高数函数有界性的判断范文

高数函数有界性的判断篇1

【关键词】分段函数；导数；不定积分；定积分

分段函数在经济应用数学中是一种常见的函数，往往有很多实际问题可以用分段函数来表达，而在问题的分析过程中常常用到分段函数在分段点的连续性与可导性，这些正是学生感到头疼的问题，本文对分段函数在分段点的一些问题做了些讨论，给出一些新的方法并加以论证。

一、分段函数在分段点的连续性

根据函数在一点连续的定义，即函数在点的领域内有定义，如果，则称在点连续。因此对于分段函数判断在分段点的连续性必须三步完成：①判断分段点处是否有定义：②判断在分段点处的极限是否存在：③判断极限是否等于该点函数值。

例1：讨论分段函数：

在处的连续性。

解：，而：

因此，所以函数在处的连续性。

例2：设函数：

试研究在处的连续性。

解：

所以在处不连续。

而当时分段函数在某一区间内一点时，则在处的连续性问题成为初等函数的连续性问题，即由初等函数在其定义区间内都是连续的知在处连续。

二、分段函数在分段点的可导性

任何一本高等数学教材在给出了定义之后，都给出了可导的必要条件，即“可导必连续，但连续不一定可导。”这一条件的另一说法是：在一点不连续一定在该点不可导。

因此，对于分段函数，讨论它在分段点处的可导性一般分为两步：

1.若在点不连续，则它在点一定不可导；

例如：

讨论是否存在。

因为；而，，所以函数在在不连续。故可知不存在。

2.若在点连续，且在点的左、右导数都存在且相等，则在点可导。

对于这种情形左、右导数用定义一般可计算。

设，求。

解：

由于=1，所以=1。

其实对于第二步中，若函数满足一定的条件，可不必用定义去计算，对此介绍如下事实。

定理：设函数在连续，且在区间可导，若存在，则存在，且。

证明：任取一点，由于在连续，在区间内可导，所以在上连续，在内可导，由微分中值定理，存在，使得：

从而有：

由题设知存在，所以右导数存在，且。

同理可证得：设函数在连续，且在区间可导，若存在，则存在，且。

本定理的意义在于在连续区间的左、右端点的导数，等于导函数在左、右端点的右、左极限值，仍是把求导问题转化为函数的极限问题。

利用该定理可解决分段函数在分段点的导数问题比用定义要简单得多，比如以上例3可用此定理这样解，因为：

，，

即说在连续。

由于：

所以：，

由如上定理可知，，从而。

三、分段函数的不定积分

我们先看例子。

例3：设，求。

解：先分段求原函数（去掉分段点）：

再考虑分段点的情形：由于是的第一类间断点，是的连续点，因此的不定积分只能分别在区间和内得到：

令，解得：。

因此：

其中：是两个独立常数。

例4： 求。

令，则：

设为的一个原函数，则有：

（下转第70页）（上接第53页）

其中：，，为待定常数。

因为原函数连续，故：

求分段函数的不定积分时，应分别求出函数的各个分段在相应区间内的不定积分，然后考察被积函数在分界点的连续性。如果连续，那么在包含该点的区间内原函数存在，这时只要根据原函数的连续性，求出积分常数即可；如果分界点为被积函数的第一类间断点，那么包含该点的区间内部存在原函数。

因此，如果一个函数存在间断点，那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数，所以在求分段函数的不定积分时，一定要注意考虑间断点处的情况。

四、分段函数的定积分

对于分段函数的定积分一般教材中介绍很少，学生对于这类问题一般很生疏，往往不知道如何下手。解决这类问题的关键是如何根据被积函数，将定积分化为若干个一般函数的定积分。

例5：设，求。

解：令，则：。

由于正在[-1，1]上，的表达式不同，根据定积分的性质：积分对区间可加性，将定积分分成[-1，0]和[0，1]上的两个定积分计算，所以：

=

综上所述，对于分段函数的相关问题是比较复杂的，涉及的知识面比较广，综合性强。本文对分段函数在分段点处的各类问题作了一些的讨论，对于提高知识运用的综合能力是很有帮助的。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]周冬林.分段函分界点有关问题的讨论[J].河南科技学院学报,2006(1):137-139.

高数函数有界性的判断篇2

例如，“函数的单调性”是一个经典的教学内容，但当前一线高中的教学中，下述现象还是屡见不鲜：  

①只教学生看图，理性上没有提高；  

②缺乏单调性概念的形成过程，教师总是“迫不及待”地想教给学生单调性的符号表示；  

③单调性教学中的图形语言、自然语言、符号语言之间的转换生硬、不自然；  

④说明单调性的例子太简单，不能调动学生的思维；  

⑤单调性的概念，除了在高一第一学期函数的课堂上外，其余时间都没出现过；  

⑥初次讲授函数的单调性时，讨论诸如等难度较高的函数，讨论有关复合函数增减性的结论；  

⑦本质上与函数单调性相关联的内容中，没有单调性应用的影子；  

⑧导数定义与函数单调性定义没有关联；  

⑨用导数判断函数的单调性时，重程序轻分析.  

上述现象的产生，都是因为没有将函数单调性这一内容放在高中数学课程这一整体中考虑导致的.  

那么，给定具体内容，为了做到站在系统的高度，整体把握教学，教师应该从哪些方面来加以考虑，以及具体应该怎样操作呢？下面本文以“函数的单调性”这一内容为例尝试做一粗浅的分析.  

