专题复习:函数

[编者按]我刊2009年9月~10月合刊、11月~12月合刊的数学栏目已为同学们复习了如下内容:数与式,方程(组),不等式(组),三角形、四边形,全等形和相似形,圆,概率与统计.“函数”部分历来是中考复习的重点内容,本期的“重点辅导”栏目和你一起对此进行梳理和解析.

函数是初中数学的核心内容.其地位和作用主要体现在如下两个方面:函数是最有效的与变化过程相关的数学刻画与表示,其本身的应用已极为广泛;初中数学的大多数问题,如方程问题、不等式问题、几何量的关系问题,特别是与运动相关的几何问题,都或明或暗与函数有关,可以说函数是“代数”的灵魂.

同学们在复习“函数”时,应整体把握知识间的内在联系,形成良好的知识结构图.现将知识结构框图列出:

要在理解的基础上熟记这四种函数的定义、图象和性质,正确熟练地掌握用待定系数法求函数关系式、用描点法画函数图象、用配方法求抛物线的顶点坐标及对称轴,要充分运用数形结合的思想研究解决有关函数的问题.

从考查同学们的学习水平来看,中考中函数的考查可以归纳为以下几方面:

一、直接考查函数的有关概念和性质

函数有关概念和性质是中考中重要的考查内容,对其考查都借助函数的图象来呈现.

例1(2007金华)一次函数y1=kx+b与y2

=x+a的图象如图,则下列结论①k0;③当x

A.0 B.1 C.2 D.3

分析:借助图象考查函数性质是中考的常见考法.对一次函数y=kx+b(k≠0)的性质要有透彻的理解,要明白k及b的几何意义,即k>0(k

例2(2007常州)若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如下,则a的值为().

A.-2 B.-■

C.1 D.■

分析:本题考查了函数两种表达形式之间的联系,实质上是考查函数图象与函数关系式中系数的关系,体现了“数”与“形”之间的联系.从图象上来看,函数图象经过原点,所以a2-2=0,再根据函数图象开口向上得a=■,选D.

例3如图,A、B是双曲线y=■的一个分支上的两点,且点B(a,b)在点A的右侧,则b的取值范围是.

分析:此题考查了反比例函数性质,由反比例函数图象知k>0,再根据性质得b

例4(2009包头)如图,已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=■的图象在第一象限相交于点A,与x轴相交于点C,ABx轴于点B,AOB的面积为1,则AC的长为 (保留根号).

分析:此题考查的重点是点与函数图象的关系,这里的点是以隐蔽的方式给出的.此题综合了三个知识点,即勾股定理、解方程组、反比例函数比例系数的几何意义.解决此题的关键是利用k的几何意义求出k=2.

略解:由y=x+1,y=■得x=1,y=2,x=-2,y=-1.(舍去)得AC=2■.

二、灵活考查函数关系式的建立和转化能力

对函数的三种表达形式(函数关系式、图象、表格)的理解及相互转化,是中考必考的内容,其考法丰富多彩,灵活多样.

a.考查对函数图象的理解

例5(2007镇江)一杯水越来越凉,则可以表示这杯水的水温T(℃)与时间t(分)的函数关系的图象大致是().

分析:此题考查了同学们对函数图象意义的理解,水越来越凉表明水的温度随着时间的推移越来越低,选D.解决此类问题需根据具体背景,从整体上把握两个变量之间的关系,并借助函数图象解释或验证两个变量之间的变化关系.

例6(2009黄冈)小高从家门口骑车去单位上班,先走平路到达点A,再走上坡路到达点B,最后走下坡路到达工作单位,所用的时间与路程的关系如图所示.下班后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致,那么他从单位到家门口需要的时间是().

A.12分钟 B.15分钟

C.25分钟 D.27分钟

分析:此题从定量的角度考查了同学们对函数图象的认识.解决此题的关键是弄清楚回程中走平路、上坡路、下坡路对应的速度不变,走上坡路、下坡路的路程发生了变化.选B.

b.考查利用图象表达函数关系的能力

例7(2009怀化)小敏家距学校1200米,某天小敏从家里出发骑自行车上学,开始她以V1的速度匀速骑行了600米,遇到交通堵塞,耽搁了3分钟,然后以V2的速度匀速前进一直到学校(V1

分析:本题以同学们的生活问题为背景,考查将实际问题转化为图象的能力.解决问题的关键是根据V1

例8(2009重庆)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,动点P从点B出发,沿路线作BCD匀速运动,那么ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是().

