浅谈极限概念的重要性及教学策略

摘要：本文在回顾极限概念发展史的基础上，阐述了极限概念重要性，并结合多年的教学实践，给出了教学对策。

关键词：高等数学；极限概念；发展史；数列；教学对策

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）40-0210-02

极限概念是高等数学中的重点与难点，是数学由具体到抽象、从常量到变量、从有限到无限、从初等数学过渡到高等数学的关键，是微积分的基础及其推理工具。没有极限概念，就没有高等数学的严密结构，只有借助极限概念，才能对自然科学及经济学中所碰到的许多具体的量给出完整而严密的定义。对于极限概念的理解，直接关系到学习高等数学的成败。凡是高等数学的学困生，大多是对极限概念理解不深、不透，难以理解后续知识中的一些重要概念，对“微积分”产生“只见树木不见森林”的局限与片面认识，缺乏对该学科的宏观、整体认识，因此对高数的学习提不起兴趣，产生厌学情绪。我们简单回顾极限概念的发展、完善过程及其与高等数学的发展过程的联系，从而更深刻地认识极限概念的重要性。

早在公元前，中外学者就引用了一些极限方法。我国刘徽第一个用极限思考问题，用“割圆术”求出了圆周率的近似值。在国外，齐诺的“二分说”、“阿基里追龟”等大家熟知的四个违背常识的悖论就是采用了极限思想，引起了当时学术界极大的震动。虽然极限的思想方法出现如此早，但由于极限没有精确的定义，所以从公元前极限思想的萌芽到17世纪中叶的近两千年时间里，数学都停留在初等数学时期。到17世纪中叶，数学学者对极限有了进一步的认识，并在自然科学应用需求的推动下，开始建立微积分，并且发展迅速，18世纪达到空前灿烂的程度。但由于对极限思想理解的混乱，使它遭受了种种非难。到18世纪下半叶，法国数学家达郎贝尔给出了比较能反映极限本质的极限概念，并作为分析的基础，但由于他给出的定义仍然没有数量化、不够精确，所以，这个时期的微积分的理论仍然没有牢固的基础，也不完善。直到19世纪，柯西于1821年最先在他的《分析教程》中给出了极限的定义法，用不等式刻画整个极限过程，使无穷的运算化为一系列的不等式的推导，从而使极限概念“算术化”。并且，他进一步利用此概念给出了一系列相关基本概念的严格定义，出版了他的具有划时代意义的著作：《分析教程》、《无穷小分析教程》、《无穷小在几何学中的应用》等。半个世纪后，德国数学家魏尔斯特拉斯完善完成了沿用至今的ε-δ定义，从而使极限概念摆脱了依赖几何直观的局限性，使概念中原有的“无限接近、想要多小就多小”等不明确的表达严密化，成为微积分的坚实基础工具，从而使微积分这一学科达到今天近乎完美的程度。

综上所述可知极限概念何等重要！因此，教师要加强对极限概念的教学，要教得深而透，切实让学生弄懂学透，为后面的高数学习铺平道路，正所谓“磨刀不误砍柴功”。学生要掌握好极限概念，关键是首先要掌握好数列极限概念，教学中我采取以下教学方法。

一、认真分析造成学生对数列极限概念理解困难的原因

学生之所以难理解的原因在于：描述性定义中有“无限增大、无限接近、唯一确定”，ε-N定义中有“任意、给定、总存在”等较抽象的术语。且概念的叙述繁长、符号很多，符号之间的数量关系错综复杂，学生难以掌握[1]。对ε的作用和任意性、给定性以及和N间的依赖性，学生不易搞清。对绝对值的几何意义夜不熟悉。

二、用历史上产生极限思想的著名例题引入课题

对这方面的例题可多举，让学生捉摸思考之后引入描述定义，分析其缺点，为引入ε-N定义做好准备。再介绍ε-N定义，并通过大量举例，让学生给出具体的ε再求出N，使学生学好这一概念[2]。

三、仔细诠释数列极限的ε-N定义

如何实现由直观描述性定义到定量形式的ε-N概念的转化，是教学中的关键和重点，在教学过程中我尝试按下列过程逐步讲解，使学生由浅入深、由具体到抽象逐渐掌握极限概念。

1.指出“无限地接近”的含意不确切，提出为了逻辑推理的需要，要有一个严格的说法。

2.把“无限地接近”改成“距离无限减小”，而距离可以用绝对值表示。因此直观描述性定义换一说法：“如果当数列{xn}的项数n无限地增大时，|xn-a|无限减小，那么就称a是这个数列的极限”。通过这一改变为上升到定量形式的定义作准备。

3.把“无限减小”的意思严格化。无限减小的意思是“要多小就有多小”，就是对任意的一个正数ε，|xn-a|

4.通过例子把“n无限增大”的意思与“|xn-a|无限减小”结合起来，于是得到数列极限定量形式的定义。

5.认真分析极限概念的内涵，进一步揭示：ε的绝对任意性和相对稳定性；N对ε的信赖性；N对a的客观存在性；xn对a的无限趋近性[3]。

6.诠释数列极限的几何意义，形象理解极限概念。已知|xn-a|

四、诠释完概念后向学生解释

ε-N定义虽然精确但并未给出求极限的方法，只能用以证明某数是否为极限。对这类证明问题，可根据学生层次，采取举例、课堂练习或课后作业等形式，以进一步加深学生对ε-N定义的理解[3]。

数列极限概念掌握好了，在此基础上学生就很容易理解函数极限的ε-δ定义了。

讲授完概念后，再以极限为龙头，描绘本书的结构，回忆本书的内容。加强学生对此学科的知识结构，理论体系，研究方法，哲学思想的进一步认识。使教学不局限于把数学作为一门工具学科，而要让学生能够以这种思想作指导，用这些方法为基础，去解决今后工作中，理论研究中所碰到的各种各样的复杂问题，这才是我们教学的最终目的。

总之，教师通过精心设计教学程序才能有利于学生对极限概念的理解，真正把握概念的本质属性，融会贯通地掌握知识，发展能力。

参考文献：

[1]周文.对影响高职学生数学学习若干因素的思考[J].湖北职业技术学院学报，2004，（2）.

[2]滕桂兰，杨万禄.数列极限.高等数学[M].第三版.天津：天津天学出版社，2006.

[3]张国昌.高等数学（第一册）[M].苏州：苏州大学出版社，2003.