逻辑谜题的逻辑

摘要：美国逻辑学家斯穆里安的逻辑谜题系列著作是普及现代数理逻辑知识的著名作品，本文首先介绍了斯穆里安本人提出的一套“亚瑟与伯纳德谜题”的解答方法，然后从模态命题逻辑角度提出了一种一般解答方案并举例说明了该方案。

关键词：斯穆里安;逻辑谜题;命题逻辑;模态逻辑

中图分类号：B81 文献标识码：A 文章编号：

著名的逻辑学家雷蒙德・斯穆里安（Raymond Smullyan）出版了一系列关于逻辑谜题的书。《女人和老虎》是继《这本书叫什么？》之后斯穆里安第二本被翻译到中国的逻辑谜题著作，2010年出版后，于2012年又改名为《趣味小逻辑》重新出版。《这本书叫什么？》则由著名逻辑学专家康宏逵先生（1935-2014年）在1987年翻译出版，2011年重版。雷蒙德・斯穆里安生于1919年，至今年届九旬，是世界著名的数学家、逻辑学家和哲学家，还是一个钢琴演奏师和舞台魔术师。1957-1959年，他在普林斯顿大学师从国际符号逻辑学会（1936年建立）第一任主席阿伦佐・丘齐（Alonzo Church，1903-1995），获得博士学位。他先后在芝加哥大学的罗斯福学院教授钢琴，在达特茅斯大学教授数学，在普林斯顿大学、印第安纳大学、纽约城市大学的雷曼学院和研究生中心教授哲学和逻辑，后来又回到印第安纳大学，应聘为奥斯卡・尤因哲学教授，最后在那里荣誉退休。他撰写了23本书，其中6本是学术专著，17本是通俗著作。

一、问题缘起

《这本书叫什么？》书名全称为《这本书叫什么？――奇谲的逻辑谜题》，《女人和老虎》的全名则为《女人和老虎：以及其他逻辑谜题》。它们（和斯穆里安其他所有逻辑谜题著作一样）都包含了一系列赏心悦目的问题，有悖论，有元谜题，有数字练习，有组合型的脑筋急转弯，以及许多其他东西，它们都和当代逻辑和数学理论的重要概念相关。这些谜题的范围广阔，既有最简单的“老掉牙的故事”，又有最为智慧的复杂故事。无论是对于聪明灵巧的中学生来说，还是经验老到的数学家、逻辑学家或者理论科学家来说，还是任何其他类型的谜题爱好者，这些书都会为读者带来理智的愉悦。

斯穆里安教授和他的两本汉译著作书影

在引进这些“带来理智的愉悦”的著作时，我并不知道有没有人曾经深究过它们那些“赏心悦目的问题”的解答方法。康宏逵先生在译本《这本书叫什么？》的“译者的话”中说过，“谜题总共二百来道。难易相间，但全部是不需要任何逻辑预备知识就能求解的;甚至不需要什么大不了的能力，会用命题逻辑里最初等的推理方法，足矣。不外乎直接证法、间接证法或归谬法、分情况证法或穷举法，学过初中几何的都会。偶尔用上量词逻辑，也是浅显的常识，诸如‘至多有一个’的反面是‘至少有两个’之类。”[2]1但是，为这些谜题提出一些具有普遍性的解答方法应该是一件有意思的事情，我们要做的就是这个工作，以引起读者对这些谜题、甚至对于逻辑这门学科有进一步的兴趣。

所有这些谜题大致可以划分为两大类：第一类与真、信念、撒谎等概念有关，第二类处理的是自指、循环和哥德尔不完全性定理。我们以《女人和老虎》一书为主研究第一类谜题，但是所提出的方法应该可以推广到其他谜题当中。

二、命题逻辑方案

本节介绍斯穆里安本人以经典命题逻辑为基础提出的一个解答方案。

在斯穆里安的这些逻辑谜题书中，他喜欢用消遣式的逻辑谜题把重要的数学思想介绍给读者。近年来在私人交往中，斯穆里安教授认为他最钟爱的逻辑谜题类型是那些称之为“元谜题”的一类。这类谜题中最简单的一种是，给读者一个谜题，但不给足解答它的信息。然后，读者被告知，某个头脑可靠的人得到一些额外的信息之后就会解答。得知这个头脑可靠的人能解答，读者现在也就可以解答出来了。

