圆锥曲线常见问题探讨

摘要：圆锥曲线方程求解、最值问题以及直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线中常见的问题，本文就这几方面问题，根据具体例题给出来不同解法。

关键词：圆锥曲线方程 最值问题

（一） 圆锥曲线方程求解方法解析

求圆锥曲线方程的常用方法主要有两种：一是定义法；二是待定系数法。其整个思维过程可概括为三步（1）先定性（何种圆锥曲线）；(2)后定形（哪种形式的方程）；（3）再定参（建立方程解）。下面就如何用待定系数法求圆锥曲线的标准方程，以及求解过程中需注意的有关问题，通过例题加以分析。

类型一 圆锥曲线类型、方程形式确定，参数待定型

例1. 已知点■与抛物线■的焦点的距离是5，则p=_____．

解析：抛物线■的焦点坐标是■，由两点间距离公式，■．解得p=4．

类型二 圆锥曲线类型确定、方程形式待定型

例2.（08高考天津文理21第一问）

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是■，一条渐近线的方程是■．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

解：设双曲线C的方程为■，由题设得

■解得■

所以双曲线C的方程为■．

（二） 圆锥曲线的常见最值问题解析

由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍几种常见求解方法。

1、利用定义解最值

■

例3.设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为______，

解析：抛物线y=x2的焦点为F（0 ，■），准线为y=■，过A、B、M准线y=■的垂线，垂足分别是A1、B1、M1，则所求的距离d=MM1+■=■(AA1+BB1) +■=■(AF+BF) +■≥AB+■=■×4+■=■,当且仅当弦AB过焦点F时，d取最小值■，

2、参数法

利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。

例4、椭圆■的切线与两坐标轴分别交于A,B两点，求三角形OAB的最小面积 。

分析；写出椭圆参数方程■，设切点为■，可得切线方程。

解： 设切点为■， 则切线方程为■.

令y=0, 得切线与x轴交点■；令x=0,得切线与y轴交点B(0,■)

■

[点悟] 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。

3、二次函数法

将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解。

例5、过动直线x+2y=p与定直线2x-y=a的交点（其中■）的等轴双曲线系■中 ， 当p为何值时，■达到最大值与最小值？

分析：求出交点坐标代入双曲线,可得■的二次函数表达式，再利用函数方法求解。

解：由■, 得 交点■,

交点Q坐标代入双曲线,

■

当■ ,又

■；

当p=3a时, ■

[点悟] 把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。

4、利用不等式解最值问题

例6．已知e1，e2分别是共轭双曲线■和■的离心率，则e1+e2的最小值为.

解析：

■

考虑到■，故得■.

即e1+e2的最小值为■.

评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.

5、利用几何特征解最值

例7.点M和F分别是椭圆■上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值.⑵求■|MF|+|MB|的最小值.

■

解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=■，准线方程x=±■.

⑴|MF| + |MB| = 10|MF′ | + |MB| =10（|MF′||MB|）≥10|F′B|=102■

故当M，B，F′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值102■.

⑵过动点M作右准线x=■的垂线，垂足为H，则■|MH|=■|MF|.于■|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=■.可见，当且仅当点B、M、H共线时，■|MF|+|MB|取最小值■.

评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。

（三） 直线与圆锥曲线位置关系问题

求解的基本策略是，将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题，进而转化为一元二次方程的实根问题或者一元一次方程问题，因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公式的应用，以及设而不求、整体代入、数形结合的思想方法技巧在这里起着极为重要的作用。

例8. 直线■与双曲线■相交于不同两点A、B。

（1）以AB为直径的圆恰好过原点，求k的值。

（2）是否存在k，使A、B两点关于直线■对称？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由。

分析：（1）所给圆过原点的条件为■（C为AB中点），将其转化为k的方程；（2）用假设法求解。

解：（1）将■代入■，消去y，得：

■

依题意知■，由■，得■或■或■

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点C（x0，y0），由韦达定理，得■

于是■

即C（■）

因以AB为直径的圆过原点，则在RtAOB中，■，由两点距离公式及弦长公式，得：

■

化简，得■，解得■或■（舍去）

（2）假设存在k，使A、B关于直线■对称，则直线■垂直平分线段AB，于是■且AB中点在直线■上。

由■与■联立，消去y，得：■

由韦达定理、中点公式，可得AB中点C（■）

显然点C不在直线■上，故满足条件的k不存在。

评注：（1）中要注意圆锥曲线与直线方程联立得到相应的一元二次方程的二次项系数，对它们交点个数的影响；（2）属探索型问题，也是高考中的常见题型，基本解法有假设法、反证法。

作者简介：杨再蓉，湖北省宜昌市长阳县长阳民族高级中学，出生年月：1986.09 ，女，湖北省宜昌市，本科 中学二级教师，高二文科数学教学