把“好玩”融入高数课堂探讨

摘要:很多人认为,数学枯燥无味,繁琐的计算和推理让人望而生畏。而数学大师陈省身却说“数学好玩”。那么如何致力于用数学的“好玩”吸引学生,把数学的“好玩”展示给学生呢?激活高数课堂、唤醒学生学习兴趣的最好的办法是向他们提供有吸引力的数学故事、游戏、智力题、笑话、悖论、口诀、诗文等。

关键词:学习兴趣;高数课堂

中图分类号:G64

文献标识码:A

文章编号:1672-3198(2010)21-0226-02

1 把故事融入高数课堂

1.1 课堂中增加些数学史

数学史不仅仅是故事,它能提高学生对数学的兴趣,而且还能帮助学生对数学的理解,培养学生为科学而献身的精神。

例如:无理数e在《高等数学》中扮演着很重要的角色.讲到它,不妨介绍一下它的发现人欧拉(L.Euler)。欧拉是一位牧师的儿子,1707年4月15日生于瑞士西北部城市巴塞尔(Basel)。他勤奋好学,总是全力以赴地从事科研工作,1732年他年仅25岁就获得了硕士学位。由于双目劳累过度,成为青光眼。1755年欧拉刚刚48岁,他右眼视力已完全丧失。后来他越发潜心奋力数学研究,大约在60岁时,左眼也失明了。从双目失明到1783年76岁逝世他一如既往、奋力工作,汇总整理出大量研究论文,直到他临终前的当天下午,他仍在石板上书写公式……听完这个故事,同学们无不为欧拉的献身精神所感动。长时间的正面教育对学生的正面影响力也是不可估量的。

1.2 生活故事中的数学

数学家华罗庚曾经说过:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学。这是对数学与生活的精彩描述。数学教学与社会生活相互依存,相互融合,数学问题来源于生活,而生活问题又可用数学知识来解决。一位优秀的数学教师应该时刻想着把数学和生活相结合。

例如:一位老师从切菜中感悟用“微元法”求立体体积在学用定积分求平行截面面积已知的空间立体体积时,是设空间某立体由一曲面和垂直于x轴的两平面围成,如果用过任意点且垂直于x轴的平面截立体所得的截面面积是已知的连续函数,则该立体体积可用定积分表出。这可由“微元法”推出,但同学听起来比较吃力,于是联想到这有点类似切萝卜圈(或黄瓜圈),便引导同学设想自己切萝卜或看别人切萝卜。首先把洗净的长圆萝卜平放在水平放置的菜板上,菜刀垂直于菜板切去一头一尾,就得到我们这里要求体积的空间立体。问题是如何才能求出这个不规则萝卜的体积呢?可以试想,若间隔很小的距离垂直于菜板切得萝卜的一个薄片,可以近似把它看成一个直柱体,体积就等于截面面积乘以厚度,如法炮制,把这个大萝卜切成很多的薄片,把每个薄片的体积都算出来加总就得萝卜的近似体积,且薄片越薄近似程度越高。如何才能变近似为精确呢?那就将它无限“细分”,再求无限和,在实际操作中当然办不到,但这正是定积分的“强项”,它可以帮我们办到。于是我们在切萝卜的过程中体会了如何用“微元法”求萝卜的体积。

2 把游戏、智力题融入高数课堂

数学游戏作为智力游戏的一种,在启发人的创造性思维方面有着重要的作用。有许多游戏看似复杂,用常规方法也许需要耗费大量的精力,但若能放开思路,打破常规,灵机一动,从另一个角度去考虑,就可能事半功倍,得到一种简洁而优美的解法。这种思维方法是解决数学游戏的一种重要方法,同时数学游戏也锻炼了人的这种思维能力。同时高数中有许多概念、公式。学生记这些常要花很大力气,而且时间一长,还常常遗忘。用做游戏、智力题的方法,不仅使学生轻松掌握知识,而且还记忆持久。