比方说，在有个岛上，居民可以分成两种类型，T和F。类型T中，每一个人说的话都是真的，而类型F中每个人说的话都是假的。一个头脑可靠的人拜访这个岛时，遇到两个叫亚瑟和伯纳德的本地人。访客问亚瑟，他俩是否都属于类型T，亚瑟也回答了（当然他只回答“是”或者“不”）。这个时候，读者还无法知道他俩究竟属于哪种类型，因为读者并不知道亚瑟回答的是什么。但是，现在书中告诉读者，那个头脑可靠的人在听了亚瑟的回答之后就能确定这两个居民究竟属于哪种类型！得知这一点之后，读者现在就有了足够的信息来解答这个究竟谁属哪个类型的谜题，而且无需读到随后的答案就知道了亚瑟的回答是什么。

一种稍微难一点的元谜题走得更远一点。谜题还是那种信息不足以解答的谜题，而且读者也知道了有个头脑可靠的人知道了这一信息，但是读者现在并未告知这个头脑可靠的人是不是可以解答出这个谜题。不过，所有这些情况都被第二个头脑可靠的人得知，而且这个人被告知是否第一个头脑可靠的人可以解答它。根据这一点，第二个头脑可靠者可以解答出来。得知所有这些之后，读者现在也可以解答出来！

的确，斯穆里安的一些元谜题并没有走这么远，它们散布于《幻境中的爱丽丝》或《女人和老虎》这些书中。斯穆里安本人提出了一套“亚瑟与伯纳德谜题”的解答方法，征得他的同意，我们简单述介如下。

需要考虑四种可能的情况：

①亚瑟和伯纳德都属于类型T;

②亚瑟属于T而伯纳德属于F;

③亚瑟属于F而伯纳德属于T;

④两人都属于F。

在每一种情形之中，亚瑟给出的回答分别是什么呢？

①在这种情形中，因为两人都属于T，作为T中的成员，亚瑟诚实地回答“是”;

②在这种情形中，因为两人并非都属于T，亚瑟诚实地回答“不”;

③由于两人并非都属于T，作为F中的成员，亚瑟虚伪地回答“是”;

④类似地，亚瑟回答“是”。

这样一来，亚瑟在第二种情形中回答“不”，而在其他三种情形中都回答“是”。如果亚瑟回答的是“是”，那么访客无从知道选三种情形中的哪一种，而由于我们被告知访客真的知道结果，那么他一定是听到了回答“不”，由此知道情形2成立。所以，亚瑟属于类型T而伯纳德属于类型F。

三、模态逻辑方案

本节提出一套模态逻辑的方案以就教于读者。给定一个谜题，选定某个恰当的逻辑语言，以基于分离规则的经典命题演算CnCPC的后承算子为基础，我们设计一个后承算子Cn作为它的保守扩张，然后观察Cn的定理集合，看看它是否包含某些公式（通常是命题常项）。一般情形下，Cn的扩张都是通过定义的扩张，增加的是我们所考虑的情境的公理，例如某个对话的翻译。

我们的语言记为L，这个语言由通常的命题演算语言添加两类符号而得：

① 无穷多个命题常项Tx（解释为：X是说真话者）、Fx（解释为：X是说假话者）、Sx（解释为：X是正常人），等等;

②无穷多个模态联结词XX（解释为：X说……）、X（・）（解释为：X确信……），等等。这里的X = A，B，……，等等。

此外，我们假定L包含模态联结词B（…），意思是说“对……的正确回答是Bal”，以及无穷多的模态联结词X XB（…），意思是说“X对问题……的回答说Bal”。B（truth）直接简写为B;因此B的意思是说“Bal指的是‘是’”。如果需要，L还可以包含其他符号。Bal指的是“呗”，与“嗒（Da）”相反，都是指“是”或者“不”，但究竟哪个指的是哪个则并不知道。[2]语言L中所有公式的集合记为Form（L）。

下面定义语言L中的一些公式集合，这些公式作为公理把CnCPC扩张到所需要的后承算子。令Cnl（X） = CnCPC（X ? Xl），l?{vampire，normals，KK，zombie}，其中： Xvampire = {Tx ? ?FX} ? {XX a ? （TX ? X（a））} ? {X（a） ? （SX ? a）} Xnormals = {?Tx ? ?FX} ? {XX a ? （TX ? a） ? （FX ? ?a） XKK = {Tx ? ?FX} ? {XX a ? （TX ? a）} Xzombie = {Tx ? ?FX} ? {X XB（a） ? （TA ? X（B（a）））} ? {X（a） ? （TA ? a）} ? {B（a） ? （B ? a）}

