数学分析与中学数学脱节内容教学研讨

时间:2022-05-07 08:22:37

数学分析与中学数学脱节内容教学研讨

摘 要:中学数学内容变化已经非常之大,而与之联系紧密的数学分析内容变化一直不大。该文将数学分析与中学数学的脱节之处进行分析,并具体分析数学分析中需要增加教学课时的内容,根据后面与之有联系的教学内容,进行对应的教学研讨。

关键词:数学分析 中学数学 脱节 教学研讨

中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2015)07(a)-0137-02

数学分析属于数学类专业必修的重要基础课,在整个自然科学中处于基石地位,并广泛地应用于自然科学的各个领域。学好数学分析是学好复变函数、泛函分析、微分方程、微分方程的数值解、微分几何、概率论、普通物理等其它后继数学课程的必备基础。同时,在数学类专业所有的专业课程中,数学分析与中学数学的联系最为紧密。

近些年来,随着中学数学教材改革的进展,中学数学教学内容变化已经非常之大,数学分析的部分内容已经逐步地引入到中学数学教材中。反之,部分以前必修的教学内容,成为了选修内容,甚至少部分在数学分析中必要的基础,由于高考不考,在中学课堂上老师不予讲解,学生完全不知道。而与之对应的是,数学分析作为专业基础课程,内容变化一直不大,并没有根据中学数学教材的改革作出相应调整,这样就造成数学分析的教学内容与中学数学的教学内容的脱节。一方面是教学内容的重复,浪费数学分析的教学课时;另一方面是必须的基础缺少,学生接受新知识有困惑与障碍。

该文研究时,数学分析采用华东师范大学数学系编写的第四版《数学分析》教材,中学数学教材采用人教A版的《普通高中课程标准试验教科书・数学》教材。把数学分析与中学数学教材内容进行对比,将脱节之处以重复与缺少两个角度进行分析,以数学分析的教学模式进行教学研讨,适当增减数学分析的教学课时,并具体分析增加的教学课时的教材教法,希望对数学分析的教学有所帮助。

1 需要减少教学课时的内容

已进入中学数学教材中的内容主要分四个方面:求导数方面,有四则运算求导法则,复合函数求道法则,导数公式中六类函数的导数,但是无证明过程;导数的应用方面,有利用导数的符号判断函数的单调性,极值的简单概念与应用;求积分方面,有不定积分的相关概念,定积分的引例,几何意义,性质,牛顿-莱布尼兹公式;定积分的应用方面,有定积分的应用中求平面面积,变力做功。

因此,数学分析中,第五章第二节求导法则处,可以减少一节教学课时;第六章第一节函数的单调性处,可以减少一节教学课时;第九章第二节牛顿―莱布尼兹公式处,可减少半节教学课时;第十章定积分的应用处,可减少一节教学课时。

2 需要增加教学课时的内容

2.1 三角函数

三角函数处,增加一节教学课时。主要是介绍余切函数,正割函数,余割函数的定义与图像,并介绍下面这些公式。

(1)平方公式

(2)积化和差公式

(3)和差化积公式

(4)万能公式

讲解时给出公式的证明,以利于学生推导应用。同时复习其它公式,如中学中已经学过的二倍角公式,诱导公式等。讲解三个新的三角函数的图像时,可以顺便把其它三个三角函数的图像简单复习一下。讲解完后适当练习,如化简,证明等,既熟悉公式又为后面的应用做准备。

2.2 反三角函数

反三角函数处,增加半节教学课时。主要是介绍反正弦函数,反余弦函数,反正切函数,反余切函数的定义,定义域,值域,与三角函数的关系,它们的图像,以及它们的性质,。讲解图像时特别注意为后面的极限埋下伏笔,如。

2.3 极坐标变换

极坐标变换处,增加两节教学课时。主要是介绍极坐标系的建立,点的极坐标,点的极坐标与直角坐标互换,平面曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的互换,利用描点法按照极坐标方程作出曲线的图像,常见的极坐标方程,最后三个方面在讲解时要结合起来。

(1)坐标变换分为利用直角坐标求极坐标,以及利用极坐标求直角坐标。

(2)常见极坐标方程如射线方程,与坐标轴垂直的直线方程,(为常数),圆周曲线方程,,,三叶玫瑰线,心形线(或称外摆线),螺旋线,双纽线等。

上述增加课时的内容,可以把课时增加在第一章第三节函数概念处,将原教学计划中的两节改为五节即可。

3 增加教学课时的内容与后面教学内容的联系

3.1 三角函数与反三角函数图像

函数极限与曲线的渐近线需要三角函数与反三角函数的图像。如的垂直渐近线,的水平渐近线,函数极限,等。

3.2 三角函数中的公式

函数极限与积分的计算需要三角函数中的一些公式。如不定积分中三角函数化为有理函数的万能换元,,

等。

3.3 三角函数与反三角函数的定义

导数、微分、积分的公式与计算需要三角函数与反三角函数的定义。如、

、、、、、

的导数、微分、积分公式以及用它们求其它函数的导数、微分、积分。

3.4 极坐标变换

含参变量函数的导数,定积分在几何学上的应用,二重积分的极坐标变换,三重积分的柱面变换,这些内容都需要极坐标变换。如求心形线的切线与切点向径之间的夹角,三叶玫瑰线所围图形的面积,螺旋线的弧长,双纽线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积,二重积分等。

这些增加教学课时的内容,搞清楚它们用在那里,怎么使用。我们讲解的时候才能有的放矢,讲解的更加深入透彻。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2] 人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准试验教科书・数学[M] .北京:人民教育出版社,2010.

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