曲线运动习题范文

曲线运动习题篇1

一、近年来曲线图在各地高考试卷中呈现的情况，以及解题要注意几个环节

近年来曲线图在全国各地高考试卷中呈现频率大，考查题型既有选择题也有非选择题，如2007年全国文综一卷第21题1956～1965年间我国粮食生产的基本状况曲线图；2007年北京文综第12～第13题中国2000多年来的气温变化曲线示意图；2007年上海高考历史第35题英、德、日、中四国人均GDP曲线图；2008年上海高考历史卷第29题反映1870～1956年中国民族资本主义发展趋势的曲线图；2009年安徽文综第14题中国绘画的发展状况曲线图；2009年福建文综第24题对始终开放的经济体和始终封闭的经济体曲线图的解读；2009年江苏历史第12题中美贸易变化曲线图；2009年北京文综第40题，中华人民共和国成立以来，形成了三次与外国建交的高峰曲线图；2010年上海卷第27题罗斯福新政前后银行倒闭数量的变化的曲线图；2010年天津文综第9题我国经济发展中“单位GDP能耗”年度变化曲线图；2010年北京文综第39题英国煤产量增长曲线图；2010年山东文综第14题我国四个时期国内生产总值增长率的变化曲线图；2011年上海文综第29题1927～1937年中国共产党党员人数发展曲线图；2011年山东文综第15题1600～1913年西班牙、荷兰、英国和美国人均国内生产总值变化曲线图；2011年福建文综第24题黄金价格1968～1999年月平均曲线图；2012年福建文综卷第38题1952～1965年国民生产总值指数曲线图。

曲线图试题一般由曲线图和设问两部分组成。解题要注意如下几个方面：

首先，解答曲线图题要先读懂曲线统计图，找准、找全图表信息，理解曲线图的内涵，围绕曲线图内容，把握设问的时间、范围、程度和本质。

其次，理清曲线图与所学知识内容的联系。看曲线统计图上的内容如时间、文字、出处等，同时要根据设问要求、答题范围，确定图表与所学知识是否相关，对号入座。

最后，要根据曲线所表明的轨迹与状况，曲线的基本趋势（升或降），思考这种趋势背后的历史原因，结合课本知识进行分析、判断并简要表达结论。

二、在课堂复习导入时运用曲线图，对知识进行有效整合，让学生从整体上理解和把握本课的知识脉络

如我在复习人民版必修Ⅱ专题六罗斯福新政与当代资本主义的第三节当代美国资本主义新变化时，运用了下面的“二战后美国经济发展”曲线图（图1）：

图1

上述曲线统计图把二战后美国经济发展的基本线索形象地表示出来。通过分析美国在二战后经济发展的曲线图，引导学生得出美国经济在二战后的特点：（1）较长时期经济持续繁荣，高度发展。（2）低通货膨胀和低失业同时出现。（3）经济运行机制发生深刻变化。打破了经济增长、失业率和通货膨胀联动的关系，出现“新经济”时代。

三、课堂上运用曲线图复习专题，使学生从整体上把握专题知识结构，明确专题内各章节之间的关系及该专题在模块中的地位

首先，教师引导学生动手绘制曲线图，如用曲线图绘出新中国成立以来几个时期的经济发展脉络（图2：20世纪50～70年代工农业生产总值变化的曲线图）。

图2

其次，把曲线图绘得较准确的学生请上讲台在黑板上演示。最后，引导学生思考：（1）此图反映了20世纪50～70年代中国社会经济发展的典型特点是什么？（2）1957～1960年经济衰退的主要原因是什么？（3）1960年后为什么又出现经济发展上涨趋势？（4）“”期间出现的两次经济复苏的主要原因是什么？（5）新中国成立后至改革开放前，中共在经济建设方面取得了哪些重大成就？又有哪些重大失误？从中应吸取哪些经验教训？

