轴对称图形分析范文

轴对称图形分析篇1

【关键词】 轴对称 教学设计 思考

【中图分类号】 G427 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)05(b)-0100-01

1 教材的地位和作用

从生活中看,轴对称现象在生活中随处可见,给我们美的感觉。从数学角度出发,初中图形的运动方式有三种:平移、翻折、旋转,而轴对称与翻折有着不可分割的关系。本节内容看似简单,但也包含类比数学思想,拉普拉斯曾说:“即使在数学里,发现真理的主要工具也是归纳和类比。”可见类比思想在数学领域的重要性。因此本节知识有着举足轻重的地位。另外,通过本节学习,可以增加学生的团队意识,并且增加学生学习数学的兴趣。

2 教学目标定位

2.1 知识目标

(1)轴对称图形的概念;(2)轴对称图形对称轴的概念;(3)两个图形成轴对称的概念;(4)两个图形成轴对称对称轴的概念;(5)轴对称图形和两个图形成轴对称的联系;(6)轴对称图形和两个图形成轴对称的区别;(7)类比的数学思想。

2.2 能力目标

(1)培养学生探索知识的能力;(2)培养学生分析问题、思考问题的习惯。

2.3 情感目标

(1)让学生感受轴对称的美;(2)让学生体会数学文化的熏陶;(3)培养学生团队精神。

3 教学重难点

教学重点:(1)轴对称图形的概念;(2)识别轴对称图形和对称轴。(3)类比的数学思想教学难点:轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系。

4 学习本节知识容易了解和产生误解的地方

通过本节课的学习,学生能够很容易掌握轴对称图形和它的对称轴,两个图形成轴对称和它的对称轴。但是通过本节课的学习,估计学生会产生以下困难:(1)轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系,学生容易混淆。尤其是两个图形成轴对称是可以通过轴对称图形沿着对称轴剪开得到,学生需要通过实际操作来检验。(2)从轴对称图形怎么样通过类比的数学思想得到两个图形成轴对称,类比的数学思想学生第一次接触,会有陌生感。

5 本节课教法分析

课堂教学的重要任务之一就是要使教学过程成为学生获取知识、发展能力的活动过程,成为科学知识内化为学生精神财富的过程。知识的获得与内化必须符合学生的认知规律,并借助学生已有的经验对知识进行自主性地构建。因此,教师在课堂教学过程中需要运用一定的教学策略,帮助学生打开知识之窗,重现知识的形成过程;引导学生体验知识,感受知识的存在;指导学生应用知识,增强对知识的记忆与理解;帮助学生回归知识,促使教材知识活化。本节知识的重点是轴对称图形和两个图形成轴对称,突破它的关键是通过学生总结、分析、讨论、制作、表演。因此在教学过程中,为了使学生会描述轴对称图形,采取了学生收集对称图形、欣赏漂亮对称图形、小组讨论对称图形的特征的教法,使小组自主探索出轴对称图形的概念。在学生了解了轴对称图形的概念后,通过学生利用自己的肢体语言表演轴对称图形,不仅可以是学生更加深入了解轴对称图形,而且能增加学生学习数学的兴趣。

6 本节课学法分析

随着教改的逐步深入,越来越多的教育专家和大批的一线教育工作者都清醒地认识到,在实际的教育教学工作中只有真正做到“以学生为本”,所有的教改才会有意义,否则再轰轰烈烈的教改也只会流于形式、昙花一现。我也和千千万万个教师一样,整天都在思考并努力实践着“以学生为本”。

a)学生总结:学生通过欣赏美丽的图片,小组内收集对称图形,小组讨论总结得到轴对称图形具备的特征,这是学生经过收集、探索、总结、发现得到的,对学生的印象非常深刻。

b)学生制作:学生了解轴对称后,学生亲手制作轴对称图形,手工制作不仅能够加深学生对知识的印象,而且能够提高学生手工制作的能力,使学生全面发展

c)学生表演:学生手工制作轴对称图形后,学生利用肢体语言表演轴对称图形。学生表演不仅可以加深学生对知识的印象,而且能够使学生理解轴对称图形的本质,更加能见增加学生学习数学的兴趣

d)学生探索:学生通过轴对称图形自己探索出两个图形成轴对称,充分体现类比数学思想,学生通过探索讨论,可以充分领会类比数学思想的本质。

e)学生合作:学生通过小组合作,充分体现团队精神和协调能力。

f)学生巩固:学生通过总结、制作、表演、探索、合作。最后实现学生巩固提高。

7 本节课总结反思

(1)兴趣是最好的老师,学生的兴趣直接关系学生的主动参与能力。本节课,学生利用自己的肢体语言表演轴对称图形和两个图形成轴对称,极大的增加了学生参与的积极性,最大程度的增加了学生学习数学的兴趣。

轴对称图形分析篇2

一、比较大小

例1 若二次函数y=x2-6x+c的图像过A（-1， y），B（2， y），C（3+， y）三点，则y，y，y大小关系正确的是（ ）.