分析:解决此题的关键是通过点的运动,寻找运动中的不变量,进而建立函数式,再把函数关系转化为图象.注意点是要对BC、CD段进行分类讨论.在BC段的函数关系式是S=x,在CD段的函数关系式是S=1+■=■(x+1),应选B.

c.考查函数表达形式之间的转化能力

例9(2007常州)二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表:

二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=,x=2对应的函数值y=.

分析:本题以表格的形式将函数与自变量的对应关系呈现出来,重点考查同学们利用平面上的点之间的对应关系确定函数关系式的能力,同时也考查了二次函数的重要性质――“对称性”.解决此题的关键是明确纵坐标相同的点为“对称点”,由对称点很容易找到对称轴x=1,由对称轴找到横坐标为2的点的对称点为(0,-8),得y=-8.

例10(2007绍兴)绍兴黄酒是中国名酒之一.某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒,再将瓶装黄酒装箱出车间,该车间有灌装、装箱生产线共26条,每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图1、2所示. 某日8:00～11:00,车间内的生产线全部投入生产,图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况,则灌装生产线有 条.

分析:本题以三个函数图象呈现三种具体要求,对同学们的读图、识图能力,根据函数解析式进行转化的能力,以及运用一次函数的知识解决实际问题的能力都进行了重点考查.从图3中发现瓶装黄酒每小时增加100瓶,由此设灌装生产线为x条,则得方程650x-750(26-x)=100,解之得x=14,即灌装生产线有14条.

三、综合考查函数、方程与不等式之间的联系

函数与方程、不等式之间存在内在联系,求函数图象上点的坐标、根据已知条件求函数的解析式、确定函数的取值范围等等都要用到方程或不等式的知识,也都是基本的考试内容.

例11(2009武汉)如图,直线y=kx+b经过

A(2,1),B(-1,-2)两点,则不等式■x>kx+b>-2的解集为.

分析:本题以一次函数图象为载体,以读图、识图为前提,通过直线的位置关系,获得不等式的解集,较好地体现了一次函数、方程与不等式之间的关系.填-1

例12(2008南京)已知二次函数y=x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:

(1)求该二次函数的关系式;

(2)当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?

(3)若A(m,y1),B(m+1,y2)两点都在该函数的图象上,试比较y1与y2的大小.

分析:本题主要考查点:(1)考查了待定系数法,(2)考查了二次函数的最值问题,(3)考查了函数与不等式之间的联系,利用作差法来比较y1与y2的大小,或利用函数的性质来比较.

略解:易得(1)二次函数关系式为y=x2-4x+5.

(2)因为y=x2-4x+5=(x-2)2+1,所以当x=2时,y有最小值,最小值是1.

(3)因为A(m,y1),B(m+1,y2)两点都在函数y=x2-4x+5的图象上,

所以,y1=m2-4m+5,y2=m2-2m+2.

y2-y1=(m2-2m+2)-(m2-4m+5)=2m-3.

所以,当2m-3

当2m-3=0,即m=■时,y1=y2;

当2m-3>0,即m>■时,y1

四、灵活运用函数知识及思想方法解决问题

a.解决几何中的最值问题

例13(2007常州改编)已知,如图,正方形ABCD的边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上,AH=2,连接CF.

(1)设DG=x,用含x的代数式表示FCG的面积;

(2)求出FCG的面积的最大值和最小值.

分析:此题以几何、函数知识为背景,重点考查了同学们的逻辑推理与合情推理能力. 从当年考生的答题情况来看,此题是比较难的.

解决此题的关键是发现该几何图形中蕴含的对称性.同学们在几何学习中要善于感知图形的整体性质.

略解: (1)作FMDC,M为垂足,连接GE,

AB∥CD,∠AEG=∠MGE.