以此，培养学生的动手实践及思维能力。

四、在巩固小结时，运用曲线图对学生进行有效的思维训练，提升复习备考的效果

既可以由教师为学生展示，让学生根据所学的知识判断；也可以让学生自己制作。如让学生制作中国近代经济结构变化曲线图，使学生掌握中国近代经济结构变化的基本线索，加深了解中国经济结构的变动概况和中国民族资本主义的发展概况并分析其原因。或教师运用曲线创设情景，如图3：1840～1956年代表中国近代经济发展结构图，然后引导学生思考中国近代经济结构具有多元化特点，存在着封建经济、洋务经济、民族资本、官僚资本、外国资本等多种成分。（1）根据图示分别指出图3曲线中①、②、③、④、⑤分别属于哪一种经济形式？（2）指出五种经济成分在中国大陆的结局及其原因。这样就让这几条波动曲线形象地把中国近代的经济发展脉络展示在学生面前。这比用文字简单介绍更能使学生形成良好的思维，从而达到训练学生思维能力的目的。总之，在历史复习备考中，适时地运用曲线图，不仅有利于激发学生复习历史知识的兴趣，使学生从整体上理解和把握知识脉络，加深对教材或所学知识的理解，而且也有利于提高学生分析问题和解决问题的能力，提高复习备考的实效性。图3

参考文献

[1]谢坚江.有效运用历史图表培养学生思维能力[J].新课程研究（教师教育），2010（6）.

[2]张先清.漫谈历史图表在教学中的运用[J].快乐阅读，2011（22）.

[3]郭小鹰.高中历史教学中图表的有效运用[J].福建基础教育研究，2012（4）.

[4]徐同钦.试论历史教学中图表的运用[EB/OL].http：∥.cn.

曲线运动习题篇2

关键词：几何画板；动态；逼近

[?] 教材分析

导数是研究函数最值、函数单调性等重要性质的重要工具，是研究线段科学技术必不可少的工具. 曲线上一点处的切线是《导数及其应用》教学的奠基，它不仅仅是导数意义的几何体现，而且在其研究过程中所涉及的辩证思想本身就具有重要的教育价值，它是激发学生自主学习的动机.

苏教版选修2-2教科书是利用局部“以直代曲”的辩证思想，通过“问题串”的设计，借助几何画板这个现代化的多媒体教学手段，利用形象直观地“放大图形”的朴素方法，逐层深入，帮助学生理解“以直代曲”的辩证思想；再运用几何画板动态地反映由割线逼近切线的过程，体会割线斜率与切线斜率的关系，把“以直代曲”的思想数量化，由学生自己亲身经历和感知由割线逼近变成切线的动态过程. 这样做不但为教师和学生提供了广阔的活动空间，使学生更深刻形象地体会到由“量变到质变”的哲学原理，而且还促进了教学方式和学习方式的转变.

[?] 教学目标

1. 通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的几何背景；

2. 借助几何画板，应用形象直观的“放大图形”的朴素方法，帮助学生形象直观地理解“以直代曲”的辩证思想，并介绍数学史，培养学生的爱国热情；

3. 在理解“以直代曲”思想的基础上，运用几何画板的动点功能，掌握“割线逼近切线法”，并会用“无限逼近法”求曲线在一点处的切线的斜率.

[?] 教学重点

1. “以直代曲”的思想的渗透；

2. “割线逼近切线法”的掌握和初步运用.

[?] 教学难点

“以直代曲”思想及“割线逼近切线法”的理解.

[?] 教学方法

情境・提炼・引导・探究.

[?] 教学手段

多媒体几何画板课件辅助教学.

[?] 教学过程

1. 复习回顾

3. 建构数学

（1）在如何刻画曲线在某一点处的变化趋势的驱动下，提出“放大图形”的朴素方法；

学生在如何刻画曲线在某一点处的变化趋势的驱动下，为能较清楚观察出曲线在某一点处的变化趋势，“放大图形”就成了一条切实可行的方法，为此笔者设计了以下探究步骤：

探究1：通过将P点附近的曲线放大，你能得出怎样的结论？

解决方法：利用几何画板的作图、放大功能，借助图形的视觉效果，形象、直观地放大图形，使学生较易接受和理解“以直代曲”.

学生活动：你能举出平时接触过的“以直代曲”的例子吗？

设计意图说明：对于图形的放大功能和处理的易操作性，几何画板在此时的教学中能够得到很好的体现，让学生感知到“以直代曲”的图形依据，进而总结出“以直代曲”的辩证思想. “化曲为直、以直代曲”的辩证思想实现了整体与局部的互换，使得以常量代替变量成为可能，有利于将复杂问题转化为简单问题.

链接：割圆术与圆周率

中国古代三国时期的刘徽与南北朝时期的祖冲之利用割圆术曾经创造了π值的世界纪录，并保持一千多年之久.