一、内容的地位与作用  

首先，教师对所要讲授内容从学科上要有整体的把握，要清楚内容与前后知识的联系，了解知识的学科地位与作用.做到了这一点，就能确保教学时主线清晰.  

1.内容的学科地位  

自1904年克莱茵主张中学数学教学应以“函数概念”为中心以来[3]，函数一直是各国中学数学的核心内容.在大学数学课程中，函数更是主角，只是在不同的时期，对函数认识的定位不同、要求不同.  

正如课标中指出的：“函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数 的思想方法将贯穿高中数学课程的始终.”函数描述变化规律时，主要体现之一就是函数的单调性，因此函数的单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基 本、最重要的性质.函数的单调性决定了函数图象的基本形状，反映出了变化的基本规律.清楚了一个函数的单调性，中学阶段函数的很多性质也就一目了然了，如 函数的极值和最值（包括函数在某一给定区间上的值域）等.正因为如此，高中阶段在学习每一个具体的函数时，考查其单调性都是必不可少的内容.  

2.课标要求  

课标在必修阶段和选修阶段都对函数的单调性提出了具体的要求.  

首先在数学1函数概念部分，提出要“通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义”，然后在指数函数和对数函数的部分 提出了要研究它们的单调性，接下来在数学4的三角函数部分，要求理解正弦函数、余弦函数的单调性，最后在选修1-1和选修2-2分别提出了要“利用导数研 究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间”.  

不难看出，对于函数的单调性这一内容，课标给出的要求是递进的：从简单的函数归纳出单调性的定义，借助指数函数、对数函数、三角函数等进行巩固，最后达到用导数得出函数单调性、然后研究其性质的高度.  

3.国外中学课程的要求  

函数的单调性这一内容，在各国中学数学课程标准或教学大纲中都有所涉及.下面仅对法国数学教学大纲中的单调性内容做一个简单的介绍[4][5].  

法国高中使用的是统一的数学教学大纲，高一学生共用一个大纲，高二开始文学和经济社会专业共用一个数学大纲（本文简称文科大纲），自然科学专业用一个大纲（本文简称理科大纲）.  

法国高一年级大纲在函数内容中指出：“研究函数的量为增函数、减函数、区间上函数的最大值、最小值.”目标中指出：“用语言或数据给出变化趋势后，能比 较区间上两个数的象，确定比给定的象大（或小）的所有象的原象.”注释中指出：“递增函数、递减函数的正式定义要逐渐给出.本学年末的时候要掌握.”在高 一后续函数的推广中，主要研究了一次函数和二次函数，并要学生了解它们的变化趋势.  

法国高中二年级理科和文科，内容都有三次多项式、导数，要求学习导数的符号和单调性的联系，函数的极值.目标是依据导数的符号判断简单函数的性质.理科大纲的注释中特别指出：“利用导数判断函数的单调性并不一定有效.”  

法国高中三年级文科大纲，要求讨论指数函数、对数函数的增减性，导数与函数增减性、凸性、拐点（主要研究的拐点）等关系.  

法国高中三年级理科大纲，有递增数列、递减数列的内容，为数列极限做准备；也有指数函数、对数函数的增减性；还有函数的连续性与介值定理.而且，对于正的单调函数，要能确定积分的上界和下界.  

不难看出，法国高中数学教学大纲中，对于函数的单调性要求比我们的要高，有关教学的要求也更具体更细致一些，但总的来说，遵循的还是一个递进的原则，只是时间跨度比我国课标规定的长.  

4.内容的作用  

 

函数单调性间接的应用有：证明有关不等式，判断数列是递增数列还是递减数列，研究函数的零点信息等.  

5.高考考查的要求  

函数的单调性是高考每年必考的一个内容之一.教育部考试中心编制的考试大纲里对单调性的要求与课标基本一致，但各省市的高考说明对此进行了细化，例如北 京市2014年的高考说明中，函数的单调性与最大（小）值的要求层次是C（掌握：“对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有 关问题.”）[6].  

二、函数单调性的教学分析  

在整体掌握了内容的特点之后，接下来应该进行内容的教学分析，这可以从内容本身的教育特点、内容的教育价值、学生已有的基础等方面进行.  

1.内容的教育特点  

函数单调性的教育特点可以归结为以下几点.  

（1）刻画变化的快慢可以从两个角度来认识  

函数的单调性，从数的角度看，反映的是当自变量增加时，函数值是增加还是减少，即某个范围里函数值的变化；从形的角度看，就是研究函数图象走势的变化规律，即是上升还是下降.  

（2）有“动静结合”的特点  

 

事实上，数学中利用类似的“任意”“恒成立”等来实现“动静结合”，是常见的一种方式.  

可以研究函数单调性的导数定义也是如此：当自变量趋向于某一个特定的点是动态的，而函数在给定区间上的平均变化率或者说截线的斜率是静态的.  

（3）图形语言、自然语言和符号语言之间的转化及其重要  

函数的单调性，最直观的也是最简单的方法当然是观察函数图象的上升或者下降的趋势直接得出，这也就是单调性的图象语言；将图象语言表示成自然语言，就是 要判断函数自变量增大时，函数值到底是增大还是减少，这是求函数极值和最值的关键；而把自然语言用符号语言来表示，从而达到利用符号语言来判断函数的单调 性的目的，是学习函数单调性的根本目的之一.  

