《数学》第九章“立体几何”教学初探

【摘 要】省编中职数学新教材立体几何的内容是在平面几何知识的基础上，进一步研究空间图形点、线、面的关系、性质、应用。通过观察、探究、图形分析，理解教学内容，明确教学要求；从生活实例中抽象出立体图形，培养知识迁移能力；利用化归的数学思想将立体问题平面化，达到化未知为已知、化复杂为简单的目的；用类比的方法，建立知识间的相互联系。教师的教学应领悟教学设计要求，强化基本知识，渗透思想方法。

【关键词】空间图形 实例探究 知识迁移 化归思想 类比方法

立体几何是中职数学教学的重要内容，它是在学习平面几何知识的基础上，进一步研究空间图形点、线、面间的关系、性质、画法、计算及其应用的学科。学生要理解空间点、线、面的位置关系，并学会用数学语言表述空间有关平行、垂直的判定与性质，能运用这些结论对有关空间图形位置关系的简单命题进行论证，了解简单几何体的结构特征及表面积与体积的计算方法，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、合情推理能力和运用图形语言进行交流的能力。

立体几何是中职数学教学的难点内容。之所以说它是教学的难点，主要表现在三个方面：（1）平面几何对立体几何学习的负迁移，主要包括：识图与画图――“用平面的眼光看立体的问题”，平面几何的概念和定理形成思维定式。（2）空间想象能力的欠缺。（3）逻辑思维能力的欠缺，主要包括基本概念不明确，灵活应用能力差。

基于以上分析，要求我们教师全面体会、理解新编中职数学教材内容，明确、领悟教材作者的编写理念和设计要求，在教学中强化基本知识，训练学生的基本技能，渗透数学思想方法，提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力等。

一、理清体系内容，明确教材教学设计要求

立体几何是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，重点是帮助学生逐步形成空间想象能力。为了符合学生的认知规律，培养学生对几何学习的兴趣，增进学生对几何本质的理解，教材在内容的选编及呈现方式上，与以往的处理相比有较大的变化。首先，通过观察和探究，使学生认识和理解空间点、线、面之间的位置关系，作为思辩论证的基础。其次，通过图形分析，使学生了解空间简单几何体（柱、锥、球）的结构特征，以此作为发展空间想象能力的基本模型。内容的设计遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，强调借助实物模型，通过整体观察、直观感知、探究确认、思辩论证、度量计算引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质；重视合情推理与逻辑推理的结合，注意适度形式化；倡导学生积极参与、勇于探索的学习方式，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力。

立体几何是在学生已有平面图形知识的基础上来研究空间图形的，从平面观念过渡到立体观念，对一般学生来说，困难较大，因而有些定理在教学时只需通过大量的实例让学生感受、认识即可，不必给出它们的严格证明。例如：教学平面与平面垂直的判定与性质定理时，通过问题“在推开门时，门轴与地面一直保持垂直，门所在的平面与地面具有怎样的位置关系”的思考，确定“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直”的结论，形象直观，减少了繁杂的推理过程，学生容易接受。

在研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系时，首先应强调位置关系的分类标准，然后引导学生给出正确分类。由于是通过直观感知、探究确认关于“垂直”“平行”的判定定理，所以教学中要给出一定量的空间图形，有条件的可用计算机演示，让学生通过观察、实验，确认“垂直”“平行”的判定方法。关于“垂直”“平行”判定与性质定理的应用，教学时应先让学生理解定理成立的条件，并逐渐让学生感悟到：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常可以相互转化，将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想。对空间中“角”与“距离”的度量问题，教学中不必拓展延伸，也不要随意地提高教学要求。

由于是从运动变化的观点来认识柱、锥、球的几何特点，因此，教学时最好要通过柱、锥、球实物模型进行演示，有条件的可以使用计算机演示柱、锥、球的生成过程，以帮助学生认识空间简单几何体的结构特征，并逐步形成空间观念。