A. y>y>y B. y>y>y C. y>y>y D. y>y>y

分析：二次函数y=x2-6x+c的对称轴为x=3，点A、B都在对称轴的左侧，而点C在对称轴的右侧，不便利用二次函数的性质比较y值大小. 因此应设法将点A、B、C转化成对称轴同侧的点，然后再利用二次函数的性质比较y值大小.

解：由于二次函数y=x2-6x+c的对称轴为x=3，因此C（3+，y）关于对称轴x=3的对称点C′（3-，y），而点A、B和C′都在对称轴左侧，且-1y>y，答案选B.

点评：由于已知三点中有两点都在对称轴左侧，故将另一点也利用抛物线的对称性转移到对称轴的左侧，然后再利用二次函数的性质比较大小.

二、求抛物线与x轴的一交点坐标

例2 二次函数y=-x2+2x+k的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解是x=3，另一个解x=（ ）.

A. 1 B. -1 C. -2 D. 0

分析：观察图像可知抛物线的对称轴为x=1，且抛物线与x轴的一交点横坐标为3，利用抛物线的对称性不难求出抛物线与x轴的另一交点横坐标.

解：抛物线的对称轴为x=1，且与x轴的一交点横坐标为3，由抛物线的对称性不难求出与x轴的另一交点的横坐标为-1，即一元二次方程-x2+2x+k=0的另一个解x=-1，答案选B.

点评：本题的常规解法是利用一元二次方程解的定义，将x=3代入一元二次方程-x2+2x+k=0求出k的值，然后利用一元二次方程根与系数的关系求出另一解，但不如利用抛物线的对称性求解简捷，因为这样相当于少用“抛物线的对称轴为x=1”这个已知条件.

三、求二次函数的解析式

例3 抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

从上表可知，下列说法中正确的是？摇？摇 ？摇？摇.（填写序号）

①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）

②函数y=ax2+bx+c的最大值为6

③抛物线的对称轴是x=

④在对称轴左侧，y随x增大而增大

分析：除①③④外，②需要求出二次函数的解析式. 先从表格中找出y值相等的两对数值（即抛物线上的一对对称点坐标），这样可以求出抛物线的对称轴. 又从表格中可以找到抛物线与x轴的一交点坐标，利用对称性容易求出与x轴的另一交点坐标.

解：由（-1， 4）、（2， 4）可知抛物线的对称轴为x==. 由（-2， 0）结合抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）.

设二次函数的解析式为y=a（x-2）（x+3），将（0， 6）代入，得-6a=6，a=-1.

二次函数的解析式为y=-（x-2）（x+3），即y=-x2+x+6.

正确说法为①③④.

点评：如果从表格中仅能找到y值相等的两对数值（即抛物线上的一对对称点坐标），而不能找到抛物线与x轴的一交点坐标，又该如何利用抛物线的对应性呢？以（-1， 4）、（2， 4）为例，受两点式的启发，此时可设y=a[x-（-1）]（x-2）+4，即y=a（x+1）（x-2）+4，过程留给同学们完成.

四、判断函数值的正负

例4 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，现有下列结论：①b2-4ac>0；②a>0；③b>0；④c>0；⑤9a+3b+c

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

分析：本题主要考查二次函数的图像与系数符号间的关系. 可根据抛物线的开口方向、与坐标轴的交点情况、对称轴的位置等确定.

解：由抛物线的开口向上可知a>0；抛物线交y轴负半轴可知c0；对称轴为x=1，得-=1，所以b=-2a

点评：在判断9a+3b+c的正负性时，一般方法是将b=-2a代入9a+3b+c，化简得3a+c. 然后再根据x=-1时函数值小于0，得a-b+c

五、求阴影部分的面积

例5 如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成八部分. 则图中阴影部分的面积是？摇？摇？摇 ？摇.

分析：本题主要考查正方形和抛物线的对称性. 可根据正方形和抛物线的对称性对阴影部分的面积进行转化.

解：两条坐标轴把正方形的面积分为左上、左下、右上、右下四个部分. 由正方形和抛物线的对称性可知，左上阴影部分与右上空白部分关于y轴对称；左下空白部分与右下阴影部分也关于y轴对称，因此左上阴影部分与右上阴影部分的面积和等于正方形面积的四分之一，左下阴影部分与右下阴影部分的面积和也等于正方形面积的四分之一，整个图形中阴影部分的面积和等于正方形面积的一半，即×22=2.

点评：实际上，左上阴影部分与左下空白部分也关于y轴对称，右上阴影部分与右下空白部分也关于y轴对称，也可以据此求解.