解决方法：利用几何画板工具箱中的圆规工具画圆，结合几何画板特有的编辑参数值功能，对n赋值，运用割圆术计算圆周率.

课后探究：试以n=6和12为例研究用割圆术计算圆周率π的方法.

设计意图说明：由数学中的经典实例出发，加深学生对“以直代曲”辩证思想的理解和掌握. 通过几何画板的编辑参数值功能编写数学教学软件，展示“以直代曲” 思想在解决数学问题中的可操作性和实际应用性.

（2）寻找经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线L

探究2：如图2所示，直线L1，L2为经过曲线上一点P的两条直线.

（1）试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线.

（2）在点P附近你能作出一条比L1，L2更加逼近曲线的直线L3吗？

（3）在点P附近你能作出一条比L1，L2，L3更加逼近曲线的直线L4吗？

解决方法：课前利用几何画板的动态展示功能，编写好曲线上割线逼近切线的功能，通过不断抛出“问题串”，逐层深入地讲解和演示，让学生形象生动地体会割线逼近切线的关系.

学生活动：你还能作出比L1，L2，L3，L4更加逼近曲线的直线吗？怎样才能找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线L？你能否通过上述过程的展示，归纳总结一下切线的定义？

设计意图说明：由几个层层递进问题的设置，使点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C，帮助学生逐步感知割线逼近曲线变成切线的过程. 同时结合几何画板的作图、动画等功能，使点Q无限逼近点P，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线，形象化展示由割线逼近切线、由割线斜率过渡到切线斜率的过程，让学生能够更直观化地体会“以直代曲”思想数量化的意义和过程，理解曲线切线的逼近定义.

4. 数学运用

（1）简单运用

书后习题：练习1“利用直尺，用割线逼近切线的方法作出下列曲线在P点处的切线.”

解决方法：先由学生自行作图处理，最后运用几何画板作图中的动态功能进行逐一演示，再次强化和巩固“割线逼近切线”的数学方法.

设计意图说明：设计以上简单运用，目的是为了让学生亲手应用“割线逼近切线”的作图方法，体会切线定义的形成过程，为接下来的学习和研究做好准备.

（2）深入运用

设计意图说明：练习1、练习2主要是巩固学生对本节课知识点的理解，有助于学生做到融会贯通，加深对知识点的理解. 这两道题目的设置在于让学生从形和数两方面、多层次地运用知识点，提高学生对知识的应用能力，进而完成对知识点的理解和巩固.

5. 回顾小结

（1）思想：已直代曲；

（2）方法：割线逼近切线；

（3）知识：计算曲线上一点处切线的斜率.

曲线运动习题篇3

【关键词】圆锥曲线；课堂教学；过程优化

在《圆锥曲线方程》的这一章教学中，曲线的图像、性质都比较抽象，只凭学生想象力是很难理解和掌握这些曲线与方程、图像和性质之间的相互关系.如何让学生根据曲线的定义动手，亲自制作出较为精确的曲线，从而使学生在制作图的过程中，领悟、理解进而真正的建立起完整的圆锥曲线概念，进而理解如双曲线的渐近线、圆锥曲线与开口方向的关系、直线与圆锥曲线位置关系等？ 笔者尝试使用几何画板进行整合教学，利用几何画板精确的画图功能、动画功能，就更新圆锥曲线教学内容的呈现方式、促进圆锥曲线教学的最优化、开展数学实验等方面进行了一些探讨，以引起学生的学习兴趣，帮助学生理解、掌握，提高数学教学的有效性.

一、优化圆锥曲线的几何性质教学过程

1.几何画板在讲解圆锥曲线定义中的应用

几何画板中的作图工具里，可以作出定点、定直线、动点、动直线，可以度量出两定点之间的距离、点到直线的距离及其这些距离的和、差功能，对于椭圆上的点到两定点的距离的和是一个常数它也能够用直观的数量关系表示出来.比如在讲椭圆定义时，可以由“到两定点F1、F2的距离之和为定值的点得轨迹”着手，如图（1），令线段AB的长为“定值”，点M为线段AB上一点，分别以F1、F2为圆心，AM、BM的长为半径作圆，先让学生猜测这两圆的交点的轨迹会是什么图形，等学生各抒己见之后，老师进行演示，学生豁然开朗：“原来是一个椭圆”.这时老师继续拖动点A，试图改变线段AB的长度，学生开始认真的思索，当AB=F1F2时，满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2，最后比较容易发现当AB