不难看出，上述函数单调性的从图形语言到自然语言最后到符号语言的过程，是一个难度逐渐加 大的过程，也是单调性这个概念逐步深化的过程.因此，从教学的角度而言，从图形语言到自然语言和符号语言的过渡是教学中的重点和难点.这一过渡，一般来说 可以用“图形反映出的这种变化趋势用语言或数学符号该怎么描述”来完成，但是这样的处理方式，容易让学生产生“多此一举”的想法——既然用图形可以判断， 何必还要用语言或符号来表示呢？因此，这一过渡最好是采用能让学生意识到有必要这样做的方式来完成.  

 

另外，值得注意的是，在后续学了利用导数来研究函数的单调性之后，我们总是先用导数得出函数的单调区间，然后再将有关信息转化为函数的图象（或草图），最后得到函数的极值、最值等信息的.  

（4）包含有全称量词的内容  

首先应该注意到，函数单调性的定义并不唯一.  

 

但是在实际教学中，差分符号的出现虽然有助于学生想到做差法，但是这个符号的出现总显得有些突兀，学生理解起来也有一定困难，因此教师往往都是采用第一种定义来教学的.  

 

（5）复合函数单调性的判断  

虽然课标对复合函数的要求并不高，但数学4中正弦型函数单调性的得出本质上还是要借助复合函数单调性的判别法则：如果f（g（x））有意义，那么 f（x）与g（x）同是增函数或同是减函数时，f（g（x））是增函数；f（x）与g（x）一个是增函数另一个是减函数时，f（g（x））是减函数.  

 

2.学情分析  

与函数单调性有关的学生情况大致有以下几点.  

（1）初始函数单调性  

学生在正式学习函数单调性的定义时，刚进入高中没有多久，虽然已经学习过集合这一章的内容，但是应该说还是没有完全适应高中数学的学习方法的.  

学生在学习小学和初中数学时，习惯使用的是归纳法，有关等式的成立或函数的性质等都是从图形上观察和总结出来的.高中数学更讲究理性，有关结论往往需要严格的说理.因为现有的高中数学的集合一章不包含逻辑的知识，也没有诸如求证（A∩B）（A∪B）的题目出现（类似的知识也是归纳或总结出来的），因此学生在学完集合的内容时并不能体会到高中数学的学习特点.  

从这一意义上来说，函数单调性的形式化表示是学生进入高中阶段以来所碰到的第一个理性化要求较强的内容，因此虽然学生可以利用前面已经学过的一次函数、 二次函数、反比例函数等来理解函数单调性中的形式化，但是要完全理解其中的“任意”或者“恒成立”等，还是需要教师引导，以及时间和实践的.  

 

（2）以基本初等函数为载体感知函数单调性  

按照课标的安排，在学习完函数的概念与性质之后，接下来学生要学习一些具体的基本初等函数，数学1中有指数函数、对数函数、幂函数，数学4中有三角函数，每一类函数都涉及单调性.  

虽然高中阶段一开始就提出了函数单调性的严格定义，明确了证明一个函数是增函数或减函数的方法，但在后续学习指数函数、对数函数时，它们的单调性都还是 依照初中数学的方法得出的——即是通过观察图象和归纳得出的.也就是说，相关内容的学习侧重的是单调性的图形语言和自然语言.之所以这样，当然是限于学生 已有的知识范围，无法用单调性的形式化语言给出严格的证明.  

 

数学4中三角函数的单调性，也是通过观察图象得出的，学生此时对这一方法的掌握应该已经是得心应手了.但值得注意的是，这里的正弦型函数的单调性中，要 用到复合函数单调性的判断方法——这对于学生来说是全新的.前面所说的两种处理复合函数单调性的办法，应该根据学生的基础进行选择.  

另外，在这一阶段的学习中，判断自变量取值的相对大小时，用到了函数的单调性，是学生容易忽略的.在解有关指数不等式或对数不等式时，例如前述的已知判断x与y的相对大小，其中用到了指数函数的单调性，但因为是逆向使用，严格的说理要用到反证法，因此这是教学过程中的一个难点.  

（3）以导数为载体理性认识函数单调性  

在选修阶段学习导数定义并利用导数判断函数单调性时，学生已经了解了多种具体函数的单调性，也应该已经熟悉了函数单调性的简单应用.  

但是，先得出函数的增减区间，然后由此作出函数的草图，最后研究函数的性质（极值、最值、零点的个数等），这一函数单调性的综合性用法，学生此时是第一次接触到.  

3.函数单调性的教育价值  

由以上分析不难看出，函数单调性的学习，有利于学生熟悉高中数学的学习特点，培养他们的图形语言、自然语言、符号语言之间的相互转化能力，养成局部思维与整体思维相结合的习惯，发展抽象概括能力、归纳总结能力、恒等变形能力、分析能力等，最终提高他们的数学思维能力.  

三、内容的实际教学安排  

在对内容有个整体的理解，并作了详细的教学分析之后，就可以根据教学规律、站在系统的角度统筹安排有关内容的教学了.具体到函数单调性的教学，一些关键点如下：  

讲授函数单调性的定义时，教学重点要放在从单调性的图形语言过渡到自然语言，然后把自然语言翻译成符号语言，要注意借助学生已经学习过的一次函数、二次 函数来理解函数单调性的定义，具体来说要让学生掌握用符号语言证明一次函数、二次函数和类似的简单函数的单调性，让学生知道利用单调性可以求出函数最大、 最小值.将讲述函数单调性的定义时，可以采用类似人教A版教材中的玻意耳定律（k为正常数）等，让学生体会单调性在其他学科中的应用.  

