专题圆锥曲线

解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其他知识之间的综合，高考中一般是一道填空题和一道解答题，填空题主要考查圆锥曲线的定义和性质，而解答题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两到三个小问题，第一问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第二、第三问主要涉及定值问题、最值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等，这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系。这体现了应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上设置问题。

一、 考纲要求

1. 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程；

2. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；

3. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。

二、 难点疑点

1. 圆锥曲线的定义及标准方程；

2. 圆锥曲线的离心率；

3. 与圆锥曲线有关的轨迹问题；

4. 与圆锥曲线有关的最值、定值问题；

5. 与平面向量、数列及导数等知识相结合的交汇试题。

三、 经典练习回顾

1. 已知椭圆的离心率为12，焦点是（-3，0），（3，0），则椭圆方程为.

2. 设双曲线x2-y2=1的两条渐近线与直线x=22围成的三角形区域（包含边界）为E，P（x，y）为该区域内的一个动点，则目标函数z=3x-2y的取值范围为.

3. 短轴长为2，离心率e=3的双曲线两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线于A、B两点，且|AB|=8，则ABF2的周长为.

4. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是.

5. 已知抛物线x=2my2（m

6. 已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为3的直线交C于A，B两点.设|FA|>|FB|，则|FA||FB|的值等于.

四、 例题精析

题型一利用定义解题

涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义。对于后者，需要注意焦点与准线要同侧，不能弄错。

【例1】方程（x-2）2+（y-2）2=|x-y+3|表示的曲线是.

分析方程的两边直接平方展开比较麻烦，联想方程左边到定点的距离，而如果将右边转化为到定直线的距离，那问题就迎刃而解了。

解已知方程就是（x-2）2+（y-2）2=2·|x-y+3|2，由双曲线的第二定义，可知动点P（x，y）到定点（2，2）的距离与到定直线x-y+3=0的距离比为2，因为2>1，所以方程所表示的曲线是双曲线.

点拨从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线x-y+3=0的距离之比为2的动点（x，y）的轨迹，根据双曲线定义得方程所表示的曲线是双曲线。显然通过对方程的发现与联想利用定义来解简洁明了。

【例2】椭圆x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点且F分向量BA的比为2/3，求椭圆的离心率e。

分析本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单，运算繁琐。下面介绍两种简单解法。

解法一：设点A（xA，yA），B（xB，yB），由焦半径公式可得a+exAa+exB=32，

则2（a+exA）=3（a+exB），

变形2（a+exA-a-exB）=a+exB，

所以2e（xA-xB）=a+exB.

因为直线倾斜角为45°，

所以有2e·22|AB|=25|AB|，所以e=25.

提示本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。

解法二：|BE|=1e|BF|=1e·25|AB|，|AD|=1e|AF|=1e·35|AB|，

|AC|=22|AB|，|AD|-|BE|=|AC|，

1e·35|AB|-1e·25|AB|=22|AB|

e=25.

点拨本解法巧妙运用了几何性质，运算简洁直观。需要注意的是解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线和圆。因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。

题型二直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或曲线方程的参数问题；三是求直线与圆锥曲线相交时所得弦长、弦的中点及轨迹问题等。解答此类题型的一般方法化为二次方程，利用判别式与韦达定理来求解。

【例2】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为23.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M（0，b），求b的取值范围.

分析第（Ⅰ）小题利用直接法求解；第（Ⅱ）小题将直线与双曲线方程联立消去y，然后利用判别式及韦达定理求解；第（Ⅲ）小题需利用“垂直”与“平分”联系两条直线斜率间的关系及中点坐标公式建立b关于斜率k的表达式，结合第（Ⅱ）小题k的范围求解。

解（Ⅰ） 设双曲线方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），

由已知，得a=3，c=2，b2=c2-a2=1，故双曲线方程为x23-y2=1.

