探究中考中的平移与旋转

平移与旋转这部分知识不仅在实际生活中应用广泛，还有利于培养同学们的实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识，所以在中考中占有十分重要的地位.其常见的题型有填空、选择、作图、综合题等.常结合轴对称、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函数等知识进行综合应用.解这类题要求同学们具备扎实的数学基本功,较强的观察力,丰富的想象力及综合分析问题的能力，解题时要切实把握几何图形的运动过程，并注意运动过程中的特殊位置.明确图形旋转前后哪些是不变的量，哪些是变化的量.本文将精选几例有关图形的平移和旋转的中考题加以分析，旨在引导同学们学会分析和解答此类问题的能力．

一、直接考查平移和旋转的特征

例1（北京市海淀区考题）在5×5方格纸中将图1中的图形N平移后的位置如图2所示，那么下面平移中正确的是（）.

A. 先向下移动1格，再向左移动1格

B. 先向下移动1格，再向左移动2格

C. 先向下移动2格，再向左移动1格

D. 先向下移动2格，再向左移动2格

例2（金华市考题）将叶片图案旋转180°后，得到的图形是（）.

解析：例1通过图形N考查图形的平移，平移的特征是：经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等；不改变图形的“方向”.答案选C．

例2通过考查叶片图案图形的旋转，旋转的特征是：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点到旋转中心的距离相等.原叶片图案叶柄朝上，叶尖在下方朝右方，旋转180°后，恰好均相反.答案选D．

评析：这类题属于简单题、基础题，但却是中考必考的．

二、考查对平移和旋转的理解和语言叙述

例3（嘉兴市考题）如图3，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对ABC分别作下列变换：

①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；

②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°；

③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．

其中，能将ABC变换成PQR的是（）.

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

例4（聊城市考题）如图4，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即A1B1C1和A2B2C2．

①请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将A1B1C1重合到A2B2C2上 ．

②在方格纸中将A1B1C1经过怎样的变换后可以与A2B2C2成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心．

解析：作中心对称图形就是以对称中心为旋转中心将原图形旋转180°的图形；在叙述平移变换时，注意说明原图形（基本图形）、平移方向、平移距离和平移后的图形；在叙述旋转变换时，注意说明原图形（基本图形）、旋转中心、旋转方向、旋转角度和旋转后的图形.按照叙述，再作出大致图形，不难得出例3答案选D.

例4中，①变换方法不唯一，仅提供一种：A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后，向右平移3个单位后，再向上平移4个单位；②变换方法和图形不唯一，仅提供一种：如图5，A2B2C2绕点C2顺时针旋转90°后即与A1B1C1成中心对称图形，对称中心为O点．

评析：用语言叙述数学现象，这种能力的培养必须放在日常的数学交流活动中，这也是中考的方向，望引起同学们的注意．

三、考查平移和旋转的作图

例5（成都市考题）如图6，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形.我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC是格点三角形.在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（-1，-1）．

（1）把ABC向左平移8格后得到A1B1C1，画出A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；

（2）把ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到A1B1C，画出A2B2C的图形并写出点B2的坐标；

（3）把ABC以点A为中心放大时，放大前后对应边长的比为1：2，画出AB3C3的图形．

解析：平移和旋转作图的依据是它们的特征.答案如图7，点B1的坐标（-9，-1），点B2的坐标（5，5）；（3）略．

四、考查平移和旋转特征的应用

例6（遂宁市考题）如图8，已知，线段DE由线段AB平移而得，AB=DC=4cm，EC=5cm，则DCE的周长是 cm.

例7（青岛市考题）如图9，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到P'AB ，则点P与点P'之间的距离为，∠APB=

．

解析：例6由平移的特征知DE=AB=4 cm，所以DCE的周长是4+4+5=13cm.

例7由旋转的特征知P'A=PA=6，P'B=PC=10，∠P'AB

=∠PAC，由ABC是正三角形 ABC，可知∠BAC=60°，从而∠P'AP=60°，所以P'AP是正三角形，所以P'P=6cm，∠APP'=60°；在P'BP中，P'P=6cm ，P'B=10，PB=8，由勾股定理的逆定理知P'BP是直角三角形，∠BPP'=90°，从而∠APB＝150°．

五、考查平移与旋转的综合应用

例8（河北省考题）如图10，是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C'D'E'叠放在一起（点C与C'重合）．

（1）操作：固定ABC，将C'D'E'绕点C顺时针旋转30°得到CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于点F，如图11.探究：在图11中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；

（2）操作：将图11中的CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位长的速度平移，平移后的CDE设为PQR，如图12.探究：设PQR移动的时间为x（s），PQR与AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（3）操作：固定图10中C'D'E'，将ABC移动，使顶点C落在C'E'的中点，边BC交D'E'于点M，边AC与D'E'交于点N，设∠ACC'=α（30°

解析：（1）C'D'E'绕点C顺时针旋转30°得到CDE，ABC与DCE都是等边三角形， 故∠ACB =∠DCE=∠60°.CA=CB，CE=CD，所以∠BCE =∠ACD.即可知BCE≌ACD，得证BE = AD；

（2）由∠QTC=∠TCQ=30°可知QT=CQ=x.所以QSC面积能用x表示.PQR与AFC重叠部分的面积为y应为PQR的面积与QSC面积之差，可得y=-（3-x）2+（0≤x≤3）;

（3）线段C'N和E'M在E'M C与CC'N中，只需这两个三角形相似即可得=.从而得C'N・E'M=C'C・E'C=．

六、平移与旋转、轴对称三种变换相结合

例9（义乌市考题）如图14，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图15），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图16的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图16至图19中统一用F表示）.

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了3个问题，请你帮助解决.

（1）将图16中的ABF沿BD向右平移到图17的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；

（2）将图16中的ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图18的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；

（3）将图16中的ABF沿直线AF翻折到图19的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.

解析：（1）图形平移的距离就是线段BC的长，在RtABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30，可得BC=5cm，所以平移的距离为5cm；

（2）ABF绕点F顺时针方向旋转30°后知∠A1FA＝∠B1FA ＝30°,可知GFD是直角三角形，因此，在RtEFD中，ED=10 cm，可得FD=5，所以FC=cm；

（3）只需证明AH、DH所在的两个三角形全等即可.在AHE与DHB1中，由于∠FAB1=∠EDF=30°，所以FD=FA，EF=FB=FB1，可知FD-FB1=FA-EF，即AE=DB1.又因为∠AHE=∠DHB1，可证AHE≌DHB1（AAS），从而AH=DH．

七、旋转相似变换

例10（南京市考题）在平面内，先将一个多边形以点O为中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P'在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点 O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．

（1）①如图20，将ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到ADE，这个旋转相似变换记为A（，）；

②如图21，ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（，90°），得到ADE，则线段BD的长为

cm；

（2）如图22，分别以锐角ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O1、O2、O3分别是这3个正方形的对角线交点，试分别利用AO1O3与ABI，CIB与CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O2与AO2之间的关系．

解析：理解旋转相似变换的有关概念是解决本题的关键.

（1）①2， 60°；②2；（2）AO1O2经过旋转相似变换A（，45°），得到ABI，此时，线段O1O2变为线段BI；CIB经过旋转相似变换C( ，45°)，得到CAO2，此时，线段 变为线段AO1.由×=1，45°+45°=90°，可知O1O2=AO2，故O1O2AO2 ．