 

数学4正弦函数、正切函数的单调性，通过单位圆或对应的图象得出.讲授复合函数单调性的判别方法（对数学基础还不是特别牢固的学生，应该用自然语言；而 对基础比较好的学生，应该用符号语言证明，并配以自然语言理解），并由此得出正弦型函数的单调性.还要让学生理解三角函数的单调性与周期、对称轴的关系.  

在讲解不等式、数列等有关内容时，要注意渗透函数单调性的应用，包括构造函数，利用单调性判断不等式是否成立，判断数列的单调性等.  

选修阶段讲解导数的定义时，要注意将导数的定义与函数的单调性判断联系起来，应该借助导数让学生重新理解初等函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数 函数、三角函数等）的单调性，并在此基础上让学生初步了解用导数判断函数单调性、做出函数草图、分析函数性质的办法.另外，利用导数判断函数单调性时，应 注重分析和引导，要讲清楚为什么要对给定的式子变形。  

高数函数有界性的判断篇3

一个概念的形成是螺旋式上升的，对新概念的教学不仅是对结果的记忆，更是对方法和过程的探究。在函数教学上，从概念的具体问题出发，从集合的概念引出函数是一种对应关系，进一步把握其实质。引导学生经历了一个完整的数学概念发生、发展的探究过程。提出问题、观察归纳、概括抽象、拓展概念让学生充分经历了具体到抽象、特殊到一般、感性到理性、直观到严谨的知识再发现过程。教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者，创设机会和空间，激活学生思维的最近发展区，倡导学生积极参与，自主探究，发现知识，从而培养能力。

一、函数概念教学的过程

1.背景引入：用集合，对应语言定义函数问题。让学生举几个初中学过的函数的例子，通过举例回顾“变量说”。根据学生所举例子，引导他们分别用解析式、图表、格式表示对应关系的函数。

2.概括共同本质特征得到概念本质属性：让其他学生思考上面学生举出的例子是函数的例子吗？理由是什么？结合前面学过的集合，让学生试着用集合和对应的语言描述函数的概念，从而获得函数概念的新认识，最后归纳出准确的函数数学语言描述。

3.概念辨析，以实例为载体分析关键词：让学生分析函数概念的关键词有哪些？如何理解？

函数概念的核心是对应关系，两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f，则对于数集A中的每一个x，数集B中都有唯一确定的y与它对应。这里的关键词是每一个，唯一确定，集合A，B及对应关系是一个整体，是两个集合的元素间的一种对应关系。

4.用概念作判断，形成判断的基本规范：认识函数y=x2的定义域，值域，对应关系。让学生说出函数y=x3指的对应关系是什么？能用一个具体背景说明这一对应关系吗？

二、为了加强对函数概念的理解与巩固，对定义内涵的阐明

1.函数中x，y的对应变化关系：可以通过具体实例让学生体会变量间的对应关系，使所有的函数都有解析式，由此加深对函数“对应法则”的认识。

2.函数的实质：每一个x值，对应唯一的y值，可列举具体函数讲解：y=x2，y=2x，y=2都是函数，但x，y的对应关系不同，分别是二对一，一对一，多对一，加深学生对函数本质的认识，再通过几何画板画出图象来显示，并非随便一个图象都是函数图象，让学生加强对函数本质的认识，让学生充分体会函数图象上反映的函数的本质。给学生一个深刻、直观的认识。

3.定义域，值域，对应法则构成函数的三要素：三者缺一不可，特别要强调定义域的重要性，让学生比较函数y=2x，y=2x∈［-1，2］，y=2x（x∈N）是否是相同函数，分别求函数的值域，结合图象分析，强调解析式相同但定义域不同的函数不是相同函数。

三、运用函数概念进行判断常会出现的错误

概念的运用是概念教学的重要环节，它需要通过运用、沟通概念之间的各种联系，不断激活概念网络，使之不断扩展、修正、完善、发展，达到对概念的真正理解。学生运用函数概念进行判断时，经常会出现以下错误：

1.特殊代替本质。学生对解析式形式的函数奇偶性和单调性的认识比较深刻，但对于抽象函数的认识往往是薄弱的甚至是空白的。比如：已知x，y∈（-2，2），都有f（x）+f（y）=f（x+y），试判断函数的奇偶性，很多学生认为若函数f（x）满足f（x）=0，则函数为奇函数，还有学生认为在定义域内求特殊值使得f（x0）=-f（x0），则可判断函数的奇偶性，学生对函数奇偶性的理解还停留在具体的特征阶段，未上升到抽象本质概括阶段。

2.对概念外延把握不当，缺乏整体认识。比如在函数奇偶性的学习中，学生基本都会用f（x）与f（-x）的关系来判断，却常常忘记了函数的定义域关于原点对称，例如在判断函数f（x）=■+■的奇偶性时忽略了定义域的判断。

3.定义名称符号之间的本质联系不能准确把握。学生不知道概念名称所代表的实质内容和概念的形成过程，往往只是与某些具体的表征形式相联系，而不是概念本身，最典型的是学生对分段函数概念的理解，多数学生在初学阶段分不清分段函数是一个函数，还是几个函数，定义域是各段的并集还是交集，学生对分段函数定义的理解和运用确实是一个难点。