六、求最值

例6 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（-2，-4），OB=2. 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点M是抛物线对称轴上的一点，试求MO+MA的最小值.

分析：（1）OB=2知点B（2， 0），又抛物线过原点和点 A（-2， -4），利用待定系数法不难求其解析式；（2）利用抛物线的对称性对MO+MA进行转化，然后利用两点之间线段最短和勾股定理求解.

解：（1）由OB=2知点B（2， 0）. 将A（-2， -4），B（2， 0），O（0， 0）代入y=ax2+bx+c，得4a-2b+c=-4，4a+2c+c=0，c=0. 解得a=-，b=1，c=0.

所以抛物线的函数表达式为y=-x2+x.

（2）如图，设抛物线的对称轴为直线l，则O、B关于直线l对称.

所以MB=MO. 所以MO+MA=MB+MA.

连接AB，交直线l于点M，则线段AB的长即为MO+MA的最小值.

过点A作ANx轴，垂足为点N，则AN=4，BN=2-（-2）=4.

由勾股定理，得AB===4.

轴对称图形分析篇3

考点一 轴对称图形的识别

例1（2007年天津市）下列图形中，为轴对称图形的是（）.

解析：根据轴对称的定义：如果把一个图形沿某条直线对折，两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形.据此可知，选项D正确.

练习1 （2007年深圳市）下列图形中，不是轴对称图形的是（）.

考点二 轴对称的性质

例2（2007年河南省）如图1， ABC与A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）.

A. 30° B.50°C.90°D.100°

解析：根据条件和轴对称的性质“关于某条直线对称的两个图形对应线段相等，对应角相等”知：∠C＝∠C′＝30°，又∠A＝50°，所以∠B＝180°－∠A－∠C＝100°.选D.

练习2（2007年武汉市）如图2是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B＝30°，则∠E的大小为（）.

A. 30° B.35° C.40° D.45°

考点三 图形的折叠

例3（2007年江西省）如图3，将长方形 纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处， BC′交AD于E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）.

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

解析：图形的折叠问题实质上是轴对称问题 ，其折痕即为对称轴.由此可知：∠C′BD＝∠CBD＝22.5°，所以∠C′BC＝45°.因为四边形ABCD为长方形，所以∠ABE＝90°－∠CBE＝45°，进而由直角三角形两锐角互余与对顶角相等得∠AEB＝45°＝∠C′ED，∠C′DE＝90°－∠C′ED

＝45°.由此可知，图中共有5个45°的角.它们是：∠CBC′、∠ABE、∠AEB、∠C′ED、∠C′DE.选B.

练习3（2007年成都市）如图4，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G. 已知∠EFG＝58°，那么∠BEG＝______.

考点四 线段的垂直平分线、角平分线

例4（2007年青岛市） 青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等.若三所运动员公寓A、B、C的位置如图5所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置.

解析：到A、B两点距离相等的点应在线段AB的垂直平分线上，又到B、C距离相等的点应在BC的垂直平分线上，所以，公共服务设施点P应是线段AB、BC的垂直平分线的交点.如图6所示：

练习4（2007年广东省）到三角形三条边距离都相等的点是这个三角形的（ ）.

A. 三条中线的交点

B. 三条高线的交点

C. 三条边的垂直平分线的交点

D. 三条角平分线的交点

考点五 等腰三角形

例5（2007年江西省）如图7，在ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝____.

解析：因为AB＝AD，∠BAD＝80°，根据“等边对等角”得∠ADB＝∠B＝1/2（180°－∠A）＝50°，因为AD＝DC，所以∠C＝∠DAC，故∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2∠C.

所以∠C＝1/2∠ADB＝1/2×50°＝25°.

练习5（2007年陕西省）如图8，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连结EC，则∠AEC的度数是__________．

考点六 设计轴对称图案

例6（2007年乐山市）认真观察图9的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：

（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征.

特征1： ________________________________________________ ；

特征2：__________________________________________________.

（2）请在图10中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征.

解析：此题的两个小题的答案都具有开放性，四个图案的共同特征还有很多，这里根据轴对称性及图形的面积来列举其共同特征.

（1） 特征1：都是轴对称图形；特征2：这些图形的面积都等于4个单位面积；

（2） 满足条件的图形有很多，这里给出如图11所示的三个图案.

