有关向量空间的直和分解问题

【摘 要】:本文主要研究了向量空间的基本性质和属性,特别的对于子空间的交与和以及对向量空间的直和进行总结和分析,而且对向量空间的直和分解式进行总结,以加深我们对向量空间的更深层的了解,便于以后学习相关知识进行应用.

【关键词】:向量空间 向量空间的直和 直和分解

一、向量空间与子空间

在解析几何里,我们已经见到平面或空间的向量,两个向量可以相加,也可以用一个实数去乘一个向量.这种向量的加法以及数与向量的乘法满足一定的运算规律,向量空间正是解析几何向量概念的一般化.

定义1.1令F是一个数域.F中的元素用小写拉丁字母a,b,c….来表示,令V是一个非空集合.V中元素用小写黑体希腊字母α,β,γ…来表示.我们把V中的元素叫做向量而把F中的元素叫做标量.如果下列条件被满足,就称V是F上一个向量空间.

1 在V中定义了一个加法.对于V中任意两个向量α,β有V中一个唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做α与β的和,并且记作α+β.

2 有一个标量与向量的乘法,对于F中每一个数a和V中每一个向量α,有V中唯一确定的向量与他们对应,这个向量叫做a与α的积,并且记作aα.

3 向量的加法和标量与向量的乘法满足下列算律:

1)α+β=β+α;

2)α+β+γ=α+β+γ;

3)在V中存在一个零向量,记作0,它具有以下性质:对于V中每一个向量α,都有0+α=α;

4)对于V中每一个向量α,在V中存在一个向量α',使得α'+α=0,这样的α'叫做α负向量;

5)aα+β=aα+aβ;

6)a+bα=aα+bα;

7)abα=abα;

8)1α=α;

这里α,β,γ是中任意向量,而a,b是F中任意数.

性质1.1在一个向量空间V里,零向量是唯一的,对于V中每一个向量α,α的负向量是由α唯一确定的.

性质1.2对于任意向量α和数域F中任意数a,

(1)0α=0,a0=0 ;

(2)a(-α)=(-a)α=-aα;

(3)aα=0a=0或α=0;

定义1.2令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的,那么就称W是V的一个子空间.

二、子空间的交与和

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