4.缺乏概念间的联系。学生缺乏已有概念间的联系，在建立有关新旧概念间的联系时，缺乏对新概念的理解。如高一中有这样一道题：在实数的原有运算中，定义新运算“？茌”如下：当a≥b时，a？茌b=a；当a＜b时，a？茌b=b2，则函数f（x）=（1？茌x）x-（2？茌x），x∈［-2，

2］，最大值为_____。难以在旧概念基础上建立新概念的理解。

在新教育理念的指引下，从理论高度审视了我们的教学，此

次教学充分体现了以学生的发展为本，不是教教材而是用教材教；教学中不是重结论，而是重过程和方法；教学中更多的是采用探究、交流，现代多媒体直观演示的方式；这样的设计符合学生认知规律，促进了个性化学习，更好地实现了教学目标。教师在教学中以先进的教学理念为指引不断探索新思路，不断改革创新，用教师的启迪和激励，换来学生源源不断的思维活水。教育需要理性的顿悟，灵性的升发。通过我们对教学不断地反思与探索，使我们的教学水准向更高的方向发展。

高数函数有界性的判断篇4

【关键词】二分法 单变量 非线性方程收敛性 误差

一、引言

在科学研究与工程技术中常会遇到求解非线性方程f(x)=0的问题。而方程f(x)是多项式或超越函数又分为代数方程或超越方程。对于不高于四次的代数方程已有求根公式,而高于四次的代数方程则无精确的求根公式,至于超越方程就更无法求其精确解了。因此,如何求得满足一定精度要求的方程的近似根也就成为了我们迫切需要解决的问题。近年来,随着数学科学研究的不断进展,又更新了许多方程求解的方法。我们知道,对于单变量非线性方程f(x)=0,一般都可采用迭代法求根,由此产生了二分法。

二、二分法

一般地,对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。

解方程即要求f(x)的所有零点。

先找到a、b,使f(a),f(b)异号,说明在区间(a,b)内一定有零点,然后求f[(a+b)/2],现在假设f(a)0,a

①如果f[(a+b)/2]=0,该点就是零点,

如果f[(a+b)/2]a,从①开始继续使用中点函数值判断。

如果f[(a+b)/2]>0,则在区间(a,(a+b)/2)内有零点,(a+b)/2=>b,从①开始继续使用中点函数值判断。

这样就可以不断接近零点。

通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法,使区间的两个端点逐步迫近函数的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法。

给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

1.确定区间[a,b],验证f(a)•f(b)

2.求区间(a,b)的中点c.

3.计算f(c).

(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点;

(2)若f(a)•f(c)

(3)若f(c)•f(b)

4.判断是否达到精确度ξ:即若┃a-b┃

由于计算过程的具体运算复杂,但每一步的方式相同,所以可通过编写程序来运算。

三、实例引入

二分法求解单变量非线性方程的例子很多,仅以此例进行分析:

求方程f(x)=x3-x-1=0在区间[1.0,1.5]内的一个实根,要求准确到小数点后第2位。

四、问题分析

对于以上单变量非线性方程,已知a=1.0,b=1.5,采用二分法求解。首先我们根据二分法所允许的误差范围求得应迭代次数。

二分法允许的误差公式:|x*- | ( - )/2=(b-a)/0.005,

其中k为二分次数。

所以求得本题应二分6次达到预定的精度。

五、解题过程

这里a=1.0,b=1.5,而f(a)0。[a,b]的中点x0=1.25,将区间二等分。由于f(x0)

K/二分次数 /区间

左边界值 /右边界值 F( )的符号

六、基本二分法的matlab实现与C语言实现

6.1 %二分法的算法及MATLAB实现

function [c, err, yc] = bisect(f, a, b, delta)

% f是所要求解的函数

% a和 b分别是有根区间的左右限

% delta是允许的误差界

% c为所求的近似解

% yc为函数 f在 c上的值

% err是 c的误差估计

if nargin < 4

delta = 1e -5;

end

ya = feval (’f’, a);

yb = feval (’f’, b);

if yb == 0, c = b, return

end

if ya * yb > 0

disp(’(a, b)不是有根区间’);

return

end

max1 = 1 + round((log(b - a) - log(delta))/log(2));

for k = 1:max1

c = (a + b)/2;

yc = fevel(’f’, c);

if yc == 0 a = c; b = c; break,

elseif yb * yc > 0

b = c; yb = yc;

else

a = c; ya = c;

end

if (b - a) < delta, break

高数函数有界性的判断篇5

关键词 酿酒行业 财务报表 股票投资价值 实证 判别分析法

一、指标体系的选取

在指标的选取上，按照合理性，有效性，简便性原则，我们可以选取一些很具有代表性的指标，这些指标不仅能很好地反映企业的经营状况和发展潜力，更重要的是这些指标满足判别分析的前提假设。评价上市公司的指标有很多，本文根据东方财富网公布的深沪酒行业上市公司的财务报表，选取了七个具有代表性的指标：X1：每股收益，X2：净资产收益率， X3：主营业务收入增长率X4：净利润增长率， X5：流动比率， X6：速动比率X7：总资产周转率.