练习6（2007年绍兴市）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：

（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；

（2）涂黑部分成轴对称图形．

如图乙是一种涂法，请在图①～③中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙）

练习答案：

1. A

2. A

3. 64°

4. D

5.115°

轴对称图形分析篇4

[实例1]判断正误：“甲数除以乙数，等于甲数乘以乙数的倒数。”

文[1]认为，因为题中没有明确乙数不是0，而教科书中却有明确的表述，因此认为此命题是错误的；学生认为“甲数除以乙数是前提，既然可以除，乙数就不应该为0”是学生的理解方式出现了偏差。但笔者却认为学生的理解是正确的。

事实上，我们知道任何一个命题都包括条件和结论两个部分，判断一个命题的对错，其实质就是判断从命题的条件出发是否能必然推出结论成立。即在谈到一个命题时，首先要保证这个命题的条件是成立的，然后才能涉及命题的结论是否成立的问题，如果条件本身就不成立的话，那么这个命题就没有意义了。在实例1中，“甲数除以乙数”是条件，“等于甲数乘以乙数的倒数”是结论。我们要判断的不是“甲数除以乙数”这个条件是不是成立，而是要判断在这个条件下，结论是否成立的问题，其正误是显而易见的。

文[1]判此命题为真，理由是“习惯性的理解一个数的几分之几不包含0”，并且认为“这样的问题很难跟学生讲清楚，而且价值不大”，同时认为“所以我们在表述时，不妨就告诉学生甲数、乙数不为0，使学生不纠缠于细枝末节的问题”。

对于文[1]的上述理由，笔者有以下几个疑问。

其一，“习惯性的理解一个数的几分之几不包含0”有何依据？是教师的惯性思维还是教科书中有明确的限定？笔者认为，“0”在小学一年级的教科书上就介绍了，因此在没有“此数不为0”的表述下，无根据的“习惯性”把0排除在外是不对的。

其二，认为“这样的问题很难跟学生讲清楚，而且价值不大”是不正确的。实际上，从文[1]中的叙述看，学生对这个问题理解已经很清楚了，甲数、乙数可能会同时为0，所以此命题为假。严谨性是数学最本质的特性之一，教学中应在学生能接受的范围内尽可能地保证知识内容的科学、准确。用分析特例的方法，否定或估算数学问题，是培养学生思维严谨性的重要方法，其中蕴含着极其重要的数学思想，其价值绝对是“大大的”，怎么能说“价值不大”呢？

[实例3]判断正误：“平行四边形不是轴对称图形。”

文[1]中的表述是这样的：“确有一部分学生认为是错的，但他并没有把一般平行四边形当成轴对称图形来理解，而是认为长方形、正方形也属于平行四边形，它们是轴对称图形，所以他们认为正确的表述应是：平行四边形有的是轴对称图形，有的不是轴对称图形。”

根据原文表述可以看出，文[1]认为“平行四边形有的是轴对称图形，有的不是轴对称图形”是错误的。

小学数学教材中对平行四边形的定义为：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。而长方形、菱形等显然满足平行四边形的定义，因此长方形、菱形均为平行四边形。又因为长方形、菱形为轴对称图形，所以“平行四边形有的（如长方形、菱形）是轴对称图形，有的不是轴对称图形”的论断是正确的。

事实上，这个命题的判断涉及逻辑学中的全称命题、存在性命题以及命题的否定等相关知识。对于此命题较为全面的辨析可以这样入手：

首先，命题1：“平行四边形是轴对称图形”，这个命题是真是假？辨析：这是一个全称命题，意指任意的平行四边形均为轴对称图形，这显然是假的，如一般的平行四边形都不是轴对称图形。

命题1的否定为：“有的平行四边形不是轴对称图形”，记为命题2，那么命题2是真是假？辨析：这是个存在性命题，意指存在平行四边形不是轴对称图形。确实存在平行四边形不是轴对称图形，因此命题2为真。另外，根据命题与命题的否定真假性相反的原理，由命题1假也可推断其否定即命题2为真。

接下来，我们探讨命题3：“平行四边形不是轴对称图形”是真是假？辨析：这是个全称命题，意指任意的平行四边形都不是轴对称图形。要说明一个全称命题为假，只需举出反例即可，如长方形、菱形都是平行四边形，但它们是轴对称图形，所以命题3为假。

命题3的否定为：“有的平行四边形是轴对称图形”，是真是假？记为命题4，那么命题4是真是假？辨析：这是个存在性命题，意指有（至少存在一个）平行四边形是轴对称图形，这显然是真的，因为要说明一个存在性命题为真时，只需举出一个实例即可，而长方形、菱形是平行四边形，也是轴对称图形，因此命题4为真。

关于这个问题很多人会有这样的误解，认为命题1“平行四边形是轴对称图形”的对立面，即它的否定是“平行四边形不是轴对称图形”。但事实上，命题1的否定应为命题2“有的平行四边形不是轴对称图形”，也可通俗地说成“平行四边形不都是轴对称图形”。 当然，关于命题和命题的否定等逻辑学知识是很难给小学生讲明白的，也没有必要对小学生讲解有关内容（现行中小学教材中，此知识在高中选修教材2-3中“简易逻辑”部分介绍）。所以笔者认为，对于此知识点，学生能了解平行四边形有的是轴对称图形，有的不是轴对称图形就已经足够了，并且在小学阶段实在没有必要出现类似这样的命题判断。否则，详细讲解学生理解不了；模糊处理的话，又很可能给学生传递了错误的知识，对其以后的学习造成负面的影响。