2.通过圆锥曲线第二定义探究曲线的离心率与开口大小之间的关系

运用几何画板作出如图（2）圆锥曲线的图像，拖动点E，则离心率e的值随之变化，此时图形也相应变化，当0

3.帮助学生理解双曲线的渐近线

新课标人教版圆锥曲线章节对双曲线的渐近线没有给出严格的定义，在黑板上也只能画出粗略的简图表示，学生较难想象更理解不了，在此借助几何画板就可以把双曲线与渐近线之间的特殊关系准确地显示出来，如图（3）所示，拖动点F1或F2双曲线开口会变大或变小，在第一象限内，点P、点Q分别在双曲线与渐近线上，拖动点P，使得点P和点Q同时向右平移，PQ的值越来越接近0，这说明，在第一象限内，双曲线向右上方越来越接近相应的渐近线，但是永远不会相交.同理在左上方、左下方和右下方也都可以用此方法演示.考察过程中灵活的运用几何画板的强大的动画功能，使图形动起来，且自然流畅，对想象能力相对差点的学生帮助很大.

4.探究抛物线的开口大小与p之间的关系

椭圆的圆、扁程度和双曲线的开口大小与其离心率e有着密切的关系，然而抛物线的离心率是不变的.那么抛物线的开口大小跟什么有关呢？通过几何画板的演示、探究，如图（4）以y2=2px（p>0）为例，学生会发现，抛物线的开口随着p的变大而扩大，且抛物线的焦点F也逐渐的向右平移，通径AB的长也随着变长，再通过几何画板强大的计算功能显示，焦点F的坐标与通径长与p的代数关系，从而使学生比较容易理解抛物线的这一性质.

二、几何画板与圆锥曲线整合教学的效果分析

1.创设情境，改善认知环境

创设情境是数学教学的前提条件，建构主义教学理论也是强调学习情境的创设，它可以为学生创设思维情境.用几何画板创设问题情景，可以改善学生的认知环境，促进学生对所学内容的建构.几何画板可以为圆锥曲线学习创设与学习目标直观形象的数学情景.如：在学习椭圆第二定义时，学生会感到很困惑，如果直接用教材中的方式来定义，学生会更加摸不着头脑，他们在学习中会提出如此的问题：第一定义和第二定义是否有本质联系？为什么要用这种方式对椭圆下第二个定义？如此的问题，如果在传统的方式下授课，换来的只有学生的盲目附和，无法将学生的疑惑解除.为此笔者借助几何画板另辟蹊径，通过适当的数学实验，改善认知环境进行整合教学，使学生烟消云散、茅塞顿开，进而大大地增加了学生学习数学的自信心.

2.动态展示教学的内容，使静态图形动起来、抽象的内容形象化

几何画板的动态功能将圆锥曲线的图形动起来，通过平移、缩放、旋转及其翻折等多视角、多方位呈现圆锥曲线的图形，通过数形结合研究对动态的对象进行“追踪”，并且显示对象的“轨迹”问题、直线与圆锥曲线之间的位置关系、通过拖动某个点观察整个圆锥曲线的变化从而研究曲线方程中变量的关系，使抽象的曲线变得具体、形象、生动且易于理解.比如，高三模拟考里的一道题目：讨论方程（5-t）x2+（t-1）y2=（t-1）（5-t）表示的是什么曲线？在讲评试卷时，如果我们只是把它化成标准形式从理论到理论，静态的探究，显然不直观.但是如果我们利用几何画板，把t值“动起来”，可以观察到当t连续变化时，此方程表示的曲线是如何动态的由“横椭圆”变“竖椭圆”逐渐变成双曲线.学生能够直观清晰的看到各种情况的演变，比起老师的讲评更有说服力，从而开阔了学生的思维.