根据各支股票指数数据所表现的公司状况和权威证劵公司提供的评价标准及评价结果，可以将27支股票分为三大类：

I类型：该类型的各项指标大部分都为负值，一年中这些公司股票表现不是很好，处于亏损当中。而股票很能反映公司运营情况，说明第一类上市公司的经营稳定性差，发展不畅通，而负的主营业务收入增长率和负净利润增长率说明公司几乎已不具成长性，所以该类呈衰退趋势，最好不要去投资。

II类型：该类型的各项大部分指标虽然为正值，但是各项指标整体表现相比于III类型要差些，股票投资收益不是很丰厚，说明公司运营比较一般，投资者可以对该类型股票进行继续持有，但不增大数额。

III类型：该类型的各项指标表现很抢眼，各项指标整体表现在酒行业里比较优秀，很稳健。说明公司运营情况比较良好，能够很好地抵御不确定因素，投资收益也很丰富。投资者对于这类型的股票可以继续买进。属于价值较大的股票。

二、判别分析的具体应用与结果

（一）Fisher判别分析法的基本思想和模型

关于费歇尔判别的思想是投影，将组维数据投影到某一个方向，使得它们的投影组与组之间尽可能地分开。

定理 费歇尔准则下的判别函数的解为方程的最大特征根所对应的特征向量，而且相应的判别效率为。

（二）建立判别函数

通过Fisher判别法得到的典型判别函数系数，运用SPSS软件对数据处理得到两个Fisher判别函数：

F1=0.377X1-0.025X2-0.002X3+0.026X4+0.209X5-0.840X6

-0.006X7-0.085

F2=0.618X1-0.110X2+0.025X3-0.001X4-0.394X5+0.368X6

+0.012X7-0.211

将各样本的原始数据值代入上述函数，可计算出判别分数。事实上，上述两个函数计算的是各样本在F1，F2两个维度上的坐标，这样可以通过两个函数式求出各样本的空间位置，然后计算出它们分别离各类别重心的距离，离哪类别重心的距离近就判归哪类。

（三）评估Fisher判别函数

从表1可知，两个判别函数判别能力是显著的。第一个判别函数值非常小，仅为0.089，显著性水平P=0.000

表2 特征值（Eigenvalues）

从表2可知，第一个判别函数对应的绝对值为5.514，方差贡献率（判别效率）为88.3%，典型相关系数为0.920。第二个判别函数的绝对值为0.731，与第一个判别函数一起解释了100%的方差。典型相关系数较高。

图1 判别结果图

图1的结果与分析可以清晰地得出，两个判别函数能很好的区分各个类别，整体拟合情况比较好，从图1可以看出各类间的分界比较显著。

（四）分类判别函数

下面给出了各类的分类函数的系数三个分类函数分别为：

Y1=-1.397X1+0.071X2+0.096X3-0.148X4+2.705X5-1.368X6

+0.176X7-22.843

Y2=-0.728X1+0.161X2+0.056X3-0.020X4+4.487X5-3.959X6

+0.120X7-9.038

Y3=1.340X1-0.082X2+0.099X3+0.054X4+4.498X5-4.527X6

+0.120X7-13.579

（五）分类的准确性验证

分类函数的分类精度较高。如表3所示，该表分成两部分；上半部分是用从全部数据得到的判别函数来判断每个点的结果，从表上可知，判断率为100%。下半部分是用交叉验证法，也就是“留一个在外发”对样本进行回判。判断率为88.9%.

（六）判别结果与权威证劵机构的比较：

判别结果如表4

由表4可知，27个样本，运用判别分类函数分类，判断正确率为100%，这个判别结果非常理想，但是，我们应该有一个正确的心态对待这个100%结果，在其他判别方面，只要判断正确率达到90%这个标准就可以了。

从以上判别分析和判别结果看，利用多元统计分析方法中判别分析建立的模型还是能够很好和权威机构对股票评价达到一致，说明判别分析法对于衡量股票投资价值还是有一定的可信度，即判别分析可以运用于股票投资价值分析。

三、判别分析的运用

投资者要密切关注市场动态，加强对股票市场信息数据的收集，在投资股票时，参考权威机构的信息能够对投资者起到一定的帮助，但是，权威证券机构公布的消息有一定的滞后性，股票市场瞬息万变，机会稍纵即逝，抓住时机对于股票投资者能否赢利相当重要，判别分析法恰好能够作为判别股票是否具有投资价值的工具，当投资者选定一支股票欲投资时，最新的权威机构没有给出评价，不知道是否该投时，可以基于上一期历史数据，根据上文判别分析法的流程，得出判别函数，然后，将准备投资股票的数据代入判别函数，可以得出要投资股票属于哪一类。这样投资者可以抢占先机，投资该股票，获得盈利的可能性将大大增加。

参考文献：

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[2]何晓群.多元统计分析[M].北京：中国人民大学出版社，2004.

[3]吴冲，王栋.基于聚类分析和判别分析方法的股票投资价值研究[J].中国科技论坛在线，2005（4）：21-22.

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[6]陶冶，马健.基于聚类分析和判别分析方法的股票投资价值分析[J].财经理论与实践（半月刊），2005，26（138）：45-48.