最后值得一提的是，笔者发现在日常的教学活动中，经常有些小学教师会犯一些类似这样的错误，例如误认为“12条棱都相等的几何体一定是正方体”“小数是一个特殊的分数”等。要想避免这些类似的错误发生，其根本方法是要大力提升小学数学教师的数学专业素养，同时要在编拟习题时尽量避免出现超纲现象。

轴对称图形分析篇5

如果两个点是以某一条直线为对称轴的对称点，那么这条直线就是连接这两点的线段的垂直平分线.

反过来，如果直线MN是线段AA'的垂直平分线，则OA=OA'，∠AOM=∠A'OM=90°，沿着直线MN对折，∠AOM和∠A' OM重合，线段OA和OA'重合，从而点A和A'重合，则点A和A'是以直线MN为对称轴的对称点，于是得到：一条线段的两个端点是以这条线段的垂直平分线为对称轴的对称点.

由此可以得出对称点的作法，要作出点 A以直线MN为对称轴的对称点A'，可以过点A作AOMN，并延长AO到A'，使OA'=OA，则点A'就是所求的对称点.

二、两个图形如果沿着一条直线对折，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称.

如图2，ABC和A'B'C'沿着直线MN对折能完全重合，则称ABC和A'B'C'关于MN成轴对称.

显然，在以某一条直线为对称轴的两个对称图形中，其中一个图形上的点关于这条对称轴的对称点，都在另一个图形上.

根据全等形的定义可知，以某一条直线为对称轴的两个对称图形必定全等.

三、如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.

要注意轴对称和轴对称图形的区别，这是两个不同的概念，表示两种不同的图形，不能互相混淆.前者是两个图形关于某一条直线对称，后者是一个图形的两个部分关于某一条直直线对称.

明白轴对称图形的有关知识后，下面举例说明它在解题中的应用.

例1 某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛.现征集设计方案，要求设计的图案有圆和正方形（圆和正方形的个数不限），并且使整个矩形场地成轴对称图形，请在图3的矩形中画出你设计的两个方案.

解析：如图4，给出了两个设计方案（注意方案不是惟一的，只要设计出两个合理的方案即可）.

例2 已知∠MON=40°，P是∠MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点，则当PAB的周长取最小值时，∠APB的度数等于_______.

解析：如图5，过P作PCOM于C，并延长PC到D，使CD=PC；

再过P作PEON于E，并延长PE到F，使EF=PE.

连接DF，分别交OM于A，交ON于B.连接AP、BP.

则此时所得的PAB的周长取最小值.

易知∠CPE=140°，

于是∠APB=140°-∠APC-∠BPE=140°-（90°-∠PAC）-（90°-∠PBE）=∠PAC+∠PBE -40°=∠DAC+∠FBE-40°=∠OAB+∠OBA-40°=180°-∠O-40°=100°.

轴对称图形分析篇6

关键词：二次函数解析式 待定系数法 一般式 顶点式 交点式 平移法 综合法

二次函数是中考必考的重点，在实际应用中二次函数作为一种数学模型的作用，常考利用二次函数的性质求面积、利润等的最大值和最小值，然而能否求出二次函数的解析式却是解决题目的关键点，因此探究求二次函数解析式的方法已成为重点内容。二次函数解析式的一般形式到特殊形式依次总结出一般式、顶点式、交点式、平移法、数形结合法、综合法等求二次函数解析式的方法，及这些方法在初中数学中的简单应用。

1.求二次函数解析式的方法主要是：待定系数法、配方法、数形结合等。

2.求二次函数解析式的常用思想：转化思想，解方程或方程组。

3.二次函数解析式的最终形式：无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。

一、定义型

这类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足两个条件：

1.二次函数的二次项系数不能为零（a≠0）。

2.x的最高次数为2次。

例，若函数y=（m+1）xm2-3m-2为二次函数，求m的值。

解：因为该函数为二次函数，则 ，

解（1）得：m=4或-1，

解（2）得：m≠-1，

所以m=4。

二、结论开放性型

此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以它的答案并不唯一。

例1.经过点A（0，5）的抛物线的解析式是______。

分析：根据给出的条件，点A在y轴上，所以这道题只需满足y=ax2+bx+c中的C=5，且a≠0即可y=x2+x+5（注：答案不唯一）。

三、平移型

将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线。此类题目，将抛物线图像平移，发生变化的只有顶点坐标，故可先将原函数解析式化顶点式y=a（x-h）2+k，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求函数解析式。当图像向左（右）平移n个单位时，就在x-h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m。其平移的规律是：h值正负，右、左移；k值正负，上下移。由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a的值不变。