（Ⅱ） 设A（xA，yA），B（xB，yB ），将y=kx+2代入x23-y2=1，得（1-3k2）x2-62kx-9=0.

由题意知1-3k2≠0

Δ=36（1-k2）>0

xA+xB=62k1-3k2

xAxB=-91-3k2>0，

解得，33

当33

（Ⅲ） 由（Ⅱ）得：xA+xB =62k1-3k2，yA+yB=kxA+2+（kxB+2）=k（xA+xB）+22=221-3k2.

AB中点P的坐标为32k1-3k2，21-3k2.

设l0方程为：y=-1kx+b，将P点坐标代入l0方程，得b=421-3k2.

33

b

b的取值范围为：（-∞，-22）.

点拨本题主要考查利用直接法求双曲线标准方程、直线与圆锥曲线位置关系不等式的解法等知识，以及考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，考查逻辑思维能力及运算能力。直线与圆锥曲线位置关系主要涉及交点个数问题、中点问题、弦长问题、最值与定值问题等，解答时往往通过消元最终归结为一元二次方程来进行解决。特别地：（1）如果遇到弦的中点与斜率问题则考虑利用“点差法”较为简单，但须注意对结果进行检验；（2）求最值与参数的范围时注意确定自变量的范围；（3）过焦点的弦长问题一般利用圆锥曲线的统一定义进行转化可大大减少运算量。

题型三定值问题

定值问题是近几年我们江苏高考的一个热点和难点，从08年到现在年年考。而求解这类问题的方法有两种，其一是特值探路，方向明确根据特殊性与普遍性（个性与共性）的辨证关系，以特例探路，从特例中求出几何量的定值，得到启示，从而将问题化归为解几何证明问题，再利用定义、焦半径公式等对一般情形进行证明；其二是转化为多项式恒为零，对应的系数都为零来解。【例3】如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，过点A（a，0）与B（0，-b）的直线与原点的距离为 2105.又有直线y=12x与椭圆C交于D，E两点，过D点作斜率为k的直线l1.直线l1与椭圆C的另一个交点为P，与直线x=4的交点为Q，过Q点作直线EP的垂线l2.

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线l2恒过一定点.

分析第（1）小题利用解方程来求解；第（2）小题将直线与椭圆方程联立消去y，然后利用韦达定理求出P点的坐标，代入斜率公式得到EP的斜率，然后再求出Q点坐标，再转化为关于k的一次多项式恒为零来解。

解（1） 因为椭圆C的离心率e=32，

故设a=2m，c=3m，则b=m.

直线AB的方程为bx-ay-ab=0，

代入得mx-2my-2m2=0，

即x-2y-2m=0.

所以2m1+4=2105，解得m=2.

所以a=22，b=2，

从而椭圆方程为x28+y22=1.

（2） 由题意可得D（-2，-1），E（2，1），则直线l1的方程为y+1=k（x+2）.

联立y+1=k（x+2），

x28+y22=1，得（1+4k2）x2+8k（2k-1）x+4（2k-1）2-8=0.

设P（x1，y1），则x1=-8k（2k-1）1+4k2+2.

直线EP的斜率为k1=y1-1x1-2=k（x1+2）-2x1-2=4k-21+4k2-8k（2k-1）1+4k2=-14k.

因为l2EP，所以直线l2的斜率k2=4k.

又由y+1=k（x+2），

x=4得Q点的坐标为（4，6k-1）.

所以直线l2的方程为y-6k+1=4k（x-4），整理得（4x-10）k=y+1.

所以直线l2恒过定点52，-1.