高数函数有界性的判断篇6

关键词：数列极限；函数极限； 异同

引言：数列是一种特殊的函数，其特殊性在于其定义域是全体正整数集，故是不连续、是离散的变量；而函数的定义域一般是全体实数集，由实数的稠密性可知，该自变量是连续的。由于数列和函数之间的这种不同，就间接导致数列极限和函数极限也有所不同，本文是在参考华东师范大学数学系主编的教材《数学分析》第四版的基础上，列举出了几点关于数列极限和函数极限的异同之处。

1 数列极限

关于数列极限，先举一个我国古代关于数列的例子。《庄子―天下篇》中：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”其含义是：一根长为一尺的木棒，每天取下一半，这样的过程可以永远进行下去。不难看出，其通项{ }随着天数n的增大而无限地接近于0。在这一思想的指引下，教材给出了数列极限的精确定义：设 {An} 为数列，a 为定数，若对任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当 n>N 时，有 OAn-aO

2 函数极限

对于函数极限，先分析一下自变量x的趋近方式，由于x是取自全体实数，故趋近方式不仅有上述数列中所提及的+∞，还可以是∞、―∞，相比数列极限，更特殊的是还可以趋于某一点x0， 或者x0的左侧、右侧（即单侧极限）趋近。故自变量x的趋近方式共有6种，而极限值和数列极限完全一样，有4种。因此，函数极限共24种类型。比如，拿x+∞，f（x）a为例，其精确定义如下： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数M ，使得当x>M时有 |f（x）-a|

3 性质的异同

（1）由于极限存在则其值必唯一，故数列极限和函数极限如果存在，则极限值都是唯一的；

（2）如果数列极限存在，t它是有界的，而且是整体有界，即存在正数M，使得对一切正整数n有|An|≤M ；而函数极限如果存在，它也是有界的，可是这种有界性和数列的有界性不同，它是一种局部性，比如当x+∞时，函数极限的局部有界性为表述为：即存在正数M，使得f（x）在x>M的领域上有|f（x）|≤M，这里强调的是局部性，而不管小于M的函数值是否有界，所以，函数极限的局部性质是和数列极限有着本质区别。同理，数列极限还有保不等式性、迫敛性、保号性，而函数极限则对应于局部保不等式性、局部迫敛性、局部保号性等性质；

（3）判别数列极限存在的方法有主要是单调有界定理和柯西收敛准则，这两大著名方法用于判断数列极限是否存在非常有用。在单调有界定理中，如果一个数列单调递增，而且存在上界，则该数列极限存在且极限值等于其上确界，同理，如果一个数列单调递减，且存在下界，则该数列极限存在且极限值等于其下确界。在柯西收敛准则中，反映的是这样一个事实：收敛数列各项的值越到后面，彼此越是接近，以至于后面的任意两项之差的绝对值可以小于事先给定的任意正数ε，柯西收敛准则相比单调有界定理的好处在于无需借助数列以外的数a，只需根据数列本身就能判别其敛散性。相比函数极限的存在条件，其中的柯西准则和数列的完全类似，而不同的是函数极限多了一种归结原则（海涅定理）。当然，这种方法我认为在实际应用中是不太现实的，因为收敛于x0的数列有很多，所以，我们不能一一去验证其极限值。通常用的最多的是它的推论：即找到一个收敛于x0的数列，函数极限值不存在或找到两个收敛于x0的数列，但这两个函数极限值不相等。这与判断数列极限是否存在的寻找子列的方法一样，可以说，这两种思路完全一样。当然函数极限也存在单调有界定理，该定理在函数表达中由于单调有增减变化，所以只能研究一侧，即只能研究单侧极限。其方法和数列极限相类似，只需稍做一些修改即可。

（4）数列极限和函数极限在应用上也有很多相似的地方，比如四则运算及其证明过程，平均收敛和几何收敛及其证明以及一些构造性方法，两者的思路十分相似，只需稍微改动即可。但是这里要强调一下，在使用洛必达法则的时候，如果遇到处理数列极限时，应该先转化为函数极限进行求解，然后再应用归结原则得出数列极限值，因为对于在数列极限形式下不能使用洛必达法则，原因是离散变量求导数是没有意义的，这一点必须特别注意。

总结：本文主要以华东师范大学数学系主编的第四版《数学分析》为例，列举了几个数列和函数极限的表示方法，从定义、性质、收敛条件、应用4方面浅谈了自己的一些看法，若有不妥的地方，恳切希望读者指出，我定给予修正。

参考文献：

[1]何天荣. 数列极限与函数极限的异同及其本质原因[J]. 考试周刊，2016，（55）：58.

[2]曾祥远，程功任，李科赞. 关于函数和数列极限的相关理论及计算方法的探讨[J]. 教育现代化，2015，（12）：253-256.

高数函数有界性的判断篇7

导数在课本中是这样定义的：设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），也记作y'│x=x0或dy/dx│x=x0，即。如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献。不难看出，导数的几何意义是函数曲线在点P0（x0，f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

导数理论的应用在高中数学的学习中是我们经常混淆的地方，因此我总结了以下两个重点和难点：

1.通过导数判断出函数的单调性

这一部分主要是利用导数的定义和题目所给条件判断出函数的单调区间，可以运用数形结合的方法化抽象为具体，帮助我们更好的理解函数和函数单调性之间的关系。在高中课本中是这样定义导数和函数单调性的关系的：如果在（a，b）内，f'（x）>0，则f（x）在这个区间内是单调递增的，（a，b）则为f（x）的单调递增区间。如果在（a，b）内，f'（x）