四、三点型

若已知抛物线上三点的坐标，要确定a，b，c，利用待定系数法则可应用一般式y=ax2+bx+c求解。

例，已知一个二次函数的图象过点（-1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式？

解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，

a-b+c=10

由条件得： a+b+c=4 ，

4a+2b+c=7

解方程得：a=2，b=-3，c=5，

因此：所求二次函数是：y=2x2-3x+5。

五、顶点型

若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式y=a（x-h）2+k。这顶点坐标为（h，k），对称轴方程x=h，极值为当x=h时，y极值=k来求出相应的系数。

六、交点型

若已知抛物线与x轴的两交点坐标，或两点间的距离及对称轴，已知图像与x轴交于不同的两点（x1，0），（x2，0），设二次函数的解析式为y=a（x-x1）（x-x2），根据题目条件求出a的值。

采用一般式、顶点式和交点式求解，可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。

七、综合型

此类问题综合性强，覆盖面广，涉及知识点多，既要求我们掌握前面几种基本类型的抛物线的解析式，还要求我们掌握函数、方程、数形结合、分类、待定系数法等数学思想方法。

例，已知二次函数y=3x2-6x+5，求满足下列条件的二次函数的解析式：

（1）图象关于x轴对称。

（2）图象关于y轴对称。

分析：已知一个二次函数y=ax2+bx+c，要求其图象关于x轴对称（也可说沿轴翻折）；y轴对称及经过其顶点且平行于x轴的直线对称（也可说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y=a（x-h）2+k的形式。

（1）关于x轴对称的两个图象的顶点关于x轴对称，两个图象的开口方向相反，即a互为相反数。

（2）关于y轴对称的两个图象的顶点关于y轴对称，两个图象的形状大小不变，即a相同。

（3）关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a互为相反数。

所以y=3x2-6x+5可转化为y=3（x-1）2-2，据对称式可知：

①图象关于x轴对称的图象的解析式为，y=-3（x-1）2-2，即：y=-3x2-6x+5。

②图象关于y轴对称的图象的解析式为：y=3（x+1）2+2，即：y=3x2+6x+5。

例，如图，抛物线y=x2+bx+c的图像与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q，过点Q的直线y=2x+mx与x轴交于点A，与这个抛物线的图像交于点B，若SBPQ=3SAPQ，求此抛物线的解析式。

分析：此题考查函数与方程间的关系，只要将函数关系转化为方程来解即可。

解：由图知m=c，方程组 ，

得x1=0，x2=2-b，

Q（0，c），B（2-b，4-2b+c），

又SBPQ=3SAPQ，SPAB=4SAPQ，

=4，b=2- ，

又y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，所以由b2-4c=0得（2- ）2-4c=0，c1= ，c2=4，

又x=- >0，b

因此所求抛物线解析式为y=x2-4x+4。

求抛物线的解析式的方法很多，解题时，要根据题目所给的条件，灵活选用不同方法，注意根据题意转化问题，从不同的角度寻找条件，再根据条件选择恰当的方法来设二次函数的解析式，尽可能使表达式中待定系数的个数较少，简单易求，能使解题简捷。

参考文献

[1]张文惠 二次函数系统化学习[J].中学生数理化（初中版）。

轴对称图形分析篇7

一、教学分析

1、教材地位、作用

《图形的运动与坐标》在华师大版数学八年级(下)第18章《图形的相似》第5节第2课时。本章继轴对称、平移、旋转后介绍了相似，相似也是图形之间的一种变换，生活中有大量存在相似图形，从生活实际出发，认识相似图形的特征并用于解决一些简单的实际问题，让学生体会图形经过平移、旋转、轴对称、相似变换后坐标的变化情况。加深对图形的认识，初步体会数形结合的思想。

2、教学目标

知识目标：在同一直角坐标系中，感受图形变化后各点坐标的变化和图形的变化(平移、轴对称、旋转、放大、缩小);并发展学生数形结合的思想。

能力目标：培养学生的观察能力和动手能力。

情感态度目标：在观察、探索的过程让学生获得发现的喜悦，体验数学活动中充满着探索和创造;引导学生敢于面对学习和生活中的困难和挫折，培养坚强的意志品质。

3、教学重点和难点

重点：同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小，探索图形的位置变化引起的点的坐标的变化，点的变化引起的图形的位置的变化。

难点：通过观察、分析、概括把坐标思想与图形变换的思想联系起来，形成数形结合意识。

二、学情分析

1、学生起点分析

八年级下学期的学生已具有图形的平移、旋转、轴对称、相似等变化知识储备，同时已学过建立适当的坐标系来描述物体的位置，能结合具体情景，灵活运用多种形式确定物体的位置，这也是为本节学习图形变化后各点坐标变化带来了知识的可能，但缺乏数形结合意识，所以应加以引导、点拨和启发。

