数学中的模型构造

构造法是一种富有创造性的解题方法，它很好地体现了发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括、特殊化等重要的数学方法. 下面通过几例探讨构造模型在中学数学中的应用.

1. 构造方程模型

例1 已知[1m2+1m-3=0]，[n4+n2-3=0]且[1m≠n2]，求[mn4+n2m2]的值.

分析 题设条件具备[x2+x-3=0]的形式，如[1m]，[n2]是此方程的两根，于是可以构造二次方程解决.

解 因为[1m2+1m-3=0]，[n4+n2-3=0]，且[1m≠n2]，

所以[1m]，[n2]是方程[x2+x-3=0]的两根，

即有[1m+n2=-1]，[1m?n2=-3]，

所以[mn4+n2m2]=[n2m（1m+n2）]=3.

2. 构造函数模型

例2 若[|a|

证明 构造一次函数[f（x）=（b+c）x+bc+1]，

则[f（1）=（b+c）+bc+1][=（1+b）（1+c）>0]，

[f（-1）=-（b+c）+bc+1][=（1-b）（1-c）>0].

由一次函数的线性性质知，

对[-10].

即[（b+c）a+bc+1>0]，故[ab+bc+ca>-1].

3. 构造递推数列模型

例3 设实数[a，b，x，y]满足方程[ax+by=3]，[ax2+by2=7]，[ax3+by3=16]，[ax4+by4]=42，求[ax5+by5]的值.

分析 一般项具有[axn+byn]形式，若令[an=axn+byn]，则易得[an+2，an+1，an]之间的关系，从而得到递推模型.

解 设[an=axn+byn]，

则有[a1]=3，[a2]=7，[a3]=16，[a4]=42.

又[an+2=axn+2+byn+2]

[=（x+y）（axn+1+byn+1）][-xy（axn+byn）]

[=（x+y）an+1-xyan]，

即[an+2=（x+y）an+1-xyan].

故[7（x+y）-3xy=16，][16（x+y）-7xy=42]，

所以[x+y=-14]，[xy=-38].

所以[ax5+by5]=[a5]=[（x+y）a4-xya3]

=[-14×42+38×16]=20.

4. 构造不等式模型

例4 解方程[sin2x+sin2（π3-x）?] [cos2x+cos2（π3-x）] [=34].

分析 左边具有[（a12+a22）（b12+b22）]的形式，因此可以构造柯西不等式解决.

解 [sin2x+sin2（π3-x）cos2x+cos2（π3-x）]

[][sinxcos（π3-x）+sin（π3-x）cosx2]

[=sin2（x+π3-x）=34]，

当且仅当[sinxcos（π3-x）][=sin（π3-x）cosx]时取等号.

故[sin2x=sin（2π3-2x）]，

解得[x=kπ2+π6] [（k∈z）].

5. 构造平面几何模型

例5 求[cos25°+cos210°-2cos5°cos10°][cos15°]的值.

解析 此题的解法很多. 观察本题的结构，联想到与余弦定理的形式似乎相近，将原式表示为[sin285?+sin280?-2sin85?sin80?cos15?]，结合正弦定理，在直径为1的圆内构造一个如图所示的[ABC].

其中[A=85°]，[B=80°]，[C=15°]，

由正弦定理知，

[BC=sin85°]，[AC=sin80°]，[AB=sin15°]，

由余弦定理知，

[sin215?=sin285?+sin280?-2sin85?sin80?cos15?，]

[cos25°+cos210°-2cos25°cos10°cos15°]

[=sin215°=1-cos30°2=2-34.]

6. 构造复数模型

例6 已知[a，b]为小于1的正数，求证：

[a2+b2+1-a2+b2+a2+1-b2]

[+1-a2+1-b222.]

证明 设[z1=a+bi，z2=1-a+bi，]

[z3=a+1-bi，z4=1-a+1-bi]，

则[z1=a2+b2，z2=1-a2+b2，]

[z3=a2+1-b2，z4=1-a2+1-b2]，

[z1+z2+z3+z4z1+z2+z3+z4]

[=2+2i=22].

所以有[a2+b2+1-a2+b2+a2+1-b2]

[+1-a2+1-b222]成立.

7. 构造圆锥曲线模型

例7 求函数[f（x）=x4-3x2-6x+13] [-x4-x2+1]的最大值.

解析 函数变形为

[f（x）=（x-3）2+（x2-2）2-（x-0）2+（x2-1）2]，

其几何意义为[P（x，x2）]到[A（3，2）]与[B（0，1）]的距离之差的最大值.而[P]为抛物线[y=x2]上任意一点可构造如图的抛物线模型求解.利用三角形两边之差小于第三边，即[PA-PBAB]（[P，A，B]三点共线时，取等号），即得[fmax（x）=AB=10].

8. 构造子集模型

例8 设集合[S=1，2，???，99]，非空子集[A]满足条件：对任意的[a∈A]，必有[100-a∈A]，问它们的集合[A]共有多少个？

分析 根据元素性质，分类构造子集，是解决组合中某些计数问题的简捷方法，显得思路清晰.

解 这是一个组合数计算问题. 对题设，构造[S]的如下元素之和一定的子集：[1，99]，[2，98，3，97，???，49，51，50]，依题意，符合条件的集合为这些子集及它们组成的所有并集，故集合[A]共有[C150+C250+C350+???+C5050=250-1].

9. 构造组合模型

例9 把[n]个相同的小球放入[m（mn）]个有编号的盒子里，每个盒子至少放入一个球，共有多少种不同的放法？

解析 构造一个隔板模型，将这[n]个相同的小球排成一列，在相邻两个小球之间形成的[n-1]个间隙中选取[m-1]个插入隔板，将[n]个球分成[m]个区间，第[i][（1im）]个区间的球对应第[i]个盒子. 因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等，因隔板插入方法数为[Cm-1n-1].故共有[Cm-1n-1]种不同的方法.