高考试题源于教材,但高于教材

在解析几何的教学中，经常见到一类试题，现以下面的试题为例加以探讨，供读者参考。

已知点P在椭圆x216+y24=1上，点P与椭圆左右焦点F1,F2的连线满足PF1・PF2=0，求点P。

注：此文基于教材试题探究，此题选自人教A版教材选修2-1习题2.2A组6题（略修改）。解法四是解决原题的基本方法。

一、从静的角度研究此题。

令P(x0,y0)(篇幅原因，此处图略)。

解法一（向量法）：

由PF1・PF2=0，x2016+y204=1，得

x20+y20=12，x2016+y204=1，

得x0=±423，y0=±233，

P(-423,±233)，P(423,±233)。

解法二（斜率法）：

由kPF1×kPF2=－1，x2016+y204=1，得

y0x0+23×y0x0－23=－1，X2016+Y204=1。结论同上。

解法三（焦半径法）：

PF12+PF22=4c2，x2016+y204=1，

即(a+ex0)2+(a－ex0)2=4c2，x2016+y204=1。结论同上。

解法四（等面积法）：PF1PF22=12F1F2y0，PF12+PF22=4c2，PF1+PF2=2a。结论同上。

解法五（圆与椭圆交点法）：以F1F2为直径的圆与椭圆交点x20+y20=12，x2016+y204=1。结论同上。

从静的角度：看出该解析几何试题有五种常用方法，体现一个人一些基本方法、基本技能、基本功。

二、从动的角度研究此题

当P运动时形成的轨迹为一个圆，使∠FPF2分别为钝角、直角、锐角时，横坐标xP变化规律。本题推广到：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）研究c与b变化规律：令点PxP，yP，点x0，y0x0，y0为圆与椭圆交点。令x0＞0。

（1）c＞b时，①∠F1PF2=90，椭圆上共存在四个这样的点P(篇幅原因，此处图略)；

②∠F1PF2锐角时，xP∈(－a,x0)∪(x0,a)；

③∠F1PF2钝角时，xP∈(－x0,x0)。

（2）c=b时，①∠F1PF2=90°时，椭圆上共存在两个这样点P(篇幅原因，此处图略)；

②∠F1PF2锐角时，xP∈(－a,x0)∪(x0,a)；

③∠F1PF2钝角时不存在。

（3）c＜b时，①∠F1PF2=90°不存在(篇幅原因，此处图略)；

②∠F1PF2锐角时，xP∈(－a,a)；

③∠F1PF2钝角时不存在。

点评：①看c与b的大小很快便得到∠FPF2分别为钝角、直角、锐角时横坐标xP的变化规律。

②从静的角度看教材，它是一潭死水，只看出一些技能、基本方法基本功。

③从动的角度看教材，它是一潭活水，把教材看活了，看出一个人的潜能和张扬的个性。

④大部分高考试题来源于教材。我们可以从动静两个角度看教材得出变化规律问题巧妙地设计各种新颖试题，即复习时试题要回归教材，走出教材但要高于教材深入研究开阔视野张扬个性，发展个性，也是高考提出目标：高考=基本功+基本技能+潜能+张扬个性。

三、规律的简单应用（画图只看c与b大小知结论）

1.椭圆：x24+y2=1上存在（ ）个点P使∠F1PF2=90°不存在。

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

2.椭圆方程x216+y28=1，F1,F2为左右焦点。椭圆上有动点P使∠F1PF2为锐角时，点P横坐标xP∈（ ）。

（A）（-4，4） （B）（-4，4）

（C）－4，0∪0，4（D）\

3.椭圆焦点F1,F2在x轴上，在x225+y2m=1椭圆上有一动点P使∠F1PF2=90°，则m∈（ ）。

（A）0＜m≤252（B）m≤252

（C）m＜252（D）0＜m＜252

4.椭圆方程x24+y25=1，F1,F2为焦点，P为椭圆上一动点，使∠F1PF2为钝角时，xP∈（ ）。

（A）－5，5（B）－5，0∪0，5

（C）－5,5（D）不存在

参考答案：1.A。2.B。3.A。4.B。

（作者单位：黑龙江省集贤县第一高级中学）