初中数学问题情境的层次分类及教学

新课程实施以来，一些教师为强化应用意识及价值观的培养，常常刚讲完新知识，便急于将各类应用题压向学生.由于学生解题技能未能达到相应的水平而无力解答，教师只好返回相关层面进行讲训，或者教师自己解答，导致解题教学走弯路.笔者认为，解题教学应构建阶段性培养目标，由浅入深分层进行.本文探讨数学新课程各教学情境中分层训练学生解决问题的技能的有效途径.

1 数学问题情境的层次分类

数学教学中，数学问题可依情境的来源划分为三种类型.

（1）基本型问题情境，是以改造后的生活事例作为问题的背景.

（2）生成型问题情境，是以学习或实践活动过程作为问题背景.

（3）描述型问题情境，是以生活原形作为问题背景.

上述三种问题中，基本型问题因源于教材，具有典型性和基础性，所以学生可直接运用所学知识和经验，解决之；生成型问题是活动中自然生成的，需向基本型问题转化后，才能解答；而对于描述型问题，解题者需诠释问题语句，联想或体验问题的真实情境（进入类似生成型问题情境），再转成基本型问题解决.

从认知角度来看，基本型问题解答主要经历数学知识的巩固及形式化推理的运算过程，生成型问题解答主要经历数学知识深化及数学建模的过程，描述型问题解答主要经历数学知识在复杂情境中迁移和应用的过程.这“广义知识学习的三个阶段”与课标教材的结构相吻合的.目前，一些教材“问题情境——建立模型——解释与应用”摸式展示数学知识，笔者认为这旨在使数学知识返璞归真，增强知识的意义与学生的数学化意识，且为向以后的问题情境的过渡作辅垫.不是要求初始就以描述型问题为主进行训练，因为此时教材中大多习题还处于以基本型问题为主的层面.实践表明，违反上述基本程序，是导致应用题解题教学困难的主要原因.

上述程序并非严格的教学公式.教材中，三种问题情境没有明显的分界线，往往交错出现.教学时，要本着宏观遵循基本程序，微观灵活调整的原则，使三个环节的教学融会贯通.

2 三类问题教学的操作要点

2.1 基本型问题的教学

该环节主要对应教学中的“新知识的获得”和“知识的巩固与转化”阶段.教学目标是针对后续层面的教学需要，训练学生的基本解题技能.

（1）解题教学与诠释技能

读题训练中要重视实现三个目标：矫正学生“粗略浏览题目就急于解题”的习惯；训练学生以自己的语言表述题意的技能；训练学生将题意直译成文字与数字及符号混合表达形式的技能.这些是阅读描述型问题及将问题连续化简的基础.

例1 （浙教版七年级下册P78）“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的一道题.今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

分析 首先让学生用自己的语意表达题意，整体把握题中的数量关系；然后让学生分解题意，将题中的条件直译成以文字与符号结合表达的形式：①鸡只数+兔只数=35；②鸡腿数+兔腿数=94.

（2）训练联想技能

联想技能差的学生面对问题时，不善于从已知信息入手检索相关知识，常常由于未联想到解题必须的知识，未形成对问题的结构化表达而找不出答案.教师要注意引导学生学会以数学概念、规则等中介链接问题信息与大脑中的知识信息，以此促进学生形成联想技能.如例1，通过引导学生以“鸡只数×2=鸡腿总数，兔只数×4=兔腿总数”为中介联想，挖掘隐含的结构关系.能使学生在直译的基础上将问题转成暗示解题路径的结构化状态：①鸡只数+兔只数= 35；②2×鸡只数+4×兔只数=94.

（3）培养建构解题计划，形成解题策略

为分散后续训练时“数学建模”及“分析”的难点，该环节要着重强调两方面的训练：首先使学生克服无计划盲目尝试的习惯，形成拟定初始的解题计划和策略；其次引导学生依初始计划分析尝试，适时调整计划及策略，探索可行性解题路径，培养探究能力.如例1，教师可先引导学生回忆以往的解题经验及策略，使学生萌生“列方程解题”的构想，而后指导学生设鸡x只，通过反复尝试探索，将问题符号化，列出方程.

（4）反思与延伸，积累解题经验

许多学生有“得出问题的答案就万事大吉”的通病.教师要引导学生反思解题失误及精彩之处，总结交流解题经验，培养学生的创造力和自主探究的意识.同时实施变式训练，促进形成解题策略系统.如例1，通过解题后的反思与变式练习，学生会得出多种列法，并概括出列方程的共性规律和技巧，为今后解答复杂情境的应用问题奠定基础.

