学生数学解题错误的思考

【摘要】学生解题会出现多种多样的错误，我们要正确面对学生的错误，要充分利用学生在解题中的错误，改进教学方法，预防或防止学生出现解题错误，从而提高学生的解题能力。

【关键词】解题；错误；分析；对策

Students in mathematical problem solving wrong thinking

Wang Chuan-fen

【Abstract】Student problem solving a wide range of errors， we want to correct the face of a student's error to take full advantage of the errors of the students in solving problems， improving teaching methods， prevention， or to prevent the students 'problem-solving error， thus improving students' problem-solvingcapacity.

【Key words】Problem-solving； Error； Analysis； Countermeasures

在学生的学习中，我们经常看到，他们解题会出现许许多多的错误，那么，我们应当如何面对学生的解题错误呢？如何预防学生解题中的错误呢？本文作如下的探索。

1. 学生解题错误的原因分析

学生解题出现的错误尽管多种多样，但综合起来，造成错误的原因大致可分为以下几类：

1.1 知识性错误

这方面的错误主要是由于学生对概念、性质理解不透，忽略了概念、定理、公式等存在的背景及条件，以及学生思维定势所造成。

例1：已知 （ 如图1） 在ABC中，AD是角平 分线，若AB>AC，求证∠ADB>∠ADC

错解： AB>AC

∠ADB>∠ADC（大边对大角）

上述错误产生的原因就在于学生未能真正理解“大边对大角”这一知识点的背景。所谓“大边对大角”只是针对于同一三角形而言。对两个三角形来说“大边对大角”并不成立。

1.2 推理性错误

数学是一门逻辑推理性强的学科，学生在解答数学问题时，在这方面出现的错误常表现在：⑴潜在假设，即未经过分析论证，就认定某种想法是必然正确的；⑵“偷梁换柱”；⑶“循环论证”；⑷因果关系模糊等。

例2 是否存在正数m，使得方程 14x2+（m-2）x+m2=0的两根的平方和等于224？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

错解：设方程的二根为x1、x2，则 x1+x2=-4（m-2），x1x2=4m2

于是 x12+x22=（x1+x2）2-2 x1x2=8m2-64m+64

而x12+x22=224

所以 8m2-64m+64=224

解之 m1=10 m2=-2

即 存在正数m=10，使得方程 14x2+（m-2）x+m2=0的两根的平方和等于224。

上述错误产生的原因就在于学生解题时，在潜意识里，肯定了方程在任何条件下都有二实数根，从而直接使用了一元二次方程的根与系数的关系，忽视了一元二次方程的根与系数成立的前提是方程必须有根，即根的判别式≥0（隐含条件）。实际上，在该题中，由=（m-2）2-4×14 ×m2=-4m+4≥0可得m≤1，所以不存在满足条件的正数m。

1.3 技巧性错误

解答数学问题时，由于解题策略产生错误导向，增加了解题的难度和复杂性，从而导致问题错解或最终得不到解决，主要表现在解题方法不当、不能将问题进行正确的转化等。

例3 解方程：（3x2+2x-4）2+ |3x2+2x-4|-6=0

学生解答时，常常首先想到去掉|3x2+2x-4|的绝对值符号，从而就要考查3x2+2x-4的正负，于是就导致错解或陷入了困境，无法解答。

上述结果产生的原因就在于学生确定解题方案时，缺乏整体性思维能力和变通能力。实际上，我们只需将|3x2+2x-4|看成一个整体，利用（3x2+2x-4）2=|3x2+2x-4|2，然后换元即可简捷地解答。

1.4 迁移性错误

由于学生受到已有知识的影响而导致的错误。

例4 （a+b）2=a2+b2

产生上述错误的原因就在于学生对有关知识的了解，如：a+b=b+a，ab=ba等等的影响，由于思维定势，从而误认为（a+b）2=a2+b2。

1.5 粗心错误

遇到这些简单的题目，有的写起来不是漏掉“=”，就是把就“+”看成“-”，把“27”写成“72”；有时抄了这一题的前半部，又抄了下一题的后半部，牛头不对马嘴；有的学生还没有把数看完，就急于计算，甚至口里说着正确结果笔下竟是另一个答案等等，致使计算出现错误。这类孩子多是做事时心不在焉， “粗心大意”，老是做着这件事想着那件事，结果什么事也做不好。这就要求我们教师要充分调动所有积极因素，用亲切的口吻，幽默的话语，生动的表情和肢体语言去帮助学生放松心理，消除紧张畏惧的情绪，多用鼓励赏识的方法，化解其嫌麻烦的心理，激发学生的自信心。同时我们自身也要克服畏难情绪，培养学生的成功感，让他们体验到战胜挑战的快乐！还要精心组织教学的程序，做到由浅入深，循序渐进，使学生觉得学习是轻松的、容易完成的，从而产生信心。

诚然，造成学生解题错误的原因还有很多。比如，学生心理上的障碍也是造成学生解题错误的原因

2. 预防学生解题错误的对策

2.1 教师要正确面对学生的错误

面对学生解题所出现的错误，我们教师对待的态度往往不同：有听之任之的、有分析找原因的、有叹息的、还有讥讽的。那么，我们应当持怎样的态度呢？经过本人的实践，我认为应该做到以下几点：