柱、锥、球的表面积和体积的教学、对一些简单组合体的表面积和体积计算，重点在通过分析得到它是由哪些简单几何体组合而成，在介绍求柱、锥、球的表面积和体积的方法时，应着重让学生体会祖原理思想在表面积与体积计算中的应用。

二、感知生活实例，培养学生知识迁移能力

引导学生通过观察客观事物，发现事物的各种属性，然后把本质属性从中抽象出来。在掌握了概念的内容后，再把这些本质属性推广到同类事物中，对概念所反映的同类事物有普遍的认识，这才算理解了概念。抽象概括能力对学好数学有着十分重要的意义，有利于学生知识迁移能力的培养，学生抽象概括能力越高，其知识迁移能力就越强，对新知识的掌握理解就越容易。

从形状的角度反映现实世界的物体时，经过抽象得到的空间几何体就是现实世界物体的几何模型。立体几何学习的知识内容与学生的联系非常密切，空间几何体是很多物体的几何模型，这些模型可以描述现实世界中的许多物体。它们直观、具体，对培养学生的几何直观能力有很大的帮助。空间几何体，特别是长方体，其中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系，是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的直观载体。学习时，一方面要引导学生从生活实际出发，把学习的知识与周围的实物联系起来；另一方面，要引导学生经历从现实的生活抽象出空间图形的过程，注重探索空间图形的位置关系，归纳、概括它们的判定定理和性质定理。

在“平面的基本性质”中，通过对现实生活中物体的观察，抽象出几何里的“平面”知识，并进一步了解平面的画法、平面的表示、空间点、线、面之间的基本位置关系及表示；通过实例研究，引出三个公理和推论，并能用公理和推论解释生活中的某些现象。

在“空间两条直线的位置关系”中，从现实生活实例出发，通过问题引起学生的注意，激起学生进一步探究知识的欲望，从而得到平行公理和等角定理，同时培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。让学生通过观察生活中的物体，发现一些直线既不平行也不相交，从而得到异面直线的概念，进一步归纳空间中直线与直线的三种位置关系。

在“直线与平面的位置关系”中，通过探究生活实例，得到直线与平面之间的三种位置关系；通过观察、实践研究、思考交流等活动，归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理、直线与平面垂直的判定定理和性质定理。直线与平面的位置关系是直线与直线位置关系的延伸与拓展，利用定理和性质解决生活实际中的问题，让学生体会数学来自于生活，感受到发现的价值和学习的乐趣。

在“平面与平面的位置关系”中，以生活实例为背景，探索出平面与平面的位置关系。二面角的学习是实际生活的需要，有助于增强学生探索发现的意识，培养学生应用数学思想解决问题的能力，激发学生学习的兴趣，提高学生学习的信心。

在“柱、锥、球及其组合体”中，通过对日常生活中的几何体的观察，探究它们（多面体和旋转体）的结构特征和特点，从而得出相关的概念；同时了解棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的相关面积和体积计算公式，能根据公式求出柱、锥、球的相关面积和体积，并能运用柱、锥、球及其简单组合体的知识解决实际问题。

三、三种语言互译，培养学生准确表达能力

数学语言是思维的载体，它是在数学思维中产生和发展的，又在数学思维中起着非常重要的作用，因此新教材在内容的处理上，在新的教学理念的导向下，以立体图形为研究对象，有序地建立了以图形、文字、字母符号这三种数学语言相互联系的教材体系，从而使三种数学语言之间能够相互转化、相互依托，并充分发挥着各自的优势和功能。文字语言言简意赅、寓意深刻；符号语言简明扼要、国际通行；图形语言形象生动、记忆深刻，它是联系文字语言、符号语言的桥梁。这几种语言各有所长，对开发同学们思维的敏捷性、条理性、层次性都有重要意义。因而在立体几何学习中，应充分发挥不同语言的教育功能，掌握好三种语言的互译。教材在公理、定理的给出中，注重三种语言的表达。例如，公理1既给出语言表达：“如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。”又给出了数学符号：A∈αB∈α？圯AB？奂α.或者：A∈α，B∈αAB？奂α，同时画出了图形：