HE∥GF,∠HEG=∠FGE.

∠AEH=∠MGF.

在AHE和MFG中,又有∠A=∠M=90°,HE=FG,

AHE≌MFG.

FM=HA=2,即无论菱形EFGH如何变化,点F到直线CD的距离始终为定值2.

因此SFCG=■×2×(6-x)=6-x.

(2)由于点G在边DC上,因此菱形的边长至少为DH=4.

当菱形的边长为4时,点E在AB边上且满足AE=2■,此时,当点逐渐向右运动至点B时,HE的长(即菱形的边长)将逐渐变大,最大值为HE=2■.

此时,DG=2■,故0≤x≤2■.

而函数SFCG=6-x的值随着x的增大而减小,

因此,当x=2■时,SFCG取得最小值为6-2■;当x=0时,SFCG取得最大值为6.

b.解决生活中的应用问题

生活中的某些变量之间的关系,单凭文字描述不足以说清其变化的基本规律,而函数是刻画变量问题最为有效的数学工具,因此,借助函数模型能更清楚地认识变量之间的关系.

例14(2007厦门)某种爆竹点燃后,其上升高度h(米)和时间t(秒)符合关系式h=v0t+■gt2(0

(1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米?

(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.

分析:此题的背景贴合生活实际,又与二次函数知识相结合,充分体现了应用函数解决生活中的现象和问题的指导思想.解决第(2)题的关键是确定对称轴的位置.

略解:(1)-5t2+20t=15(0

(2)h=20t-5t2=-5(t-2)2+20.

当t=2时,爆竹达到最高点,所以在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,爆竹是上升的.

例15(2009烟台) 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台.为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.

(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围);

(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?

(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?

分析:此题是典型的以销售为背景的二次函数应用题.解决此类问题时应注意以下三点:(1)耐心读懂文字;(2)弄清问题背景;(3)分清数量关系,建立模型.

解:(1)根据题意,得y=(2400-2000-x)(8+4×■),

即y=-■x2+24x+3200.

(2)由题意,得-■x2+24x+3200=4800.

整理,得x2-300x+20000=0.解这个方程,得x1=100,x2=200.

要使百姓得到实惠,取x=200.所以,每台冰箱应降价200元.

(3)对于y=-■x2+24x+3200.

当x=-■=150时,

y最大值=(2400-2000-150)(8+4×■)=250×20=5000.

例16(2009青岛)某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式y1=-■x+36,而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示.

(1)试确定b、c的值;

(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式;

(3)“五・一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?

分析:此题与上例的本质相同,给出的情景不同.本题给出了函数关系式与图象两种形式,要处理的信息较复杂.最值问题需结合实际,利用函数的性质来解决,这是此题的新颖之处.

略解:(1)由题意:

25=■×32+3b+c,24=■×42+4b+c.解得b=-■,c=■.

(2)y=y1-y2

=-■x+36-(■x2-■x+■)

=-■x2+■x+■.

(3)y=-■x2+■x+■=-■(x2-12x+36)+■+■=-■(x-6)2+11.

a=-■

在对称轴x=6左侧y随x的增大而增大.

由题意x

最大利润=-■(4-6)2+11=■(元).

以上对近几年来中考中的函数试题进行了分析,同学们从中应该了解函数考查的主要目标了.从命题的角度来看:第一类试题是考查函数的基本性质,函数各种形式(关系式、图象、列表)之间的内在转换;第二类试题主要是数学建模问题(以生活中的实际问题或几何问题为背景);第三类试题主要利用函数作为“桥梁”沟通数学知识之间的内在联系,有较强的综合性.试题涉及的思想方法主要是“数”与“形”之间的相互转换.

从命题趋势来看,考查目标不会有所变化.函数的基本性质与基本概念的考查主要是采用填空或选择题的形式;中档题中主要考查函数基本性质及函数关系式的建立;在压轴题中函数试题有两类:(1)与实际问题有关,这是新课程倡导的理念之一;(2)以函数作为主干,加强数学知识之间的联系,综合考查同学们分析问题、解决问题的能力.