2.1.1 教师要宽容学生的错误

有人说“数学家的一生是在失败中度过的。”他们在学习和研究数学的过程中、特别是在解决数学疑难问题的过程中，经常会遇到挫折、或解答不了或出现解答错误等，但是他们能够正确地面对，通过不断地研究和矫正错误，而最终登上科学的高峰。因此学生解题时出现这样那样的错误，是学习中不可或缺的，是正常的，作为教师一定要有一颗宽容之心，不能因为学生解题有了错误，就对其不闻不问或冷漠待之或严厉批评或讥笑挖苦，从而打击学生学习的积极性。

2.1.2 教师要正视学生的错误

尽管学生的解题错误，是学习过程中出现的一种正常现象。但是，学生所出现的错误，反映了学生在学习过程中存在的不足，反映了学生知识的缺陷，因此，教师要正视学生的错误，要通过学生的错误，发现学生的不足，及时查漏补缺。

2.1.3 教师要走进学生的错误

对学生来讲，他们解题总是希望自己的解答是正确的，尽管他们解错了，但“失败蕴涵着成功、错误蕴涵着正确”，他们的解答也有其自己的想法和依据，我们要走进学生的错误，探索其原因，从学生的角度，审视解题思路，发现其解答的闪光点，无疑有利于培养学生的学习兴趣，激发其求知欲。

2.2 改进教法、注重学法指导

在教学中，我们要充分利用学生在解题中的错误，改进教学方法，预防或防止学生出现解题错误，从而提高学生的解题能力。

2.2.1 注重培养学生的思维品质

学数学不做题是不行的。学生对知识的掌握，最有效的途径是训练，我们要精讲多练，在教学中，设置一题多解、一题多变、开放性试题等，要充分地暴露我们教师自己解决数学问题的思路，借以培养学生的思维品质。同时，要通过训练暴露学生的错误，使学生在纠正中获得知识，这样既能减少学生的负担，又能激发他们的学习兴趣。

如 九年级第23章《圆与圆的位置关系》（华师版）的教学：

学生在解题中，往往出现考虑问题不全面的现象，比如两圆相切，本应包含内切和外切，然而学生解题时不是忘记内切，就是忘记外切，从而导致解题的不完整。

教学时，教师可适当列举一些例题或习题，以加深学生对两圆相切的理解。

如：⑴已知o与p相切，且o的半径为5cm，求p的半径。

⑵若o与p相离，求与o和p都相切的圆的个数，并作出相应的图形。等等。

2.2.2 增强教师备课的预见性和上课的针对性

教师要有意识地收集学生在解题中出现的问题，经过日积月累，掌握学生在解题中易于出错的问题的第一手资料，以增强我们备课的预见性，对易出错的知识点，设置相应的陷阱，以强化相应知识的学习。同时，上课时要花时间、花力气，引导学生弄清相应知识点的产生背景及适用的条件，以减少学生解题出错的可能性。

如 九年级第21章《分式及其基本性质》（华师版）的教学：

学生往往忽视分式有意义的条件，即分式的分母不得为零。因此，

在教学中，我们要有意识的进行相关的训练，以加深学生对分式概念的理解和应用。

比如 可设计如下的例题或练习：

⑴当x为何值时，下列分式有意义？① 1 x2-1 ② -1 x2+2x+1

⑵ 已知分式 x2-1 x+1=0，求x的值。等等。

2.2.3 培养学生良好的解题习惯

教师在教学特别是例题教学中，要注意培养学生的解题习惯，要注重解题后的反思，要反思我们的解题过程是否存在缺陷，是否还有其他的方法，有多少种解题方法，那一种最好，等等。是预防学生解题出错的有效途径。

如 在九年级第22章《一元二次方程的解法》（华师版）的教学中，讲解习题22.2习题1第6小题“解方程3（x-5）2=2（5-X）”时，可展示学生解题中出现的错解：

错解 方程两边同时除以（x-5）得：

3（x-5）=-2

x= 133

然后，引导学生分析、探究其产生错误的原因就在于未能准确把握方程的同解原理“方程的两边只能同时除以一个不等于0的数或整式”，此题正是由于方程两边同时除以了x-5，造成了失根，导致了解题错误。

最后，引导学生探索解法：

解法1 将方程转化为一元二次方程的一般式进行求解。（略）

解法2 当x-5≠0时，方程两边同时除以（x-5）得：

3（x-5）=-2

x= 133

当x-5=0即x=5时，易知x=5是方程的根。

故 原方程的根为：x1= 133 x2=5

解法3 由原方程得：

3（x-5）2-2（5-X）=0

（x-5）（3x-13）=0

x-5=0或3x-13=0

x1= 133 x2=5

……

2.2.4 建立错题集，增强自我预防能力

教师要引导学生建立错题集，对自己在解题过程中出现的错误，分类（如：审题错误、记忆错误、理解错误、计算错误等等）记录下来，并对错误的原因作出必要的分析，经常翻阅，以防止在今后的解题中类似错误的再次发生。

2.2.5 注重心理教育，提高学生的心理承受能力。

华罗庚说过“学习数学最好到数学家的字纸篓里去找材料，不要只看书上的结论，他在书上写给你看的结论不过两三行，可是他在写出这两三行之前，不知花了多少心血，经历了多少困难和挫折，稿纸不知用了多少张，他成功的历程就是由这些稿纸记录下来的。”可见，学习要获得成功，就要经历许多的困难和挫折，就必须要有面对挫折和失败的心理准备，要有战胜困难和挫折勇气，因此，我们要注重心理教育，培养学生健康的心理，使他们有承受挫折和失败的能力，以增强他们学好数学的信心。