圆锥曲线综合问题的案例探讨

重点:纵观近年来高考中圆锥曲线的解答题,基本仍呈现几何分析与代数解析并重的局面,但对代数解析和代数综合(如综合函数、导数、向量、不等式等知识)方面考查的意识似有渐趋“浓厚”的倾向,更加注重解析几何中通性通法(如“坐标法”、曲线与方程思想)的考查. 这类题型主要涵盖:动点的轨迹问题,定点、定值的证明问题,最值和相关量的取值范围问题,向量综合问题,探索性问题等几个方面,学习时应以此为重点.

难点:如何将几何问题有效地代数化;含多变量的式子中如何把握变形方向,简化运算进程;如何综合运用函数、导数、向量、不等式等知识,并确保运算的准确性.

1. 基本思路

基本解题思路通常为:①根据题意设出相关点的坐标和曲线的方程;②分析题目中的几何关系,提取其“本质特征”(等式或不等式);③将该本质特征“坐标化”(即用前面所设点的坐标表示);④联立方程组并消元成一元二次方程,考虑判别式,由韦达定理求出两根的和与积;⑤利用横、纵坐标之间的联系对“坐标化”后的式子进行消元,整理成只含横坐标或只含纵坐标的两根之和与两根之积的形式;⑥用判别式、韦达定理进行整体代换(即“设而不求”,有时也可用求根公式,“既设又求”).

以上为解析几何的通性常法,以此为基础才能解决圆锥曲线的综合问题.

2. 基本策略

因这类问题大多为直线与圆锥曲线的综合题,因此具体解题时,大致可按“联立消元判别式韦达定理弦长公式中点坐标公式”的流程进行,为后续题综合解作准备.

设直线y=kx+b与圆锥曲线F(x,y)=0的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则

(1)联立:F(x,y)=0,y=kx+b,即将圆锥曲线方程与直线方程组合成方程组,目的是“瞄”着交点的坐标(即方程组的解).

(2)消元:消去y得到关于x的方程ax2+bx+c=0(或消去x得到关于y的方程ay2+by+c=0,通常根据题目的需要或消元的难易程度以决定消去x还是消去y).

(3)判别式:即Δ=b2-4ac. 当a≠0时,Δ>0?圳直线与曲线有两个交点(即相交),Δ=0?圳直线与曲线有一个交点(即相切),Δ

(4)韦达定理:即x1+x2=-■,x1x2=■,由此还可得到x1-x2=■.

(5)弦长公式:AB=■·x1-x2=■■(也可利用y1=kx1+b,y2=kx2+b实现横、纵坐标之间的转化).

(6)中点坐标公式:设线段AB的中点为M(x0,y0),则x0=■=-■,y0=kx0+b(中点坐标通常借助韦达定理的两根之和来获得).

(2012浙江)如图1,在直角坐标系xOy中,点P1,■到抛物线C:y2=2px的准线的距离为■,点M(t,1)是C上的定点,点A,B是C上的两个动点,且线段AB被直线OM平分.

(1)求p,t的值;

(2)求ABP面积的最大值.

思索 本题是圆锥曲线中典型的面积最值问题,解析几何中解决这类问题的常规手段是函数法,即将面积表示成某一变量的函数,然后用函数、不等式、导数等手段求其最值. 具体分以下三步:首先,选取某个量为主元变量,并考虑其取值范围(即定义域);其次,将面积表达成该变量的函数(即解析式);最后,对该面积函数求最值.

破解 (1)易得p=■,t=1,即抛物线方程C:y2=x,点M(1,1).

(2012四川)如图2,动点M与两定点A(-1,0),B(2,0)构成MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程;

(2)设直线y=-2x+m与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且PQ 思索 本题是综合题中典型的动点轨迹和相关量的取值范围问题,考查了“坐标法”及方程思想,尤其是将几何量∠MBA=2∠MAB及■代数化的过程中,充分体现了“转化”思想. 解析几何中,将角度转化为坐标通常有两种方法,一是用向量夹角公式进行坐标化,二是取正切后转化为直线的斜率,进而转化为坐标. 本题中,由于A,B两点均在x轴上,因此后者更能揭示其“本质特征”. 对于■,直接使用弦长公式即可转化为有效的坐标关系.

破解 (1)设M的坐标为(x,y),则显然有x>0,且y≠0. 当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3);当∠MBA≠90°时,由∠MBA=2∠MAB两边取正切易得3x2-y2-3=0. 而点(2,±3)也在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1).

1. 归纳题型,注重通法

对圆锥曲线综合题的每种题型及其处理方法都要细细总结,掌握其解题规律,并在头脑中形成网络体系,这样在考试时才能做到胸有成竹,呼之即来.

2. 数形结合,关注性质

数形结合是解析几何最明显的特征,因此,充分挖掘图形的几何性质,灵活运用曲线本身的知识(如定义、性质、焦半径等)往往是解决问题的突破口和简化运算的关键. 比如,涉及圆锥曲线焦半径时,要灵活运用其定义;涉及圆的问题时,要充分考虑圆的相关几何性质;对于线圆关系、圆圆关系要强化几何处理,淡化代数处理.

3. 设而不求,简化运算

圆锥曲线问题繁琐的运算主要集中在解方程、求交点等方面,如能充分挖掘曲线的代数含义,灵活运用代数方程的知识(包括韦达定理、整体思想、对称轮换、同解原理等),回避这些运算,则往往可使问题得到简便解决,从而提高解题的效率.