2、教学环境分析

本节是设计在一个平等、民主、合作的环境下进行;同时引入现代教学手段，形成教学环境的选择的多样化。

三、教学方法、手段

教学方法：探索式教学方法。整个教学过程是由问题展示到问题解决，中间围绕“观察----发现----归纳”三个环节组织教学。整个教学模式是由“教师怎么教”转向“学生怎么学”，是从以教师为课堂核心转变为以学生发展为核心，是创新的体现。

教学手段：电脑、实物投影仪等现代教学设备。

四、学法指导

1、感知认识：学生通过认识图形的位置变化引起点的坐标的变化，本节从游戏导入点的位置变化引起坐标的变化

2、实践、探索：通过实例进一步观察图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小，探索位置变化引起的点的变化经过小组讨论，团结合作，发现、归纳、总结规律。同时每一个学生自己试一试在直角坐标系中画一个自己喜欢的一个图形，并写出图形变化后对应点的坐标，达到巩固目的。

3、迁移拓展：怎样用所学的知识测量我校旗杆的高度。(承上启下的作用)

五、理论依据、数学思想

1、理论依据：本节在教学中采用以学生的发展为核心，让学生真正做到课堂的主人，整节是围绕学生的观察感知，实践，概括把坐标思想与图形变化的思想联系起来。

2、数学思想：本节发展数形结合，形象思维的数学思想。

第二层次：教学展开分析

(一)课题引入：设计一个简单游戏，在班级座位中创造性地建立直角坐标系，确定每位同学在这个坐标系中的位置，接着将一个球按线在班级坐标系中运动，引导学生去发现这个球的移动对坐标变化的影响，并由此过度到图形变化中关键点的坐标变化。这样的设计能较为生动的引导学生进入本节课的教学情景中，同时也能感受将“游戏问题转化为数学问题”的过程。

(二)感知阶段：

例：将右图中的ΔAOB沿x轴向右平移3个单位后得到ΔCDE，三个顶点的坐标有什么变化呢?请回答(1)平移后ΔCDE顶点坐标为多少?(2)比较顶点坐标你发现了什么?

(沿X轴向右平移之后，三个顶点纵坐标都没有改变，而横坐标增加一样数)

问：1、沿任意方向平移三角形顶点坐标怎么变化?

2、图形作轴对称、旋转、放大或缩小，对应点坐标如何变化?

设计意图：使学生明确本节是研究图形变化对应点坐标如何变化，从平移入手，懂得研究的方法;老师的提问为学生指明方向。但得让学生明确平移方向不是唯一。

(三)深入探究：演示课件

1、请学生观察ΔAOB，画出以X轴，Y轴为对称轴的对称图形，写出了对应点的坐标，四人小组讨论对应点的变化情况，并汇报，(关于X轴对称，横坐标不变纵变为相反数，关于Y轴对称，纵坐标不变横变为相反数)

2、请学生继续观察ΔAOB，画出绕O旋转1800的图形写出了对应点坐标，四人小组讨论对应点坐标变化情况，并作汇报。问旋转任意角度呢?对应点的坐标作如何变化?(留给学生思考)

(图形关于原点对称，横纵皆为相反数)

3、三角形变大(缩小)时顶点坐标变化情况。

问：(1)ΔAOB和它缩小后得到ΔCOD三角形顶点是多少?

(2)你能求出它们的相似比吗?(3)对应点的坐标有什么关系?

(放大或缩小，横坐标都扩大或缩小相同的倍数)

4、学生取出自己准备的坐标纸建立直角坐标系，并任意画出自己所熟悉喜欢的图形，画出以X轴Y轴对称的对称图形作出它经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小的图形并写出对应点的坐标。

5、完成课堂练习P91习题1、2

设计意图：让学生自己动手、观察，动脑，与同学合作交流达到本节目标。使学生明确图形运动与坐标变化规律，解决本节重点问题。培养学生的动手能力与观察能力，发展学生数形结合思想，解决难点问题。打破教材束缚画三角形、四边形的范围，由学生画自己“喜欢的图形”进一步研究图形运动与坐标;激发学生学习兴趣;使学生敢于面对学习和生活的困难和挫折，培养学生坚强的意志品质。

(四)迁移拓展：假如给你一把尺子你会测出我们学校旗杆的高度吗?

