逆向思维在数学教学中的应用研究

【摘 要】本文介绍逆向思维在解决数学问题中的应用。

【关键词】数学教学；逆向思维；培养；应用

我们在解决问题的过程中，常常遇到挫折，这时，就需要打破常规的思维方式，抛开固有的思维定势，从问题的反面去思考问题，从多方位探索、分析，判断并解决问题，这种思维方式称之为逆向思维。传统的教学是以传授知识为主要目的，而现代教学强调要引导学生学会观察、学会思考、学会如何学习，培养终身学习的能力。在教学过程中，充分发挥学生参与的作用，在新的教学理念下，教师要转变教学观念，树立新的师生观，努力创建一个平等、民主、和谐的教学环境，充分保护和捕捉学生创新思维的火花，鼓励学生创新求异。在数学教学中，逆向思维的应用研究显得十分重要。下面介绍逆向思维在数学教学中的应用。

一、学生逆向思维能力的培养

如何在数学教学中培养学生的逆向思维是数学课堂教学一个重要问题。学生敢于探索、敢于怀疑、敢于追求，是逆向思维发展的动力，倡导学生积极参与，勇于探究，是培养学生逆向思维的关键。首先，教师要营造活跃的课堂氛围，开拓学生的思维空间，在教师的启发、引导下，由学生独立思考，多角度分析问题。如一题多解就是培养学生思维多变性的有效方法。其次，教师要钻研教材，挖掘教材中的逆向知识，做好课堂教学设计，精心设计问题情境，激发学生思维的火花和求知欲望，调动学生的内在思维能力。例如，在证明“三角形内角和定理”时，学生在预习课文时已了解到通过拼合的方法，利用平行线的性质和平角的定义便可证明。我们可以设计如下问题：在直角三角形ABC中，∠C是直角。若∠A+∠B+∠C=180°，则∠A+∠B=90°。经过点A作AEAC，从而AE∥BC，可见由特殊到普遍性原则，通过作平行线的方法，找出相等的角，问题得到解决。

二、逆向思维在解决数学问题中的应用

（一）逆向思维在概念教学中的运用

从“逆向”的角度去认识概念，去探究概念所包含的一切性质和隐含的条件，拓展概念的应用，加深对概念的理解。例如：“互为余角”的定义教学，正向思维：从∠A+∠B=90°推出∠A和∠B互为余角。反过来思考，因为∠A和∠B互为余角，所以∠A+∠B=90°。“互为余角”的实质是∠A是∠B的余角或∠B是∠A的余角，且是两个角，不是一个角，也不是两个以上的角。“互为余角”是两个角之间的数量关系，与两个角的位置无关。

（二）逆向思维在公式教学中的运用

一个公式从左边到右边及从右边到左边的应用，正是逆向思维的体现。因此在讲授一个公式的应用时，还应该注重它的逆应用。

例：平方差公式（a+b）（a- b）=a2 - b2 有时在解题时若逆向应用公式，则可以使问题变得很简便。例如：求。

原式==7

（三）逆向思维在逆定理教学中的应用

所有的命题都有逆命题，但逆命题经过证明后成立的，才为逆定理。在平面几何中，很多性质与判定都有逆定理，注意它们的题设和结论的关系，进一步对定理的理解和掌握，可以活跃学生的数学思维。

例：已知ABC中，a=2n+1 b= 2n2+2n c=2n2+2n+1 （n>0）求证：ABC是直角三角形。

分析：已知三边，求证ABC是直角三角形，可用勾股定理的逆定理。

证明： n>0 a>0 b>0 c>0 且c>b>a

故a2+b2=4n4+8n3+8n2+4n+1

C2=（2n2+2n+1）2= 4n4+8n3+8n2+4n+1

即 a2+b2=C2由此可知ABC是直角三角形。

（四）逆向思维在“逆推分析法”中的应用

逆推分析法是执果索因的思维方法。即从要求证的结论出发，往回追溯前提条件，通常比较容易找到解题的途径，帮助学生找到解题的关键点和切入点。

例：如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DEAC于点E，DFBC于点F，求证：四边形ECFD是正方形。

分析：运用逆推分析法，要证四边形ECFD是正方形，先证明其为矩形，需证有三个角是直角。再证明矩形ECFD有一组邻边相等。证明：（略）

（五）逆向思维在反正法中的应用

有的数学题从正向分析很难找到解题的途径，可利用反证法去解决。即从否定命题的结论出发，通过正确的逻辑推理“导致矛盾”达到“结论的反面”，从而“肯定命题的真实”。

例：已知直线a∥b，且a与平面M相交。

求证：b也与平面M相交。

分析：直接证明比较困难，可以从相反的方面思考；假设b与平面M不相交，则有两种情况：（1）b在M内。（2）b∥M

证明：若b与平面M不相交，则

（1）b在M内，由a∥b可知a∥M，这与题设相矛盾。

（2）b∥M，令在平面M内有直线b'，b∥b' ，又a∥b，

a∥b'，有a ∥M，与题设相矛盾，a只能与M相交。

（六）逆向思维在“转换法”中的应用

在解复杂的数学问题时，尝试多种方法仍无法解决，若适当地应用转换法，从问题的反面去思考，使矛盾转化，使问题简化，便可找到解决问题方法。

例：如图（A），正方形边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求所围成的阴影部分的面积。

分析：此题图形干扰性大，若从正面考虑，学生思维容易受阻，若从反面考虑，先求非阴影部分的面积，较为简便。如图（B）：2S非阴影=S正方形-S圆 得，S阴影=S正方形-4S非阴影=2S圆-S正方形

三、逆向思维促进学生创新能力的发展

培养学生的创新能力是素质教育发展的趋势。逆向思维是发散思维的一种形式。美国心理学家吉尔福特认为，发散思维与创造力有直接关系，它可以使学生思维灵活，能让学生丰富想象，积极探索求异，坚持自己的独立见解，这就要求教师在课堂教学中，善于挖掘教材中蕴含的创造性因素，创设情境给予学生参与的机会，让学生积极运用所学知识，大胆进行发散创造，提高学生分析问题的能力。

四、逆向思维训练在教学中存在的问题及解决策略

（一）学生思维方式的转化

学生要从传统的正向思维转化到逆向思维是思维方向的重建，这种转变对多数学生是比较困难的。特别是初中学生的思维，刚刚从直观、具体的形象思维向抽象的逻辑思维转化，必然受到传统的教学方法的约束，机械记忆和被动模仿，形成了一种思维定势。老师在备课时，要深入地挖掘知识中的可逆关系，在教学中，既做到进行正向思维能力的培养，同时又孕育着逆向思维的成份。在进行逆向思维能力的培养时以正向思维为基础，做到正向思维与逆向思维相辅相成。

（二）优化教学模式，激发学生的思维火花

在教学中，要恰当地利用生活中的情景和生动故事，让学生对数学产生亲切感，感受到数学就在身边。培养学生的学习兴趣是激发学生思维火花的基础，教师要灵活应用科学的教学方法和手段，正确处理教与学的关系。例如，在问题探究教学实践中，要重视设计数学问题情境，诱发学生思维的积极性，在教学过程中，保持学生思维的持续性，使学生思维的积极性持续而不中断，应该注意：（1）要给学生充分的思考和讨论时间。（2）对学生启发要与学生的思维同步。（3）要不断给学生创造和设计新的数学问题。

（三）重视教学反馈，进行教学反思

教学反思是一项不可缺少的教学环节。教师不仅注重教学过程，更应关注教学效果，及时收集课堂教学的反馈意见，认真进行教学反思，不断总结，不断改进教学方法，提高教学效率和质量。