三、反思

长期以来，圆锥曲线一直被认为是高中数学里一个高度抽象的内容，对于具有对称美的标准方程和曲线图像，发现问题、思考问题、解决问题的思维轨迹常常受阻，学生在学习过程中感到抽象而被动，不知如何思考、如何探索？几何画板与圆锥曲线的合理整合教学要求坚持发现和探索原则，教师的教学实施能力是整合的必然要求，笔者认为教师在具体运用几何画板整合教学中要注意以下几点：（1）要对教学内容作精心编排，合理设计几何画板课件，为学生提供探究的线索和阶梯；（2）要注意留给学生充分的思考空间和自由度；（3）几何画板整合教学要讲究质量和效果，且要有新意，进行数学实验教学的内容应对传统课堂教学方法难以达到的或者根本不可能达到的实验教学效果的内容，而不是为了实验教学而进行实验；（4）几何画板为学习更深层次的抽象的数学提供可能，但是它还是无法代替具体的数学活动，从教师的角度看，几何画板与圆锥曲线的整合教学只是对传统教学方式的一种有益的补充，它促进了教师教学思想的更新，使 “讲授知识”的传统模式向以“探索知识”为特色的模式转变，这也正符合现在《新课程标准》所提倡的“三维目标”的和谐统一及其时下提倡的研究性学习对教师的要求.

【参考文献】

[1]缪亮，朱俊杰，李捷.几何画板辅助数学教学[M].北京：清华大学出版社，2004.

[2]姚淑华，李孝诚，几何画板在中学数学教学中应用模式的探讨[J]，电脑知识与技术，2008，30.

曲线运动习题篇4

《圆锥曲线的统一定义》是苏教版高中数学选修2-1第二章第五节的内容。本教科书对本章总体设计思路是“总―分―总”,即先从整体上认识圆锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系,再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质,进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题。这一设计体现了数学的文化价值、科学价值及应用价值,反映了数学的美学意义,遵循了“适度形式化”的课程理念。

【教学目标】

1.知识与技能目标:

通过本节的学习,了解圆锥曲线的统一定义,掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用。

2.过程与方法目标:

教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线,通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。

3.情感、态度与价值观目标:

通过本节的学习,可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力,感受圆锥曲线的统一美。

【重点与难点】

重点:圆锥曲线统一定义的推导。

难点:对圆锥曲线统一定义的理解与运用。

【教法分析】

将椭圆、双曲线的统一定义安排在学习抛物线之后集中处理,是从整体、统一以及追求和谐的理念出发的设计。教学时以抛物线的定义作为新知识的生长点,设计了用电脑实验探索的问题情境,为猜想的形成提供足够的感性认识的基础。再通过建立方程加以证实。

根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用也需要学生掌握。所以,在教学中也设计了形式多样的练习,如填表等,让学生在趣味中形成新的认知结构。

【学法分析】

对圆锥曲线的统一定义和性质,鼓励学生根据方程形式、图形特征进行直觉猜想,通过对特殊情形的研究引发从特殊到一般的归纳猜想。同时,也不忽视让学生适当运用方程等工具进行逻辑探索,从各个侧面、不同层次上提高学生的数学素养。

【教学过程设计】

1.复习回顾

椭圆的定义:平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。

双曲线的定义:平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线。

抛物线的定义:平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

设计意图:本节内容是圆锥曲线的统一定义。回顾一下三种圆锥曲线的定义分别是怎样的,有助于熟悉知识点,找出定义角度的异同,为提出问题打下基础,起到承上启下的作用。

2.问题情境

平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

当这个比值是一个不等于1的常数时,动点P的轨迹又是什么曲线呢?

设计意图:利用电脑显示随着比值(即离心率)的连续变化,曲线的演变过程。提出类比、猜想,得到圆锥曲线的统一定义。

3.探究发现

设计意图:无论是何种猜想,在可能的情况下都应该通过方程或建立方程加以证实。本题点P的轨迹方程是椭圆的标准方程很好地验证了上面的猜想,并且得到了比值(小于1)就是椭圆的离心率。从而使学生学会从多个角度(如代数的、几何的角度)认识同一个数学对象。

设计意图:通过学生自己动手进一步掌握圆锥曲线统一定义的应用,做到查漏补缺。

6.回顾总结

(1)圆锥曲线的统一定义。

(2)求点的轨迹的方法。

(3)数形结合的思想。

7.课后作业

《数学之友》本节内容

【板书设计】

【专家点评】

江苏省特级教师徐玉卿老师:整堂课精彩生动,学生兴趣盎然,很有收获。这节内容本身在原来教材中是分别在椭圆、双曲线、抛物线的几何性质之后以例题形式呈现,但新教材中单独以一节列出,还是想体现圆锥曲线的统一性,从更高的形式上揭示圆锥曲线之间内在的关系,使学生充分感受数学的内在的、和谐的美。这在课堂中得到了很好的体现。