设计意图：通过知识拓展承上启下的作用。

(五)课堂小结：

(1)图形沿x轴平移，横变纵不变;

图形沿y轴平移，纵变横不变;

(2)图形关于x轴对称，横不变，纵为相反数;

图形关于y轴对称，纵不变，横为相反数;

(3)

图形关于原点对称，横纵皆为相反数。

(4)放大或缩小，横纵坐标都扩大或缩小相同的倍数。

(六)布置作业：同步练习P351、2、3

第三层次：教学设计和教学结果预测以及评价

本节课注意培养学生动手、动脑、观察及严谨性，效果较好。

轴对称图形分析篇8

高中数学函数对称性的教学是考试和发展学生思维的关键，而高中函数对称性教学中，对常见对称函数的梳理是非常重要的，本文针对该问题进行了详细的探索，供高中数学老师参考。

二、高中函数对称性教学的重点和难点

函数模块是高中数学的重点也是难点，函数的性质是历年高考数学试题的重点和热点。其中函数的对称性是函数的一个基本性质，学生学习了函数的定义、单调性和奇偶性之后，已经能由图像的直观性理解数学的本质。学生需要通过函数对称性的学习，提高综合运用知识及方法技巧分析问题、解决问题的能力。具体讲，就是要通过函数知识的运用，培养学生的理性思维能力；通过探究思考，培养学生的实践能力、观察能力、判断能力；通过实际问题的解决，培养学生分析问题、解决问题的能力和表达交流的能力。下面将从两个方面来讨论函数的对称性。

中学数学的教学应该努力揭示数学概念、法则、结论的形成和发展过程，揭示人类探索真理的艰辛与反复。要通过典型例题的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的经历，体会蕴含在其中的思想，体验寻找真理和发现真理的方法，追寻数学发展的历史足迹。下面笔者将给出一些例题。

三、常见函数的对称性

第一，常数函数。y=c（c∈R）。既是轴对称又是中心对称，与该直线垂直的直线均为其对称轴，直线上所有点均为其对称中心。

第二，一次函数。y=kx+b（k为一次项系数≠0，k≠0，b为常数）。既是中心对称又是轴对称，对称中心为原点，对称轴为与该直线相垂直的直线。

第三，反比例函数。y=k/x（k∈R且k≠0）。既是轴对称又是中心对称，对称轴为y=x与y=-x，对称中心为原点。

第四，二次函数。y=ax2+bx+c（a≠0）。是轴对称， 不是中心对称，对称轴为x轴 。

第五，指数函数。y=ax（a>0且a≠1）（x∈R）。既不是中心对称也不是轴对称。

第六，对数函数。y=logax（a>0，且a≠1）。既不是中心对称也不是轴对称。

第七，幂函数。y=xa（a为常数）。幂函数中非奇非偶函数不具有对称性；幂函数中的奇函数中心对称，对称中心为原点；幂函数中的偶函数为轴对称，对称轴为x=0。

第八，正弦函数。y=a sin（ωx+φ）（ω≠0）。既是中 心对称又是轴对称，对称轴为方程 ωx+φ=kπ+ 的解。

第九，正切函数。y=tanx。是中心对称，不是轴对称， 对称中心为（0 ，0）。

第十，三次函数。三次函数中的奇函数中心对称，对称中心为原点，其他三次函数的对称性通过求导得极值点进行作图判断。

以上就是对常见函数的对称性总结归纳，要理解掌握，不能死记硬背，这就需要学生结合实际的习题及函数图像，自己体会，理解记忆，活学活用，在实践中体会以上常见函数的对称性特点，真正做到举一反三，思维发散。

四、实例分析

举例分析：在高中数学教学过程中，教师都意识到函数自身对称性极其重要，其教学难度也给教学过程带来极大的挑战。

2013年上海市春季高考数学试题）已知真命题：“函数y=f（x）的图像关于点P（a、b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”。

（1）将函数g（x）=x3-3x2的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图像对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标；

分析：函数图像的平移，对于学生来说是从初中认识二次函数的图像就已经掌握的一个重要知识点。结合奇函数关于原点对称的特点，学生应该很容易理解题设的正确性。

解析：（1）通过平移容易得到所求函数的解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2。

由题设可知，对称中心的研究可以归结为研究原来函数是否为奇函数或者是如何将原函数看做某个奇函数通过适当的平移变换得到的。这就要求学生对于一些常见的奇函数的例子必须清楚，如仅含奇数次的多项式函数、正弦函数、正切函数等。由题发现，研究的对象是一个多项式函数，要使其成为奇函数，就必须只留下奇数次的项。

因此，假设g（x）=x3-3x2经过适当平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b

由以上讨论可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2。从而g（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称。

由上面的证明方法，我们可以得到一个关于三次函数的重要结论：

三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是关于点对称，且对称中心为点（-b13a，f（-b13a））。

（2）同（1），假定经过适当平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此时要求该函数为一奇函数。由不等式2x+2a14-a-x>0的解集关于原点对称，得a=2。此时f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）。任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标是（2，1）。

五、结束语