2.2 生成型问题的教学

继基本型问题情境为主体的解题训练之后，可进入以生成型问题为主体情境的训练环节.该层面主要对应教学中的“知识的巩固与转化”及“知识的迁移与应用”阶段.教学形式是数学实践活动，教学目标是使学生学会在生活情境中自主抽象出数学内容，培养创造性解决问题的能力，可分三个层面进行.

（1）在活动中使数学认知与生活情境融合，培养创造意识

①生成问题情境.教师可通过校外实践课或校内活动课提出蕴含数学内容的问题，或引导学生在活动过程中形成蕴含数学内容的问题，生成问题情境.

例2 “翻牌游戏”的教学.桌子上有7张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意2张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，这样一直做下去，能否使所有牌反面向上？

②在活动中体验问题，进行创造性思维.通过指导学生动手操作，使学生在活动过程中感受实际问题中的条件、解题目标和解决问题的程序等相关内容；通过活动中自然运用相关数学知识，使创造性思维融入活动情境.

③语意表达，强化体验.如学生甲表述做法：每翻一次反面向上牌的张数变化有三种可能：第一种增加2张，第二种减少2张，第三种不变.这三种情况变化的张数是偶数，7是奇数，奇数加上或减去偶数的结果仍是奇数，所以是不可能.通过语言表述活动的过程，能使问题及相关数学信息清晰化，使语言表达的知识与活动情境融为一体.

（2）提炼出问题中的数学内容，转成基本型问题.训练抽象转化的技能和知识迁移能力

该环节要引导学生从问题中提炼出实质条件及联系，舍去其非实质性内容，简化对问题的描述，将问题进一步数学化，进入基本型问题情境.

① 启迪学生从情境中提炼出数学内容，训练抽象概括能力.如例2，学生初始往往是凭借粗浅的数学知识及直观感觉作出判断，没有将问题进行“数学构建”.此时，教师可提示：“如果只给3张牌，你会解决问题吗？如果每张牌的正面写上 “+1”，反面写上“-1”，那么你又会发现什么呢？”这样可诱发学生对相关数学知识的联想，提炼出数学内容.

② 让学生用数学形式化语言表达问题，使心理进入基本型问题情境，如上述甲生用奇偶知识进行解决.同学乙经过老师的启发发现正面写上“+1”，反面写上“-1”，则该问题就变成了“把7个‘+1’每次改变其中2个符号，若干次后能否都变成“-1”？

(3)解答基本型问题

若在上述同学乙的方法中，每次翻2张，向上一面乘积不变（结果都是“+1”），所以不能7张牌反面向上.通过成功地解答基本型问题，培养学生的自信心、挑战意识和对数学问题的兴趣.

2.3 描述型问题的教学

该层面主要对应教学中“知识的迁移和应用”阶段.教学目标是：进一步提高阅读理解，语句转换，抽象概括等能力，进一步培养学生运用“转化”等策略解决问题的能力.

例3 （2008年北京市）京津城际铁路将于2008年8月1日开通运行，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时.某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同.如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？

（1）诠释语句，从整体到局部表述题意，训练阅读理解能力.

描述型问题一般描述的实际生活中的事情或情节，语句表述相对复杂.学生读不懂题，或者只是记住离散的信息而不能整体窥视问题的实质含意，是教学中常见的现象.教师要注意引导学生从整体到局部反复读题，诠释语句，将描述问题的语言转换为自己心中的语言，以自己的理解整体表达题意.如例3，可引导学生反复逐句诠释问题语句，前后联系起来认识“试验列车”事件，训练阅读理解能力.

（2）连续化简，分层转成基本型问题，训练抽象概括和转化等能力.

教师引导学生运用转化的策略从复杂的问题叙述中找出反映问题本质的语句，舍其非本质的语句，将问题语句连续化简，向基本型问题等价转化.要注意三个化简层面的训练：①简化问题语言叙述；②用问题语句直译与符号结合形式表述问题；③将问题符号化.例3可使学生经历如下化简训练过程.

化简1（语句描述简化）：京津城际铁路预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时，某次试验列车北京到天津的行驶时间比预计时间多用6分钟，返回时间与预计时间相同.如果这次试车，天津返回北京比去天津平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时北京到天津的速度是多少？

化简2（典型化）：预计京津城际铁路单程用时为半小时，某次试验列车由北京到天津的行驶时间为36分钟，返回用时为半小时.如果这次试车时，返回速度比去时每小时多行驶40千米，那么这次试车时北京到天津的速度是多少？

此时已进入基本化问题情境，可用解答基本型的方法解决问题.

教学实践表明，随着上述分层螺旋式训练，三类问题会在学生大脑中逐渐融合，差别会逐步减小，学生会慢慢适应各种问题情境，自然形成综合性解题系统，提高学生分析、解决问题的能力和创造能力.