全国优秀教师陈远老师:课堂气氛活跃,学生反应积极,是一堂成功的课。这节内容开设公开课不太容易,不易出新出巧。总体不错。

【教学反思】

1.教学方法上:突出教学内容中主要的、本质的东西,将这堂课的具体任务与整个教学任务合理地结合起来,选择最合理的教学方法和手段。

2.学习的主体上:课堂不再成为“一言堂”,学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”,课堂为学生的主动参与提供充分的时间和空间。

3.媒体运用上:利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性,以提高课堂效益。用Flash软件辅助作图,动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激。

4.存在的问题:总体来说,这堂课的效果不错,但由于例题梯度设置得不够合理,或者是由于公开课的原因,导致少许学生学得有点吃力,需要课后再慢慢消化。另外,学生的学习能力有待加强。

曲线运动习题篇5

一、重、难点的理解

（一）教学重点的理解

教学重点是指教学中的重点内容，是课堂教学中需要解决的主要矛盾，是教学的重心所在。重点的界定与三维目标的界定基本保持一致：从知识系统上看，重点应是指那些与前面知识联系紧密，对后续学习具有重大影响的知识、技能；从文化教育功能上看，重点应是指那些对学生有深远教育意义和功能的内容，主要是指对学生终身受益的思想、精神和方法；从学生的学习需要上看，重点应是指学生学习遇到困难需要及时得到帮助解决的疑难问题。简称为知识重点、育人重点和问题重点。

（二）教学难点的理解

教学难点是指那些太抽象、离学生生活实际太远的、过程太复杂的、学生难于理解和掌握的知识、技能与方法。难点的界定可以从以下几个角度来看：一是该知识远离学生的生活实际，缺乏感性认识；二是该知识较为抽象，学生难于理解；三是该知识包含多个知识点，知识点过于集中；四是该知识与旧知识联系不大，多数学生对与之联系的旧知识遗忘。

因此，对教学重难点的清楚理解，能为今后在确定重点和难点时，提供一个很好的依据。

二、以“双曲线的简单几何性质”为例

（一）教材分析

1.教材中的地位及作用

本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

2.教学目标的确定及依据

平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。

（1）知识目标：

①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；

②掌握双曲线标准方程中的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明；

③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。

（2）能力目标：

①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；

②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

（3）情感目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。

3.重点、难点的确定及依据

对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现及接受、理解和掌握其证明方法都有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。

4. 教学方法

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，同时也有利于建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。

渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念特征，培养思维的深刻性。

例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。

（二）教学程序

（三）教学流程

1. 复习引入

我们已经学习过椭圆的标准方程和双曲线的标准方程，以及椭圆的简单的几何性质，请同学们来回顾这些知识点，对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备，利用多媒体结合图像进行演示。

2.观察、类比

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中采用类比的方法，让学生自己探究。首先观察双曲线的形状，试着按照椭圆的几何性质，归纳总结出双曲线的几何性质。学生一般能用类似于推导椭圆的几何性质的方法得出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，对知识的理解不能浮于表面只会看图，也要会从方程的角度来解释，抓住方程的本质。用多媒体演示，加强学生对双曲线的简单几何性质范围、对称性、顶点（实轴、虚轴）、离心率的巩固。之后，比较双曲线的这四个性质和椭圆的性质有何联系及区别，这样可以加强新旧知识的联系，借助于类比方法，引起学生学习的兴趣，激发求知欲。

3. 双曲线的渐近线的发现、证明

（1）发现

由椭圆的几何性质，我们能较准确地画出椭圆的图形。那么，由双曲线的几何性质，如何较准确地画出双曲线的图形？通过几何画板演示，光有范围、顶点、对称性这几个性质是不能描述的。

