如何在平时教学中拿下基础题

摘 要： 本文针对江苏省高考数学19题（1）问中考生出现的主要问题，谈谈在平时教学中如何从理解概念和掌握一类问题的基本思路两个方面真正拿下基础题.

关键词： 高考数学 概念教学 基本思路 单调性

笔者继2011年高考阅卷后又有幸参加了江苏省2015年数学高考阅卷，批阅的正好是19题.第（1）问是含参的三次函数单调性讨论的基础题，预测本问得分率应该不低.而实际批改时情况却很糟糕，最终此问均分不过四点几分.主要问题有：（1）求完导后无思路;（2）不知道a对进行分类讨论;（3）单调区间乱放并.针对本小题出现的问题，笔者进行了反思，并结合平时教学中的措施和体会，谈谈如何从理解概念和掌握基本思路两个方面让学生不功亏于基础题，以期抛砖引玉.

一、治疗区间乱放并，理解概念是良药

19题（1）问主要错误之一是单调区间乱放并.教师在平时教学中对此问题已是苦口婆心，然而盲点依然“逍遥法外”.是学生笨吗？这个问题真的很难？都不是.是学生没有真正理解单调性定义中的“任意”.而“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”――中国科学院李邦河院士（数的概念的发展.《数学通报》，2009，8）.因此，重视概念教学毋庸置疑.笔者针对单调性定义的理解作了如下习题教学设计：

例1：画出下列函数图像，并写出单调区间：

（1）y=-x+2; （2）y=（x≠0）

设计意图：本例来源于课本，旨在反映单调性是局部性质：即函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数.但（2）是学生的一个盲点，而且正确与否直接反映学生对单调性定义的理解与否.所以不可操之过急，要动之以情.以下记录的是笔者精心设计的片段：

生1：（2）中函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），单调减区间也为（-∞，0）∪（0，+∞）.

师：此函数图像在整个定义域上都是单调递减吗？请从左往右仔细观察图像.

生2：函数的单调减区间有两个：（-∞，0）和（0，+∞）.函数图像整体上从左往右看不是下降的.

师：很好.从形的角度解释本题的两个单调减区间之间不能放并.所以同学们要养成画草图看单调性的习惯.同学们能否再从单调减区间定义出发说明不能放并呢？

生3：在区间（-∞，0）∪（0，+∞）中取-1和2，-1

师：很好.通过找到一个反例，发现与单调减区间定义中的“任意”矛盾.从数的角度再次说明这两个减区间之间不能放并.所以本题答案：单调减区间是（-∞，0）和（0，+∞）.放并就变成一个了.

练习1：根据下列函数图像，写出单调区间.

（1） （2）

（3） （4）

答案：（1）增区间为（-∞，0]和（0，+∞）

（2）增区间为R

（3）增区间为（-∞，0]∪（0，+∞）

（4）减区间为（-∞，-2.5）和[1，+∞），增区间为[-2.5，1]

设计意图：由于高一学生基本初等函数图像模型掌握较少，因此可以设计性地给出函数图像，在丰富学生的图形库的同时，通过练习对比：图（1）（4）不能放并，图（2）（3）要放并，让学生从形的角度真正理解“并”的去留，而并非教师口中通常所说的单调区间不能放并.

练习2：（苏教版必修1课后练习P408）判断下列说法是否正确：

（1）若定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数.

（2）若定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调增函数，在区间（0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数.

设计意图：练习1是从图形直观感知，练习2旨在让学生自己通过画图并适当进行代数说理进行判断正误.如果学生能将练习1中的四个图纳为己用，解决练习2，那么体现的不仅是学生图形库的丰富，而且是在灵活应用中对单调性的认识上升到了理性层次.

二、重重障碍不可怕，基本思路定心丸

19题（1）问中通过设置参数考察了分类讨论的思想，这是高中重要的思想方法之一，它体现了思维的严谨性和全面性，对思维的要求较高.然而将这样的思想方法放在第一问，是不是意味着第一问就变成了难题呢？非也.

数学中很多问题都有其解决的基本思路，有时我们认为一个问题较难，只是因为在基本思路的某一步或某几步中设置了一些障碍.例如用导数研究单调性的基本思路如下：

S1：求定义域

S2：求f′（x）

S3：判断方程f′（x）=0在定义域内是否有根

S4：列表画草图

S5：写出单调区间

出现求完导后无思路的情况显然是未掌握用导数研究单调性的基本思路，若再添加几个参数干扰，则自然无所适从.而不知道对a的范围进行讨论的考生大多数没有列表，不然就会考虑到0与-a是如何分割定义域的，分类讨论自然水到渠成.考生如果理解单调性的定义，养成画草图的习惯，那么不论是从形还是数的角度都不会乱放并的.所以，掌握了基本思路，即使在多个步骤设置障碍，也不会黔驴技穷.

数学中还有很多其他类问题都有解决的基本思路，如：二次函数求最值、用导数研究函数最值、解一元二次不等式.这些问题中都可以通过设置参数考察分类讨论思想增加难度，但仍然属于基础题.令人不解的是，栽在这几类问题上的学生每届都有.如果教师授予的是基本思路，并在平时教学设计中多体现障碍可能出现在哪几步，那么学生做此类问题时定有“会当凌绝顶，一览众山小”之感.

高考中，基础题是学生踏进象牙塔的前提.如何助学生不失江山于基础，笔者认为平时教学中要注重概念教学.除了重视概念的生成外，还要针对概念理解中的盲点，精心设计，充分发挥教材例题和习题的作用.此外，教师还要教给学生解决某一类问题的基本思路，让学生认识到障碍可能出现在哪几步中，给学生一颗定心丸.这样，学生才能在高考中稳操胜券地拿下基础题.

参考文献：

[1]单.普通高中课程标准实验教科书：数学1[M].南京：江苏教育出版社，2012.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.