聚焦“一次函数的解析式”

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：1008-925X(2011)07-0013-02

知识准备

一、解析式：一次函数的解析式为y=kx+b（k,b都是常数且k≠0）。当b=0时，y=kx(k≠0)叫做正比例函数。

二、图象：一次函数和正比例函数的图象是一条直线。

三、性质

1、当k>0时，y随x的增大而增大；

当k

2、当b>0时，直线与y轴的正半轴相交；

当b

当b＝0时，直线经过原点

3、当k>0,b>0时，直线经过第一、二、三象限；

当k>0,b

当k0时，直线经过第一、二、四象限；

当k

4、画一次函数的图象只需取直线上两个不同点即可。一般取直线y=kx+b与坐标轴的交点（- ，0）和（0,b）

5、两直线y1=k1x+b1与y2=k2x+b2

当k1=k2 b1≠b2时，两直线平行；

当k1≠k2 b1=b2时，两直线交于y轴同一点（0,b）

四、一次函数的表示法有：解析法、列表法、图象法。

方法解析

一、一次函数的判定方法

1、定义法：一次函数需同时满足以下三个条件：

①函数的解析式是关于自变量（如x）的整式；

②函数自变量x的最高次数是1；

③函数自变量x的系数不等于0.

2、数形结合法：一次函数的图象是一条直线（或直线上的一部分）。

二、求一次函数的解析式。

1、用待定系数法求一次函数的解析式。

①待定系数法：先设出函数的解析式，再根据已知条件确定解析式中未知的系数，从而求出函数解析式的方法，叫做待定系数法。

②一般步骤：

I：设函数关系式为y=kx+b（k≠0）

II：由已知条件得出关于k、b的方程（组）；

III：解方程（组）求出k、b的值；

IV：写出所求的函数关系式。

③例题详解

例1：(2007年・乐山)直线l1经过点A（-3,1），B（0,-2），将该直线向右平移2个单位得到直线l2，求直线l2的解析式。

解题导引：根据两点确定一条直线，故只需找出l2上的两点即可。

解：A（-3,1），B（0,-2）向右平移两个单位后的点坐标为（-1,1）和（2,-2），即直线l2经过（-1,1）和（2,-2）。

设直线l2的解析式为y=kx+b(k≠0)

由已知得解方程组得

直线l2的解析式为y=-x。

2、用数形结合法求一次函数的解析式。

①解题思路：从题目中读懂信息，找到两组对应值，从而得到相应的函数解析式。利用数形结合的方法解决有关函数问题，使抽象的数形象化、直观化，化数为形，以形思数。

②例题详解

例2：某商店试销售一种成本单价为100元/件的商品，规定试销时售价不低于成本价，又不高于180元/件，经市场调查发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系满足一次函数y=kx+b（k≠0）其图象如右图所示。

（1）根据图象求一次函数的解析式；

（2）若销售量y不低于80件，求销售价

x的范围。

解题导引：由函数图象可知直线y=kx+b

经过点（120,120），（140,100），从而可求其解

析式。

解：（1）由图象可得：

解这个方程组得

所求的一次函数的解析式为：y=-x+240（100≤x≤180）

（2）由题意得：

即

100≤x≤160

3、运用一次函数的性质求解析式

例3：已知一次函数y=kx+b（k,b为常数且k≠0）中自变量的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的取值范围是-10≤y≤6，求此函数的解析式。

解题导引：欲求函数的解析式，只需求出函数的两组对应值。但本题中没有指出函数值随自变量的变化情况，故应分两种情况：

①y随x的增大而增大和②y随x的增大而减小考虑。

解：（1）当y随x的增大而增大时

则由已知得x=-2时,y=-10,x=6时,y=6

解这个方程组得

所求的函数解析式为y=2x-6

（2）当y随x的增大而减小时，

则由已知得，x=-2时y＝6,x=6时,y＝-10

解这个方程组得

所求的函数解析式为y=-2x+2

由（1）（2）得所求函数的解析式为y=2x-6或y=-2x+2

4、由函数与坐标轴围成的三角形面积求解析式。

例4：若直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求此一次函数的解析式。

解题导引：此题得解的关键是求b，于是需由已知条件建立一个关于b的方程。

解：在y=2x+b中

当x=0时y=b，当y=0时，x=-

直线y=2x+b与x,y轴的交点分别是

(- ,0) 和（0,b）

由已知条件得： ｜b|・|- |=4

所求的一次函数的解析式为y=2x+4或y=2x-4。

5、由对称性求一次函数的解析式。

例5：已知直线l1：y=x-2与直线l2关于x轴对称，求直线l2的解析式。

解题导引：求直线l2的解析式，关键要找出l2上两个点，因为l2与l1关于x轴对称，则l1上的每个点关于x轴的对称点都在l2上，故只需在l1上任取两点，再求出它关于x轴的对称点即可。

解：在y=x-2中

当x=0时，y=-2，当y=0时，x＝2

（0,-2）和（2,0）关于x轴的对称点分别是（0,2）和（2,0）

设l2的解析式为y=kx+b

则解方程组得

直线l2的解析式为y=-x+2.