笔者在立体几何教学中，对每个定义、定理、公理都要求学生会用三种语言来表达，对例题、习题也做同样的要求。经过一段时间的训练，不仅学生的识图、作图能力提高了，而且对定义、定理的理解也加深了。这种方法培养了学生准确的表达能力、规范的解题能力和空间想象能力。

四、渗透数学思想方法，提升学生空间想象力

数学思想是对数学知识理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识；数学方法是解决和研究数学问题，并达到目的的方法、手段、途径或程序。数学思想方法是数学精髓之所在，是教学的重点。立体几何教学中，我们主要突出空间问题平面化的化归思想和类比思维方法的教学。

“立体需平面，平面找三角。”空间问题平面化的化归思想是处理立体几何中许多问题的基本思想，无论是位置关系的判断还是角和距离的计算都贯穿这种思想。平面几何是立体几何的基础，立体几何是平面几何的延伸与拓展，它们之间有着紧密的联系。立体几何中的许多定理、公式、法则都是平面几何的定理、公式、法则在空间的推广，有些问题的处理思想和方法也有许多的相似之处。因此，如果在立体几何问题中注意联想平面几何中类似问题的图形与解法，从平面几何问题中得到启发，适当添加辅助线、面，将分散的元素进行集中，将各种关系体现在同一个平面图形内，化立体几何为平面几何，就可化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题迎刃而解。

“空间距离和夹角，平行转化在平面，一找二证三构造，三角形中求答案。”在求空间的各种距离时，主要是设法作出各种距离和构造三角形，从而在三角形中应用勾股定理、正余弦定理来求解。在求空间的各种角时，根据异面直线所成角的定义，将空间角问题转化为平面角问题，通过平移、旋转、割补、射影、作截面等手段，往往可将隐藏的关系集中显现出来，将问题归结到一个联系已知量和待求量的基本图形――三角形中去讨论，从而将线线角、线面角、二面角化归为三角形的内角，然后利用解三角形的知识就可求解。

开普勒说：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可依赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中是最不可忽视的。”类比是从已经掌握事物的相似属性，推测正在研究中的事物的其他属性，它以原有认知为基础，类比出新的结果。由于平面几何和立体几何在研究对象和方法、构成图形的基本元素方面是相同或相似的，因此在立体几何教学中对两者进行类比是研究它们性质的一种非常有效的方法，是立体几何教学和学习中不可缺少的基本能力。在具体问题的解决过程中运用类比推理，既能建立知识间的相互联系，又能发现良好的解题方法，从而很好地提高解题效率，进而培养学生的创新思维。

类比平面几何中有关结论，探究正迁移到空间中的结论：过一点有且仅有一条直线和已知直线平行（平面几何结论用公理的推论可推广到空间）；平行线的传递性在空间中也成立：一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等。充分利用空间概念和题设信息探究可类比平面几何中的有关结论：平面几何中“垂直同一直线的两直线必平行”，类比到空间为“垂直于同一平面的两直线必平行”和“垂直于同一直线的两平面平行”；平面几何中“夹在两平行线间的平行线段相等”，类比到空间为“夹在两个平行平面间的平行线段相等”。

类比推理是一种非逻辑的思维形式，一方面它能导致人们做出新的判断和预见，另一方面这种新的判断和预见也可能是错误的。例如：在平面几何中有“如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角互补或相等”，类比到立体几何中的二面角，有如下结论：如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补。上述结论显然是错误的。由此可见，对于类比得到的结论不论其正确与否，都要辩证地看待，既不盲从，又不一概否定。这样才能使学生的类比推理能力稳步地得到培养和提高。

空间中还有很多几何体的概念及性质可以由平面图形类比得到，如长方体与长方形类比、四面体与三角形类比、球与圆类比等等。这些思想方法，需要我们在教学中慢慢渗透，潜移默化，逐步让学生认识它、理解它、运用它，从而能以更理性的目光看待我们身处的这个多姿多彩的世界。■

（作者单位：丹阳市教师发展中心、丹阳市中等专业学校）