例如:著名的轨迹问题――“四臭虫问题”,现以乌龟为例:一个正方形的四角上有四只乌龟,每只都在朝右边的乌龟爬去,速度相等,因而每一时刻它们都处于一个正方形的四角上,随着正方形的旋转,面积越来越小,设每只乌龟以1厘米/秒的速度匀速爬行,正方形连长为3米,问需要多长时间四只乌龟者能在中心点碰头?这四只乌龟爬行的路线是对数螺线,用对数螺线求解需要高等数学的知识,而有一种妙不可言简洁的解法可以立刻算出乌龟的爬行时间是5分钟。考虑一只乌龟,它的运行速度不变,运行方向与它要爬向的那只乌龟的运行方向始终成直角,这种情况恰如前者停在正方形一角而后者尚正方形的一边向它爬去,这是解题的关键。由于正方形连长是300厘米,乌龟的爬行速度为1厘米/秒,所以需要300秒即5分钟。这种解法不需要艰深的数学知识,浅显易懂。许多数学游戏的求解均是如此,若用按部就班的方法来解,需要深厚的数学基础和大量的时间;但是如果巧动脑筋,深入地分析一下游戏的原理,就有可能想出一个简单明了的解法。追求解题方法的优美简洁,也是所有数学家的目标。数学游戏问题的解法常常独辟蹊径,可谓“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”,这样就极大地活跃了人们的思维,扩展了解决问题的方法。

例如:前面讲到的无理数e,很重要,但很多同学就是记不住它的取值范围。我就想到一个智力题:“请同学用3根火柴,摆1个比3大但比4小的数。(不能折断)”很多同学都很快猜到是“π”。在此基础上,我又提出那么怎样用一根绳,摆出1个比2大但比3小的数。这时就有学生猜出是“e”。(e是自然对数的底数,是一个无限不循环小数,其值是2.71828……)。这样,学生通过动脑猜的过程,加深了对这两个重要无理数的记忆。

3 把诗文融入高数课堂

我在讲述极限思想时,引入《庄子。天下篇》的“一尺之锤,日取其半,万世不竭。”“飞鸟之影未尝动也,镞矢之疾而有不行不止之时。”或李白的《黄鹤楼送孟浩然之广陵》中的“孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流。”把文学美与数学美结合起来。

很多数学学者,早就将诗文与数学融合起来。如丘成桐在《数学和中国文学的比较》中说:“三十年前我提出一个猜测,断言三维球面里的光滑极小曲面,其第一特征值等于二。当时这些曲面例子不多,只是凭直觉,利用相关情况模拟而得出的猜测,最近有数学家写了一篇文章证明这个猜想。其实我的看法与文学上的比兴很相似。我们看洛神赋:‘翩若惊鸿,婉若游龙。荣曜秋菊,华茂春松。仿兮若轻云之蔽月,飘飘兮若流风之回雪。’由比喻来刻划女神的体态,又看诗经:‘高山仰止,景行行止。四牡,六辔如琴,靓尔新婚,以慰我心。’也是用比的方法来描写新婚的心情。我一方面想象三维球的极小子曲面应当是如何的匀称,一方面想象第一谱函数能够同空间的线性函数比较该有多妙,通过原点的平面将曲面最多切成两块,于是猜想这两个函数应当相等,同时第一特征值等于二。”优美的诗句竟然能描述深奥的数学意境,真让人感叹不已。

也有很多数学教师将诗文融入高数课堂。如李尚志教授的微积分诗四首。

微分――凌波能信步,苦海岂无边。函数千千万万,一次最简单;

泰乐展开――漫天休问价,就地可还钱。我有乘除加减,翱翔天地间;

定积分――一帆难遇风顺,一路高低不平。平平淡淡分秒,编织百味人生;