点拨本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系。本题综合性较强，是求定值问题较好的典范。

题型四圆锥曲线与向量的综合

圆锥曲线与向量知识的综合题，常以复杂多变、综合性强、解法灵活，知识覆盖面广，注重考查逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用能力。在解题中需要把握住知识间的联系，注意借助转化的思想、方程思想等。

【例4】在直角坐标平面中，ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（-1，0）、B（1，0），平面内两点G，M同时满足下列条件：①GA+GB+GC=0；②|MA|=|MB|=|MC|；③GM∥AB.（Ⅰ） 求ABC的顶点C的轨迹方程；

（Ⅱ） 过点P（3，0）的直线l与（Ⅰ）中轨迹交于E，F两点，求PE·PF的取值范围.

分析由于涉及的动点有三个，因此采用设而不求思想先设C、G、M三点的坐标，然后将坐标代入①②中的两个等式，同时利用向量平行的条件进行转化，第（Ⅰ）小题就可求解。第（Ⅱ）小题则需利用判别式确定直线与所求轨迹相交的条件，即直线斜率k的范围，然后利用向量的数量积公式及韦达定理建立PE·PF关于k的函数式，最后根据求函数值域的方法即可求得结果。

解（Ⅰ） 设C（x，y），G（x0，y0），M（xM，yM），

|MA|=|MB|，M点在线段AB的中垂线上.

由已知A（-1，0），B（1，0），xM=0，

又GM∥AB，yM=y0，

又GA+GB+GC=0，（-1-x0，y0）+（1-x0，-y0）+（x-x0，x-y0）=（0，0），

x0=x3，y0=y3，yM=y3，

|MB|=|MC|，（0-1）2+y3-02

=（0-x）2+y3-y2，

x2+y23=1（y≠0），顶点C的轨迹方程为x2+y23=1（y≠0）.

（Ⅱ） 设直线l方程为：y=k（x-3），E（x1，y1），F（x2，y2），

由y=k（x-3）

x2+y23=1，消去y得：（k2+3）x2-6k2x+9k2-3=0①，

x1+x2=6k2k2+3，x1x2=9k2-3k2+3，

而PE·PF=|PE|·|PF|·cos0°=|PE|·|PF|=1+k2|3-x1|·1+k2|3-x2|=（1+k2）|9-3（x1+x2）+x1x2|=（1+k2）9k2+27-18k2+9k2-3k2+3=24（k2+1）k2+3=24-48k2+3，

由方程①知Δ=（6k2）2-4（k2+3）（9k2-3）>0，k2

点拨本题主要考查向量的坐标运算及几何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法，考查“设而不求法”结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应用，同时考查函数与方程的思想、转化的思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用能力。本题解答有两个关键：（1）对条件中的向量关系的转化；（2）建立PE·PF关于直线斜率k的函数。解答本题还有一个易错点：忽视直线与圆锥曲线相交的条件限制，造成所求范围扩大。

牛刀小试

1. 已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2|=e，则e的值为.

2. 如图一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则点P形成的图形是.

2. 如图，P是椭圆x225+y29=1上的一点，F是椭圆的左焦点，且OQ=12（OP+OF），|OQ|=4，则点P到该椭圆左准线的距离为.

3. 在平面直线坐标系xOy中，已知ABC的顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆x225+y29=1上，则sinA+sinCsinB=.

4. 在直角坐标系中，过双曲线x2-y29=1的左焦点F作圆x2+y2=1的一条切线（切点为T）交双曲线右支于P，若M为线段FP的中点，求OM-MT的值.

5. 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点.（1） 求这三条曲线的方程；（2） 已知动直线l过点P（3，0），交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，说明理由.

6. 椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为52.（Ⅰ） 求此时椭圆C的方程；（Ⅱ） 设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P0，33、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由.

7. 设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a，b>0）过M（2，2），N（6，1）两点，O为坐标原点.

（1） 求椭圆E的方程；

（2） 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.

8. 如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24+y23=1上一点P1，32，过点P的直线l1，l2与椭圆C分别交于点A，B（不同于P），且它们的斜率k1，k2满足k1k2=-34.

（1）求证：直线AB过定点；

（2）求PAB面积的最大值.

（作者：曹亚东江苏省海门高级中学）