小于[F1F2]. 当[F1F2]=[2a]时，轨迹是以[F1、F2]为端点的两条射线；当[F1F2>2a]时，则轨迹不存在. 若去掉绝对值，其轨迹表示双曲线的一支.

例1 （1）已知定点[F1（-3，0），F2（3，0）]且动点[P]满足[PF1+PF2=6]，则动点[P]的轨迹为（ ）

A. 椭圆 B. 双曲线

C. 两条射线 D. 一条线段

（2）若动点[P（x，y）]满足[（x-6）2+y2-][（x+6）2+y2][=8]，则动点[P]的轨迹是（ ）

A. 双曲线 B. 两条射线

C. 双曲线左支 D. 双曲线右支

解析 （1）由椭圆的定义可知，常数[2a]一定要大于[F1F2]时才是椭圆，当常数[2a]等于[F1F2]时，轨迹是线段[F1F2]，故选D.

（2）双曲线方程有两支，当没有绝对值时只表示其中的一支，根据题意故选C.

2.圆锥曲线第二定义

圆锥曲线的第二定义揭示椭圆、双曲线、抛物线之间的关系，它强调曲线上的点到焦点与到相应准线距离的关系. 我们若理解不透彻，会将焦点与相应准线张冠李戴.

定义：若平面上动点[P]到一个定点的距离与到一条定直线距离之比为一个常数[e]，则：当[0

例2 （1）已知双曲线方程为[3x2-y2=9]，双曲线右支上的点[P]到右焦点的距离为[3]，则点[P]到准线[x=-32]的距离为（ ）

A. [32] B. [23] C. 2 D. [32+3]

（2）已知椭圆方程为[x225+y29=1]，椭圆上一点[M]到左焦点的距离为6，则点[M]到右准线的距离为 .

解析 此题易出错的原因是忽视了右焦点对应右准线，要看清题中所给的焦点和准线是否相应，这需要我们对第二定义的概念要清楚.

（1）根据第二定义，求出点[P]到右准线的距离为[32]，

则点[P]到左准线[x=-32]的距离为[32+3].

（2）根据第二定义，左焦点对应左准线先求出点[M]到左准线的距离[d1=152]，

则点[M]到右准线的距离为[d2=2×254-152=5].

二、忽视变量范围

解决圆锥曲线综合性问题时，要考虑圆锥曲线本身变量的范围，而在进行纯代数运算时往往容易忽视.

例3 已知曲线[C：y=20-x22]与直线[l]：[y=-x+m]仅有一个公共点，求[m]的取值范围.

错解 曲线[C]化简得[x2+4y2=20]，由于曲线[C]与直线[l]只有一个公共点，联立方程得

[y=20-x22y=-x+m][?][5x2-8mx+4m2-20=0][?]

[Δ=0]解得[m=±5].

正解 方程[x2+4y2=20]与原方程[y=20-x22]并不等价，因为[y≥0]，故原曲线[C]表示的是椭圆在[x]轴的上半部分.根据题意画出曲线图象.

由图象可知[m=5或-25≤m

点拨 在方程化简过程中，一定要注意变量的取值范围和等价性，数形结合有助于我们解决此类问题.

三、考虑问题不周全

在解决圆锥曲线有关问题时，首先要对焦点位置进行判断，否则很容易造成经验性错误. 在求解直线与圆锥曲线问题时，要注意对直线与曲线位置进行判断，尤其是特殊情况.

例4 设双曲线的渐近线方程为[y=±32x]，求双曲线的离心率.

错解 由双曲线的渐近线方程[y=±32x]知，

[ba=32][?e=1+b2a2=132].

正解 单单由双曲线的渐近线方程是无法判断焦点位置的，本题出错的原因是同学们的惯性思维和思维不严谨的结果，应分两种情况：

当焦点在[x]轴上时，[e=1+b2a2=132].

当焦点在[y]轴上时，[e=1+（23）2=133].

例5 设点[P（x，y）]在椭圆[4x2+y2=4]上，求[x+y]的最大值和最小值.

错解 [4x2+y2=4，4x2≤4.]

