平面几何之入门教学

平面几何入门教学通常是指平面几何的基本概念、相交线和平行线以及三角形这三部分内容的教学。要搞好平面几何的入门教学，关键是解决好以下几个问题。

一、抓住公理，培养适当的逻辑推理，训练思维能力

教学大纲要求：“通过各种图形的概念、性质、作（画）图及运算等方面的教学，发展学生的逻辑思维能力、空间能力和运算能力。”其中培养学生的逻辑推理能力是平面几何入门教学的重中之重，是教学中的难点所在。教师必须善于引导学生从已熟悉的例子中获得逻辑推理的能力，并使学生在平面几何学习中自觉使用。在平面几何的入门教学中，除了不定义的概念外，还有赖以逻辑推理的基石――公理，正是这些基石建成了欧氏几何这座大厦。在讲授公理时，除了应该说清楚公理是不能用其它定理证明且不证自明的道理外，还应该交代，迄今为止，公理所揭示的规律无一例外，这更使公理的成立无法动摇。有了公理，如何利用公理来证明定理，又如何利用定理来证明所需要的结论，即“怎样证”的逻辑推理问题。

在日常生活中，学生已经自觉或不自觉地运用逻辑推理的思维方式，教师要抓住这个有利条件，进行对比、诱导。比如：

例一：①9月10日是教师节。②今日是9月10日。③所以今日是教师节。

例二：①对顶角相等。②∠A与∠B互为对顶角。③所以∠A=∠B。

上述二例是演绎推理中的三段论，①②两个判断是前提，新判断③是结论。教师在教学中应充分利用上述例子，点破其共同点：①或是国家规定，或是已证明成立的定理；②则或是已知的事实，或是题设条件；①和②都是真实可靠且毋庸置疑的正确判断；③则是我们所要证明的。

在教学中，教师应讲清例中①②与③的关系。①和②是③能成立的前提，而且①和②缺一不可。比如例一，单有“9月10日是教师节”，不知道“今日是9月10日”，就无法得出“今日是教师节”的结论。同样，如果知道“今日是9月10日”，而没有“9月10日是教师”的规定，也仍得不到“今日是教师节”的结论。教师在讲解例二时，应逐项与例一参照对比。只要教师在讲课时能循循善诱、因势利导，学生就能在乎几入门时，逐步形成逻辑推理的能力。

二、理清概念，揭示本质

中学数学教学大纲指出“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提”。数学概念是现实世界空间形式和数量关系及其特征在思维中的反映，正确理解概念是提高学生数学能力的前提。相反，对学习概念重视不够，或是学习方法不当，既影响对概念的理解和运用，也影响思维能力的发展，就会表现出思路闭塞、逻辑紊乱的低能。如：在讲授三角形全等的判定中，有不少同学“创造”出一条“边边角”，发现这种错误时，可举实例。这样，学生就从实例中进行辨异对比，首先在感性上证实没有“边边角”的判定。用一些“变异图”、“反例近似图”，通过正误图形的识别，可以更好地理解和掌握概念。

把相关几何概念的共性和个性反映在图表中，增强对概念的感性认识，特别是对类同的概念作对比，往往用列图形表揭示它们的共性和个性，区别和联系。例如为了直观看出锐角三角形、直角三角形、纯角三角形中的高、中线、角平分线的位置，可列表作对比理解和记忆，并为后阶段讲授三角形的重心、内心、外心、垂心打下良好的基础。

三、课堂教学要有针对性，讲到点上，引发学生的抽象思维，变被动为主动

以讲解“直线”为例，教师可先提问：8支铅笔、8根电线杆和8根拉紧的电线，它们有什么共同点呢？学生回答“都是8”，这是不成问题的。教师进一步问：还有什么共同点呢？学生就难于很快回答了。有的学生考虑的是材料的性质，有的考虑的是价格，有的考虑的又是用途，而忽视了事物的本质属性。此时，教师再进一步启发学生善于摒弃那些表面的、次要的，而抽象出共同的、本质的数（如“8”）和形（如“直”）：在形状上有什么共同点呢？学生受到启发，思路活跃起来。部分学生会得出“直”是它们的共同点。至此，学生在教师的启发式引导下，十分自然地由形象思维上升到抽象思维。最后都可以把“直线”再加以描述，进而用“直线”定义“射线”和“线段”。

人们学习新事物的认知过程，不是一次完成的。但从心理学的观点认为，第一次认识具有奠基作用，即所谓先入为主。因此在平几的概念、定义、定理教学中，一定要揭示它们的本质属性。并且注意图形与文字的正确结合。如讲解垂直，用图1揭示垂直的本质，而不在乎它们的位置是否“标准”，讲三角形外角用图2，讲等腰三角形时用图3，这样在教学中适当变换图形的位置或形状，可以使学生更好地理解图形的本质属性，有利于思维的灵活发展。

教学实践证明，好的开头是成功的一半。入门教好了，事半功倍，对学生几何的学习特别是逻辑推理能力的培养起到了不可估量的作用，也为学生对后续课程《立体几何》和《平面解析几何》的学习打下扎实的基础。