原函数――量天何必苦登高,借问银河下九宵。直下凡尘几万里,几公里处宴蟠桃。

4 把悖论融入高数课堂

高数的有些概念深奥难懂,学生在没学之前就产生了畏难心理。为了调动学生积极性,我经常引进一些小故事来导入新课。

例如:在将极限的概念前,我讲了“龟兔赛跑悖论”。假设乌龟和兔子沿着同一直线赛跑,兔子的速度为V,乌龟的速度为U,(V>U),乌龟在兔子前方L米处,假设终点距离他们很远,那么小学生都会知道兔子可以追上乌龟,并且可以计算出多长时间以后追上。假设兔子经过时间T追上乌龟,那么可得出:VT=UT+L,由此得到T=L/(V-U)。但是历史上有一个著名悖论。他们的思考方式如下:当兔子跑到乌龟刚开始所在的地方时,乌龟又跑到了兔子前面,然后兔子继续追,又一次追到乌龟先前所在地,这时乌龟又跑到了兔子前面。所以他们认为如此循环下去,兔子再也追不上乌龟了。讲完这个悖论,我就问学生能否对这个悖论进行反驳。学生议论纷纷。然后,在这个时候我就提出,要反驳这个悖论需要用到极限思想。这样自然就把学生的兴趣引导到新课上来了。

5 把笑话融入高数课堂

一个小小的数学笑话,它的作用深入挖掘,所带来的教育价值远比教师的干巴巴的讲要生动有力的多。

5.1 用笑话帮学生区分易混淆知识

在讲用二阶导数判断函数凹凸性时,由于以往学生经常有出错的,所以就想出了一种记忆方法,颇为有效。我讲了一个英语笑话:说是有一个小小子,剃了个光头,从此他就成了教室中的焦点,每次老师都提问他。于是他忽悠另两位小小子也剃了光头。可是一天,一位英语老师还是提问了他:“请问1点58分用英语怎么表达?”等他回答完;“Two totwo。”(秃秃秃)全班都笑趴下了。讲完后,我跟同学强调;“我们笑后,要记住什么呢?就是小小子剃了秃头――小凸(秃),也就是二阶导数“小”于零时,函数上“凸”;那么另一种情形就很好对比记忆了。”

5.2 用笑话化解高数难点

学生在学习微分时,常常犯这样的错误,微分符号与后面的变量本是不可分割的。

大学考高数,一学习特差,就坐在我后面抄,考完他对我说我做错了许多题,该约分的没约分,他都自己改过来了,仔细一问,他把偏微分符号都约掉了。

5.3 用笑话突出高数重点

一日,数学系的几个哥们在食堂吃午饭,主食是芝麻火烧,其中一个抱怨说:“这烧饼做得太次了,边界都不可导!”另外一个说:“这算什么,你吃过边界不连续的么?”(注:边界不可导的一种图形特征就是不光滑,有“尖儿”。边界不连续,这个好理解,就是有断的。虽说是笑话,但是能加深对连续、可导概念的理解哟。

6 把口诀融入高数课堂

琅琅上口的口诀,能帮学生记忆、理解知识。

例如:口诀:函数概念五要素,定义关系最核心;分段函数分段点,左右运算要先行;变限积分是函数,遇到之后先求导;奇偶函数常遇到,对称性质不可忘;单调增加与减少,先算导数正与负;正反函数连续用,最后只留原变量;一步不行接力棒,最终处理见分晓;极限为零无穷小,乘有限仍无穷小;幂指函数最复杂,指数对数一起上;待定极限七类型,分层处理洛必达;数列极限洛必达,必须转化连续型;数列极限逢绝境,转化积分见光明;无穷大比无穷大,最高阶项除上下;n项相加先合并,不行估计上下界;变量替换第一宝,由繁化简常找它;递推数列求极限,单调有界要先证,两边极限一起上,方程之中把值找;函数为零要论证,介值定理定乾坤;切线斜率是导数,法线斜率负倒数;可导可微互等价,它们都比连续强;有理函数要运算,最简分式要先行;高次三角要运算,降次处理先开路;导数为零欲论证,罗尔定理负重任;函数之差化导数,拉氏定理显神通;导数函数合(组合)为零,辅助函数用罗尔等。

7 把时尚语言融入高数课堂

时尚的语言能拉近老师与当代学生的距离,让他们在轻松中接受老师。例如:

提问学生回答问题时,有的学生因为紧张而较长时间不回答。这时我为了缓解气氛,套用QQ语言:快点吧,我等到花儿也谢了。如果学生确实不会,为了缓解尴尬,我就套用开心辞典:快找亲友团帮你吧!

参考文献

[1]吴俊杰.挖掘笑话中的数学教育元素[J].数学教学,2009,(5).