聚焦中考中的不等式(组)

不等式（组）是初中数学的重要内容之一,它是历年各地中考的必考内容.近年来,不等式（组）的考查方式主要有选择题、填空题、解答题等.或直接考查知识点，或与其他知识相结合，考查知识的应用.

不等式的基本性质,不等式（组）的解法、解集、特殊解以及不等式（组）的应用涉及到的内容非常多，几乎涵盖了所有学过的内容，多以综合题的形式出现，重点考查同学们的综合应用能力.

一、一元一次不等式

1.不等式的基本性质

例1 （08年湖北恩施考题）如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是（）.

A. ab＞0B. a+b＜0C.＜1D. a-b＜0

分析：本例应根据不等式的基本性质或有理数运算的符号法则逐个验证，最后得出结论.

解：由a＜b＜0可知，a，b均为负数，而两个负数的积为正，故A正确；

由a＜b＜0可知，a，b均为负数，而两个负数的和仍然为负，故B正确;

由a＜b，两边同除以b，因为b＜0，不等号应改变方向，即应为＞1，故C不正确;

由a＜b，两边同减去b，不等号不改变方向，即应为a-b＜0，故D也正确.

综上所述，只有C不正确.

评注:牢记不等式的基本性质是解本题的关键。不等式的两边同乘以（或同除以）同一个负数，不等号要改变方向.

2.不等式的解法

例2 （08年江苏泰州考题）已知关于x的不等式ax+3＞0（其中a≠0）.当a=-2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集.

分析：将a=-2代入，得一元一次不等式，通过解不等式得到解集.

解：当a=-2时，不等式为-2x+3＞0，

移项，得-2x＞-3，

化系数为1得，x＜；

解集在数轴上表示如图所示：不包括该点，则用空心圆圈表示.

评注: 解一元一次不等式的一般步骤同解一元一次方程的一般步骤相同，但必须注意的是：不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向一定要改变.

3.不等式的解集在数轴上的表示

例3 （08年湖北武汉考题）不等式x＜3的解集在数轴上表示为（)

分析：不等式x＜3的解集在数轴上表示，应为在3所对应的点的左侧，且表示3的点用空心圆圈表示.对照图形，只有B符合.

评注：不等式的解集在数轴上的表示要注意两点：①大于某个数,则表示在该数所对应的点的右侧；小于某个数,则表示在该数所对应的点的左侧；②包括某个数，应将这个数所对应的点用实心圆点表示；不包括某个数，应将这个数所对应的点用空心圆圈表示.

二、一元一次不等式组

1.不等式组的解集在数轴上的表示

例4 （08年四川凉山州考题）不等式组-x≤2x-2＜1的解集在数轴上表示正确的是（）.

A.B. C. D.

分析：先求出组成不等式组的每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上的表示方法,将它们一一表示出来.不等式-x≤2的解集为x≥-2，在数轴上表示为在-2所对应的点的右侧，且表示-2的点用实心圆点表示；不等式x-2＜1的解集为x＜3，在数轴上表示为在3所对应的点的左侧，且表示3的点用空心圆圈表示.

评注：在数轴上表示解集要注意两点：①在该点的左侧还是右侧；②是否包括该点.

2.求不等式组的解集及其特殊解

例5 （08年江苏徐州考题）

解不等式组＞-12x+1≥5（x-1），并写出它的所有整数解.

分析：求不等式组的整数解，要先求出不等式组的解集，即先求出不等式组中各个不等式的解集的公共部分，然后再列出解集中所包含的整数.

解：不等式＞-1的解集为x＞-2；

不等式2x+1≥5（x-1）的解集为x≤2.

所以不等式组的解集为-2＜x≤2，

所以不等式组的整数解为-1，0，1，2.

评注：这类试题主要考查解不等式组的能力和对特殊解的理解.确定不等式组的解集可利用口诀,也可借助数轴.

3.求不等式组中字母系数的取值范围

例6 （08年山东聊城考题）已知关于x的不等式组x-a＞01-x＞0的整数解共有3个，则a的取值范围是 ．

分析: 本例有一定难度，先求出不等式组的解集，即x的取值范围，然后根据不等式组的整数解的个数确定其整数解，再借助数轴进行直观分析，得到a的取值范围.

解：由x-a＞0得x＞a；由1-x＞0，得x＜1，

所以a＜x＜1，

因为不等式组有3个整数解，故这个整数只能是0，-1，-2，借助数轴（如图所示），得到a的取值范围是：-3≤a＜-2.

评注: 本例要借助数轴，对不等式组的解集进行直观分析，才能使问题得以解决.

4.不等式（组）的应用

例7（08年浙江温州考题） 一次奥运知识竞赛中，一共有25道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分.设小明同学在这次竞赛中答对x道题．

（1）根据所给条件，完成下表：

（2）若小明同学的竞赛成绩超过100分，则他至少要答对几道题？

分析：共有25道题,答对x道题，则答错或不答为（25-x）道题； 答错（或不答）一题扣5分，则应扣 5（25-x）分，根据成绩超过100分，即大于100，可得不等式.

解:（1）填表如图:

（2）根据题意可得不等式:10x-5（25-x）＞100，

解得x＞15.

答：他至少答对16道题.

评注：本例主要考查了从文字信息中读取有效信息的能力和数据处理能力，考查了建立不等式模型解决实际问题的能力.