以上出现的X = A，B，C，…，a ? Form（L）。

现在，解答一个谜题就归约为考虑什么属于Cnl（Xpuzzle），其中Xpuzzle ? Form（L）

以下内容是对第四章第2个例子“卢格西兄弟的案子”的一个分析。我们先了解这个例子的背景。

特兰西瓦尼亚居住着吸血鬼和人，吸血鬼总是撒谎而人总是讲真话。但是包括人和吸血鬼在内的一半居民都是神智错乱的，而且就像塔尔博士和费舍尔教授的疯人院里面的疯狂居民一样，完全沉溺于他们的信念之中――所有他们信以为假的都是真命题而所有他们信以为真的都是假命题。另一半居民则是完全神智健全的，并且正如第三章的疯人院当中神智健全的居民那样，他们的判断完全正确――所有他们知其为真的都是真命题而他们所有知其为假的都是假命题。当然，特兰西瓦尼亚的逻辑远比那些疯人院的逻辑复杂得多，因为在那些疯人院里面，居民至少都是诚实的，他们作出虚假陈述仅仅出于错觉而从来不会出于恶意。但是当一个特兰西瓦尼亚居民作出一个虚假陈述的时候，要么出于错觉要么出于恶意。神智健全的人和神智错乱的吸血鬼所作的陈述都是真实的，而神智错乱的人和神智健全的吸血鬼所作的陈述都是虚假的。例如，如果你问一个特兰西瓦尼亚居民地球是不是圆的（而不是扁的），一个神智健全的人知道地球是圆的并且会如实地回答。一个神智错乱的人相信地球不是圆的，并且会如实地表达他的信念而说它不是圆的。一个神智健全的吸血鬼知道地球是圆的，但是他却会撒谎而说它不是圆的。但是一个神智错乱的吸血鬼相信地球不是圆的，就会撒谎说它是圆的。因而一个神智错乱的吸血鬼和一个神智健全的人在回答说任何问题的方式上都是相同的，而一个神智错乱的人和一个神智健全的吸血鬼相同。

“卢格西兄弟的案子”的具体内容如下。卢格西兄弟的名字都叫贝拉，一个是吸血鬼而另外一个则不是。他们做出了以下陈述：

大贝拉：我是人。

小贝拉：我是人。

大贝拉：我的弟弟是神智健全的。

我们想要知道，哪一个是吸血鬼呢？

作为说真话者就意味着做出一个自己相信的陈述――并不一定为真，因此，X说a就等值于TX ? X（a），其中X（a） ? （SX ? a）。我们的任务就是检验集合 {#X} ? {?#X}

中的哪些元素在Cnvampire（Xpuzzle）中，其中 X = A，B # = S，T Xpuzzle = {A X TA，B X TB，A X SB，TA ? ?TB}

我们有 TA ? A（TA） TB ? B（TB） TA ? A（SA） TA ? ?TB ? Cnvampire（Xpuzzle）

因此， TA ? SA ? TA TB ? SB ? TB TA ? SA ? SA ? Cnvampire（Xpuzzle）

由上可以推出SA、SB、TA、?TB ? Cnvampire（Xpuzzle），因此我们可以推出两兄弟都是健全的，大贝拉是人类，小贝拉则是吸血鬼。[1]58

四、结语

著名哲学家赵汀阳研究员对《女人和老虎》等逻辑谜题著作的出版做了热情的推介。他认为，“有两种有趣的语言游戏都能让人快乐：一种是迎合人们心中愚蠢念头的搞笑，比如肥皂剧、低级笑话、小品和电视语言，人们在那些没有智力水平的笑话中肯定了自己的愚蠢，从而获得认同的快乐;另一种是开启人们心中智慧的逻辑和幽默，人们通过分享逻辑和幽默的智力成就而肯定了自己的智慧，雷蒙德・斯穆里安的书属于后者。”这些同样“带来理智的愉悦”的话，一方面体现了赵先生对逻辑这门学科的喜欢，另一方面则体现了他对这些译介工作的肯定和厚爱――这既是我们继续译介斯穆里安所有其他作品的动力之一，也是从技术上研究斯穆里安这些工作的动力之一。

参考文献：

[1]斯穆里安.女人和老虎：以及其他逻辑谜题[M].胡义昭译.重庆大学出版社，2010.

[2]斯穆里安.这本书叫什么？――奇谲的逻辑谜题[M].康宏逵译.上海译文出版社，

1987.

作者简介：刘新文（1972-），江西莲花人，哲学博士，中国社会科学院哲学所研究员，逻辑学研究室主任，主要研究图式逻辑、模态逻辑、证明复杂性理论、皮尔士逻辑与哲学、拉姆齐哲学等。