解得[-1≤x≤1，]同理，[-2≤y≤2].

故[-3≤x+y≤3]，最大值为3，最小值为[-3].

正解 方法一： 设[x+y=k]则[y=-x+k]，[k]为直线[y=-x+k]在[y]轴上的截距，

由数形结合可知：当直线与椭圆在第一象限相切时[k]取得最大值，当直线与椭圆在第三象限相切时[k]取得最小值，

故联立方程[4x2+y2=4y=-x+k][?5x2-2kx+k2-4=0].

由于相切时取最大值和最小值，

所以[Δ=（2k）2-4×5×（k2-4）=0]解得[k=±5]，

即最大值为[5]，最小值为[-5].

方法二：[4x2+y2=4x2+y24=1].

设[x=cosα，y=2sinα]，

[x+y=cosα+2sinα][=5sin（α+θ）.]

[-1≤sin（α+θ）≤1，]

[-5≤5sin（α+θ）≤5]，

即[-5≤x+y≤5].

点拨 本题中的[x、y]除了满足[-1≤x≤1]和[-2≤y≤2]以外，还受条件[4x2+y2=4]制约. 做题时要考虑全面，防止范围扩大导致错误.

四、忽略隐含条件

在解决圆锥曲线综合性问题时，一定要善于挖掘题中所给的隐含条件，比如参数变量的范围、圆锥曲线图象特征等.

例6 已知双曲线方程为[x2-y22=1]过点[P（1，1）]能否做一条直线[l]与双曲线交于[A、B]两点，且点[P]为[AB]的中点.

错解 当直线的斜率不存在时，此时直线过点[P]垂直于[x]轴过点[（1，0）]与双曲线只有一个交点，很显然不符合题意.

当直线斜率存在时，设直线方程为[y-1=k（x-1）]联立方程[x2-y22=1]整理得，

[（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-2=0]，

设[A点（x1，y1）， B点（x2，y2）]，

由根与系数的关系得[x1+x2=2k（1-k）2-k2]，

又因为点[P]为[AB]的中点，

所以[2k（1-k）2-k2=2]，解得[k=2]，

故存在这样的直线方程为[y=2x-1].

正解 由题目条件可知直线与曲线交于不同两点，故[Δ>0]；而当[k=2]时，其[Δ

点拨 在解决圆锥曲线问题时，我们定要考虑全面，不能漏解，尤其是有关直线与圆锥曲线问题一定要注意对隐含条件判别式[Δ]的符号的判断.

例7 已知曲线[C：y=x2]与直线[l：x-y+2=0]交于两点[A（xA，yA）]和[B（xB，yB）]，且[xA

（1）若点[Q]是线段[AB]的中点，试求线段[PQ]的中点[M]的轨迹方程；

（2）若曲线[G：x2-2ax+y2-4y+a2+5125=0]与[D]有公共点，试求[a]的最小值.

解析 （1）联立[y=x2]与[y=x+2]得[xA=-1，][xB=2]，

则[AB]中点[Q（12，52）].

设线段[PQ]的中点[M]坐标为[（x，y）]，

则[x=12+s2，y=52+t2，]

即[s=2x-12，][t=2y-52]，又点[P]在曲线[C]上，

[2y-52=（2x-12）2]化简可得[y=x2-x+118].

又点[P]是[L]上的任一点，且不与点[A]和点[B]重合，

则[-1

中点[M]的轨迹方程为

[y=x2-x+118（-14

（2）曲线[G：x2-2ax+y2-4y+a2+5125=0]，

即圆[E：（x-a）2+（y-2）2=4925]，

其圆心坐标为[E（a，2）]，半径[r=75.]

由图可知：

当[0≤a≤2]时，曲线[G：x2-2ax+y2-4y+a2][+5125=0]与[D]有公共点.

当[a

得[-725≤a

则[a]的最小值为[-725].

点拨 在求圆锥曲线轨迹方程问题时，要注意轨迹的纯粹性，去杂堵漏，挖掘题中隐含条件，约束变量范围，有时还要借助分类讨论来确定.