排列\组合中的分组分配问题的解法

摘要：分组分配问题是排列、组合中的重要问题，分组的三种情形：完全非平均分组，平均分组，部分平均分组，分配的两种情形：定向分配，非定向分配。并总结出解决分组分配问题的具体方法分组问题的解法是：先有序分组，再无序处理；分配问题的解法是：边分组边分配，先分组再分配。先分组再分配是一种常用方法。

关键词：先分组再分配；边分组边分配

分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。

一、分组问题

将n个不同元素按照某些条件分成m组，求共有多少种不同分组方法的问题，称为分组问题，分完全非平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

结论1.一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为,其中组内元素数目相等的组数分别为，组与组之间是无序的，那么分组方法数是。

如果其中仅有组内元素数目相等，那么分组方法数是。

例19本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

(1)每组3本

(2)一组2本，一组3本，一组4本

(3)一组5本，另外两组各2本

解析：分组与顺序无关，是分组问题。方法是：先有序分组，再无序处理。

(1)属于平均分组问题。先分组，分组数是=540(种)，这540种分组实际上重复了6次。我们不妨把9本不同的书写上a、b、c、d、e、f、g、h、k六个字母，考察以下六种分法：(a，b，c)(d，e，f)(g，h，k)、(a，b，c)(g，h，k)(d，e，f)、(d，e，f)(g，h，k)(a，b，c)、(g，h，k)（d，e，f)(a，b，c)、(g，h，k)(a，b，c)(d，e，f)、(g，h，k)(d，e，f)(a，b，c)。由于书是均匀分组的，每组3本，3组的本数一样，又与顺序无关，所以这6种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数，所以分法是=280（种）。

(2)属于完全非平均分组问题。先分组，分组数是，那么还要不要除以？由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有=1260(种)。

(3)属于部分平均分组问题。先分组，分组数是=756(种)，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是2本，因此这两组有了顺序，而与5本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=378(种)。

二、分配问题

n个不同元素按照某些条件分配给m个不同对象，求共有多少种不同分配方法的问题称为分配问题，分定向分配和非定向分配两种。

结论2．定向分配问题。一般地，n个不同的元素分配给成p个不同对象，各对象内元素数目分别为，各对象分配的元素个数是确定的，那么分配方法数是.

结论．非定向分配问题.一般地，n个不同的元素分配给成p个不同对象，各对象内元素数目分别为，其中组内元素数目相等的组数分别为，组与组之间是无序的。但各对象分配的元素个数是没有限制的，因此将分组方法数再乘以不同对象数的全排列数即可。那么分配方法数是..

（一）定向分配问题

例29本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

(1)甲3本、乙3本、丙3本

(2)甲2本、乙3本、丙4本

(3)甲5本、乙2本、丙2本

解析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属定向分配问题，因此，分配方法如下：

方法1：边分组边分配――边分边发，分了发完

由分步计数原理，第一步分给甲，第二步分给乙，第三步分给丙

(1)=540(种)；(2)=1260(种)；(3)=756(种).

方法2：先分组再分配――先分再发，该啥发啥。

先分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人，又因甲、乙、丙三个人分配的书本数是一定的。具体分法如下：

(1)把9本不同的书均分给甲、乙、丙三人，先对9本不同的书作出均分成三组，有

种分法，后发放给甲、乙、丙三人，有种方法，所以，共有种不同的方法。(2)先对9本书进行分组，分成2本3本4本的三组，共有=1260种，后发放给甲、乙、丙三人，甲得2本，乙得3本、丙得4本，所以共有=1260种。

(3)把9本不同的书均分给甲、乙、丙三人，先对9本不同的书作出5本2本2本的三组，有种分法，后发放给甲、乙、丙三人，有种方法，所以，共有种不同的方法。

(二)不定向分配问题

例39本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

(1)每人3本

(2)一人2本、一人3本、一人4本

(3)一人5本、一人2本、一人2本

解析：由于分配给三人，每人分几本是不定的,属不定向分配问题。因此，分配方法是：先分组再分配――先组合再全排列。

由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，因此，实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，但又不确定甲、乙、丙三个各分配多少，因此将分组方法数再乘以组数的全排列数即可。(1)(种)，(2)=7560(种)，(3)=2268(种).

变形练习：

8本不同的书，按照以下要求分组分配，各有多少种不同的分法?⑴一堆1本,一堆2本,一堆5本；⑵甲得1本,乙得2本,丙得5本；⑶甲、乙、丙三人，一人1本,一人2本,一人5本；⑷平均分给甲、乙、丙、丁四人；⑸平均分成四堆；⑹分成三堆,一堆4本,一堆2本,一堆2本；⑺给三人一人4本,一人2本,一人2本。

三、分组与分配的综合应用

例46个不同的小球，分给高一年级的3个班，每班至少一个小球，共有多少

种不同的分法？

解析：六个小球和高一三个班都有“归宿”，即球要分完，班级不能空手。因此，考虑先

组再分配。

先将6个不同的小球，先分成三组，有三类分法：(1)一组1个、一组2个、一组3个，则有（种）；(2)每组2个，则有（种）；(3)两组各1本，另一组4本，则有（种）。所以，++（种）。再考虑排列，分配到给高一三个班，有种方法。所以，共有种不同的方法。

变形练习：

1．把6个不同的小球放在编号为的三个盒子里，要求每个盒子都不空，共有多

少种不同的方法？

2．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？

3．有4间不同的房间,4人去住,恰有一间空着,有多少种不同住法种数？

4．6名旅客安排在3个房间，每个房间至少安排一名旅客，则不同的安排方法种数共有多少？

5．六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？

点评：在排列、组合中分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，对于不同元素的分配问题，要区分两点：一要在分组时区分是均分还是非均分或部分均分，二要在分配时要区分是定向分配还是非定向分。先分组再分配，可看成是有两步才能完成，一步是分组，二步是发放。对于定向分配，采用边分组边分配较为简便。这样对排列组合中的分配问题就更加明确，更加容易理解。

【参考文献】：

[1]人民教育出版社数学室编著.普通高中课程标准实验教科书(数学必3).北京：人民教育出版社，2004，7.

[2]章晓军.解题要善于捕捉隐含条件.中学数学，2001，3.

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