2.通过导数分析函数的极值

这部分要求我们学会根据已知导数求解函数的极值和最值，由于极值点和最值点的易混淆使这部分内容成为我们头痛的地方，必须清楚认识极值和最值的区别。根据极值的定义我们可以知道取到极值的点称榧值点，极值点指的是自变量的值；极值指的是函数值，即当x为极值点时f（x）的值。另外，极值是一个局部概念，而函数的极值点必定会出现在这个区间内部，区间的端点不能成为极值点。在某些情况下函数的极值是不唯一的，要根据具体条件具体分析。在求极值时，我们一般先令f（x）=0，求出x的极值x ，再判断x 两边f（x）的符号的变化，从而判断出x 是否为极值点，再根据图像和性质得出是极大值还是极小值点，从而进一步求出所对应的极值。当然还需要注意一点，虽然极值点出的导数一定是0，但导数为零的点不一定都是极值点，需要具体问题具体分析。不难发现，极值表现的是函数在某一点时的局部的性质，而最值则表示函数在整个定义域里的性质；极值只可以在区间内取到，而最值则可以在断点处取到。因此，在求解导数f（x）在[a，b]上的最值时，可以将步骤规范如下：（1）求出f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与区间端点值f（a）、f（b）比较，其中最大的则为最大值最小的则为最小值。

高数函数有界性的判断篇8

关键词：

自动调焦； 图像清晰度； 调焦判定函数； 调焦曲线

中图分类号： TP 3 文献标识码： A

引 言

目前国内外学者提出了许多调焦函数，每种调焦函数对不同的图像有不同的调焦效果[1-3]。但不同的调焦函数大都只能对某一种或几种图像具有较好的效果。由于图像的复杂性和多变性，一个函数无法适应所有测量场合。针对不同照明和不同背景的条件下[4]，对调焦函数的主要性能与特点进行实验分析和评价，可以为这些函数的正确使用提供依据。大家普遍认为用调焦判定函数这个方法最关键的是对函数的选取。理想的调焦判定函数如图1所示，它应具备：无偏性、单峰性、灵敏度高、信噪比好、高效性等特点[5]。

1 调焦判定函数

自动调焦[6-9]系统是通过计算机编程，利用一些算法规则来判断图像清晰度是否达到了最准确状态，带动电动对焦装置进行对焦，这个算法就称为调焦状态评价函数，简称为调焦评价函数[10]。

2 实验结果与分析

采用放大率法测量焦距实验中，以分划板作为目标物成像，得到下面的图（如图2所示），将它作为对焦时候的清晰图像。在清晰成像位置附近，每隔一不相等的小距离，用CCD相机采一幅图，得到10幅图，按照从离焦聚焦离焦的顺序排列。分别用各种调焦判定函数对这同一组图像进行处理，利用MatLab编程处理，得到不同调焦函数的测试结果。

此图像背景灰度集中在0～5之间，像的灰度较平均分布在65～140左右，即背景与图像在两个明显不同的灰度区间，阈值为125（一堆最大熵法），如图3所示。

利用MatLab编程，对图3进行预处理（见图4）：即对图像进行灰度化、滤波、二值化等处理以克服图像干扰。

各种调焦函数的测试结果（调焦曲线），如图5所示。由图5中的曲线，对比分析如下：

（1）无偏性和单峰性：绝对方差、Roberts梯度和、梯度向量平方、Brenner、Laplacian、Tenengrad、Variance、灰度变化率和，全频段积分、阈值积分，Range、Menmay、直流功率函数都具有较平滑的形状，而且只有一个极值点，符合要求，可以用于自动调焦；而熵函数、Masgrn、交流功率函数的曲线平滑性相对较差，出现剧烈波动，存在多个极值点容易产生误调焦，因此不能使用，应舍弃。

（2）灵敏度：绝对方差、Roberts梯度和、梯度向量平方、Brenner、Laplacian、灰度变化率和，全频段积分、阈值积分，Menmay、直流功率函数在近焦的地方尖锐性很好；灰度变化率和函数不但具有较大的变化范围，即调焦范围较大，而且近似为线性变化，但是灵敏度较低，适于大范围粗调焦；Laplacian函数峰顶宽度相对较窄，灵敏度高，因此适合于小范围精确调焦；其他函数的灵敏度居中，既有一定的调焦范围，在焦点附近又具有比较高的灵敏度，适于中等范围的自动调焦。

（3）信噪比：交流功率函数抗干扰能力比较差。

（4）高效性：Variance、全频段积分、交流功率函数最快，都在1 s以内；Masgrn函数最慢，需113 s；其余居中，在40 s以内。

通过上面的分析可以看出，对于焦距测量实验，选用分划板作为目标物，其图像采集特征为：像灰度值集中、背景灰度集中，且两者灰度有明显不同的区间图像，梯度向量平方函数具有相对较好的调焦特性。

用相同方法对有类似图像特征（背景与图像在两个明显不同的灰度区间）的图片进行检测计算（详见图6），如纹理、医用检查图片、工件边缘检测、星球表面等的检测类图像。

3 结 论

在放大率法测焦距实验中，利用MatLab对各种调焦判定函数编程，处理同一组从离焦聚焦离焦的图像，通过分析不同调焦函数的测试结果，发现梯度向量平方函数具有比较稳定的调焦特性。全频段积分法的抗干扰能力较差，因此它对外界环境的要求较高。熵函数的平滑性较好，但灵敏度不如灰度梯度函数好且计算时间也相对较长。统计学函数调焦特性曲线的平滑性较差，影响调焦精度的顶部干扰尖峰比较多，这些顶部的干扰尖峰会引入比较大的不确定度。

通过检测证明：梯度向量平方函数对这类灰度值集中、背景灰度集中，且两者灰度有明显不同的区间图像，具有相对较好的调焦特性。

参考文献：

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