突出认知过程 促进自主构建

（江西省乐平市塔前中心小学 江西 乐平 333301）

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2012)03-0070-02

“乘法分配律”是小学数学教学的重要内容，贯穿四则运算教学的全过程，而且与中学代数学习联系紧密。从过去的经验看，教师重定律应用，轻算理教学，学生重外形记忆，轻本质理解。加之乘法分配律内涵丰富，所以，应用时学生出错的现象特别多。为了纠错，教师常要花费很多时间和精力“炒剩饭”，可收效甚微。北师大版教材将其作为学生探究活动的素材，编排在《乘法》单元的“探索与发现”一节中，旨在让学生经历运算定律的认知过程，促进学生自主构建，突出了活动性和探索性。基于这一认识，再次教学乘法分配律，我做了一些新的尝试，收到了事半功倍的效果。

【教学实录】

一、情境导入，遴选实例。

师：教师节那天，同学们买很多花送给老师，一起去看看好吗？（课件呈现）

师：根据上面的数学信息，我们可以提出哪些数学问题呢？

生1：淘气买牡丹花用了多少钱？

生2：淘气买玫瑰花用了多少钱？

生3：笑笑买牡丹花用了多少钱？

生4：笑笑买玫瑰花用了多少钱？

生5：淘气买两种花一共用了多少钱？

生6：笑笑买两种花一共用了多少钱？

生7：他们买牡丹花一共用了多少钱？

生8：他们买玫瑰花用一共了多少钱？

……

师：前面4个问题很简单，后面4个问题同学们会解答吗？动手试一试吧！

（学生独立解答，教师巡视，选取不同算式交流）

①6×3+5×3 ②6×3+2×4 ③5×3+7×4 ④2×4+7×4

=18+15 =18+8=15+28=8+28

=33（元）=26（元） =43(元)=36（元）

师：能说说上面4个算式解答的分别是哪个问题吗？

生1：第①个是求淘气和笑笑买牡丹花一共用了多少钱？第②个是求淘气买牡丹花和玫瑰花一共用了多少钱？第③个是求笑笑买两种花一共用了多少钱？第④个是求淘气和笑笑买玫瑰花一共用了多少钱？

师：大家同意他的看法吗？

生：（齐）同意！

生2：（急切地）老师我还有不同算法。

师：（故意惊讶！）哦！说说看。

生2:求两人买牡丹花一共用了多少钱还可以这样列式：

（6+5）×3=11×3=33（元）

师：（6+5）表示什么？你是怎么想的？

生2：它表示淘气和笑笑一共买了几枝牡丹花，可以先求出来，再求一共花了多少钱。

生3：求“淘气和笑笑买玫瑰花一共用了多少钱”也可以用这种方法的，算式是：（2+7）×4=9×4=36（元）。

……

二、算理分析，感悟规律。

师：是的，这两种解答方法都是正确的。从结果上看算式（6+5）×3和6×3+5×3是相等的，算式（2+7）×4和2×4+7×4也相等，我们可以用等号把它们连接起来。师板书：

（6+5）×3=6×3+5×3

（2+7）×4=2×4+7×4

师：同学们想过吗，它们的结果为什么会相等呢？

生1：因为（6+5）×3和6×3+5×3都表示两人买牡丹花一共用的钱，所以它们是相等的。

生2：（2+7）×4和2×4+7×4都表示两人买玫瑰花一共用的钱，所以它们也是相等的。

生3：它们是同一个问题的两种不同解答方法，所以结果肯定相等。要不然，就是算错了。

师：同学们能从“买花”的角度看两个算式相等的原因，很了不起。如果我们换个角度看，还有别的原因吗？

学生陷入了沉思之中……

生1：哦，我知道了！（6+5）×3表示11个3，6×3+5×3表示6个3加5个3，也是11个3，结果当然相等。

生2附和：是的。（2+7）×4表示9个4，2×4+7×4表示2个4加7个4，也是9个4，结果一定相等。

师：（恍然大悟状）道理原来在这！大家都明白了吗？谁愿意再说一说？

……

三、引导发现，验证规律。

师：看看上面的算式，你们发现了什么？

生：左边算式有括号，右边算式没有括号，但结果不变。

生：左边是两个数的和乘一个数，右边是括号里的两个数与括号外面的数分别相乘，最后相加，得数相同。

师：上面的式子都有这个规律，但这个规律可靠吗，我们还要再举几个例子试试。

生1：（15+11）×7=15×7+11×7

生2：（13+21）×6=13×6+21×6

生3：（9+24）×20=9×20+24×20

生4：（5+5）×5=5×5+5×5

……

师：同学举的例子中有两边不相等的吗？为什么？

生：没有。因为无论怎样写，两边含有的个数都是相同的。

师：应该是“两边含有同一个因数的个数是相同”。既然这样，说明同学们发现的规律是可信的。数学王国里把同学们发现规律叫做“乘法分配律”。那么怎么表示它呢？

生1：（练+习）×本=练×本+习×本

生2：（+）× = × + ×

生3：（﹗+？）×=﹗×+？×

生4：（A+B）×C=A×C+B×C

……

师：同学们的想法真的很奇特，也都有道理。为了便于交流，“乘法分配律”在数学王国里是以这样的身份出现的：(a+b)×c=a×c+b×c

师：在（6+5）×3=6×3+5×3中，a、b、c分别代表哪个数字？

……

四、辨析对比，内化规律。

师：我们再来研究两个式子。（课件呈现）（9+8）×25和10×25+8×25

师：这两个式子相等吗？如果不相等，哪边大？大多少？

生1：相等。（看来定律的外形结构，干扰了学生对事物本质所认识）

生2：不相等。我通过计算知道左边等于425，右边等于450，右边比左边大25。

生3：其实不用计算也能知道。因为（9+8）×25是17个25，10×25+8×25是18个25，18个25比17个25多1个25。

师：（对生1）你同意她的看法吗?（生1点头）

师：如果让大家当一回“医生”，改动其中一个数，使它符合乘法分配律，你会怎么改？

生1（沉默片刻）：可以把（9+8）×25改成（10+8）×25。

生2：可以。还可以把10×25+8×25改成9×25+8×25。

师：这样两边含有“25”的个数就一样了。那么a、b、c各代表多少？按第二种改法呢？

五、学以致用，体会价值。（课件呈现）

1．我会变。

(1)（36+8）×74=（）×（）+（）×（）

(2)25×（）+25×（）=（）×（30+4）

(3)65×17+35×17=（）+（）×（）

学生独立完成，教师反馈讲评：它们都运用了什么定律？

2．我会算。

师：两边计算结果都是相等的，选哪边算式计算更容易些呢？

生1：第一组我选了右边的算式36×74+8×74=2664+592=3256。

生2：第二组我选了左边的算式：25×30+25×4=750+100=850。

生3：第三组我选了右边的算式：（65+35）×17=100×17=1700。

生4：我觉得第一组算式，两边差不多。第二组算式选左边算式计算容易些，第三组选右边的算式计算容易些。

师：说说为什么会出现这样的现象？

生5：因为第一组算式两边都没出现整十、整百数，所以两边计算（难易程度）差不多。而第二组算式左边是两位数与整十数和一位数分别相乘，右边相加后变成两位数乘两位数，难度变大了，所以选左边的好算。第三组算式右边相加变成整百数与两位数相乘，直接口算就可以了，计算很简便。

师：说得好！那么，乘法分配律在什么情况下能使计算简便呢？

生1：能凑成整十、整百数的情况时，才能使计算简便。

生2：应该先看一个算式符不符合乘法分配律，再看能不能凑成整十、整百数。两个条件都符合的话，才可以用乘法分配律进行简便计算。否则的话，就按原来的顺序算。

……

【教后反思】：

1.抓住一个“理”字。

乘法分配律是纷繁的数学算式中的一种特殊形式，由外显的“形”和内隐的“质”两部分有机组成。教学时，教师既要帮助学生认识它的外形结构“是什么”，更要促使学生理解它内隐的数学本质“为什么是”。学生常被那些形似而神非或形非而质是的算式弄得焦头烂额，原因之一就是受到乘法分配律外部结构形式的强刺激干扰，而忽视对它本质的理解与分析。防止这一现象发生的根本方法就是帮助学生弄清乘法分配律的本质意义。

（1）情境设计，撑起“事理”。本节课中我创设了教师节“买花”的情境。让学生在提出问题和解决问题的过程中感受到两种不同方法之间的联系与区别，体会乘法分配律的广泛存在客观性，同时为研究乘法分配律获得了大量的第一手现实材料，也为学生理解乘法分配律提供了“事理”支撑。

恰如学生解释（6+5）×3为什么等于6×3+5×3时那样，它们“都表示两人买牡丹花一共用的钱”、“是同一个问题的两种不同解答方法”。正是从“买花”这一事情的角度分析所得到的结论。

（2）意义分析，挺起“算理”。数学知识是一种符号语言，具有高度的概括性。同一符号在不同情形下表示的实际意义也会有不同。如本课中，（6+5）×3和6×3+5×3“都表示两人买牡丹花一共用的钱”，如果把“买花”改换成“买本子”，它们会“都表示两人买本子一共用的钱”。两种情境下，两个算式相等的本质到底是什么？是乘法的意义！这是学生容易忽视的东西，教师往往也会以上面的“事理”逻辑当做乘法分配律本质意义分析的终点，显然是不够深刻的。

只有当学生理解了“（6+5）×3表示11个3，6×3+5×3表示6个3加5个3，也是11个3”，两式含有相同个数的“3”时，才会明白“道理原来在这！”

2．突出一个“悟”字。

从情境引入到巩固应用，教师始终在做一件事——突出学生对“乘法分配律”自主领悟与构建。

（1）悟其形。乘法分配律从结构形式上讲，其特别之处是两数之和与一个数相乘，同时含有两种以上运算，这是区别于其他运算定律的关键。在学生得出（6+5）×3=6×3+5×3和（2+7）×4=2×4+7×4之后，补充两个例子得出等式（12+8）×2=12×2+8×2和（5+4）×3=5×3+4×3，以及让学生个性化表示出乘法分配律和说说“a、b、c各代表什么数”等活动虽然着力不多，但丰富了学生对乘法分配律的感性认识，尤其对它的结构特征领悟是大有裨益的。

（2）悟其值。“乘法分配律”能使很多计算简便，提高学生的计算速度。对于这一点我不是简单地强加给学生，而是通过让学生在题组练习中比较、辨析和选择，充分体验和感悟“乘法分配律”的学习价值及其适用条件，训练了学生的理性思维，提高了计算的灵活性。