接下来让学生猜想双曲线有何特征？由于双曲线的对称性，我们只须研究它的图形在第一象限的情况即可。对于“随着的增大，双曲线逐渐趋于直线”这一问题是难点，我采用借助于几何画板的绘图功能，将双曲线在第一象限的右支进行延长，让学生初步感知渐近线的存在，从而达到克服难点的目的。接着再引导学生从方程上进行分析：方程（第一象限）。对于“当无限增大，可忽略不计”这一问题，又是一个难点，为了突破这一难点，这里设计了现实生活中“捐款”的实例以帮助学生更好理解，同时潜移默化地渗透了方程的思想和极限的思想。进一步地，提出问题“在确定的情况下，对于与，它们的y值哪个更大？”从而说明了曲线一定在直线的下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势可以利用对称性得到，从而可知双曲线（a>0，b>0）的图形在远处与直线无限接近，直线叫做双曲线（a>0，b>0）的渐近线。

【评析】将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，从已有知识出发，层层设疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念特征，能培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。

（2）证明

如何证明直线是双曲线（a>0，b>0）的渐近线呢？

启发思考①：首先，逐步接近，转换成什么样的数学语言？（x∞，d0）

启发思考②：锁定第一象限后，具体地怎样利用x表示d

（工具是什么：点到直线的距离公式）

启发思考③：让学生设点，而d的表达式较复杂，能否将问题进行转化？

分析：要证明直线是双曲线（a>0，b>0）的渐近线，即要证明随着x的增大，直线和曲线越来越靠拢。也即要证曲线上的点到直线的距离

|MQ|越来越短，因此把问题转化为计算|MQ|。但因|MQ|不好直接求得，因此又可以把问题转化为求|MN|。

启发思考④：这样证明后，还须交代什么？

（在其他象限，同理可证，或由对称性可知有相似情况）

【评析】引导学生层层深入的进行探究，从而更深刻的理解双曲线的渐近线的发现及证明过程，有效地突出了重点也突破了这一难点。

（3）深化

再来研究实轴在y轴上的双曲线（a>0，b>0）的渐近线方程就会变得容易很多，此时可利用类比的方法或者利用对称性得到焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程即为。以及双曲线的渐近线另一种简单求法，即将方程中的1变成0，化简即可，这里并不做深入的探究。

【评析】这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确的画出双曲线。但是如果仔细观察渐近线实质就是双曲线过实轴端点、虚轴端点，作平行与坐标轴的直线所成的矩形的两条对角线，数形结合，来加强对双曲线的渐近线的理解。

4. 离心率的几何意义

椭圆的离心率反映椭圆的扁平程度，双曲线离心率有何几何意义呢？不难得到：，这是刚刚学生在类比椭圆的几何性质时就可以得到的简单结论。通过对离心率的研究，同样也可以使学生进一步加深对渐近线的理解。

由等式，可得：，不难发现：e越小（越接近于1），就越接近于0，双曲线开口越小；e越大，就越大，双曲线开口越大。

【评析】双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形，这一过程突出了这一重点。

5. 例题分析

为突出本节内容，使学生尽快掌握刚才所学的知识。我选配了这样的例题：

例1.求双曲线9x2-16y2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。

【选题意图】在拿到一个双曲线的方程之后若不是标准式，要先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量。本题求渐近线的方程的方法：（1）直接根据渐近线方程写出；（2）利用双曲线的图形中的矩形框架的对角线得到。加强对于双曲线的渐近线的应用和理解。

变1：求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。

【选题意图】和上题相同先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量；但求渐近线时可直接求出，也可以利用对称性来求解。

变2：已知双曲线的渐近线方程是，且经过点（15/4，3），求双曲线的标准方程。

【选题意图】在已知双曲线的渐近线的前提下，如何利用已知信息求解双曲线的方程。方法1：分焦点在x轴，焦点在y轴分别求解；方法2：确定点所在的区域，定方程的形式，然后求a、b。深化知识，加强应用，使知识系统化。

【评析】例题的选备采用一题多变（变条件，变结论）的方法，训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力，巩固所学知识，突破本课重难点。

三、小结

曲线运动习题篇6

本学期继续使用教科版《必修二》，共五章，分别为第一章《抛体运动》、第二章《匀速圆周运动》、第三章《万有引力定律》、第四章《机械能和能源》和第五章《经典力学的成就与局限性》

二、教学目标：

本学期完成以下教学目标。

1. 知识目标：以平抛运动和匀速圆周运动为例，研究物体做曲线运动的条件和规律；万有引力定律的发现及其在天体运动中的应用；功和能的概念，以及动能定理和机械能守恒定律。

2. 方法目标：学会运动合成和分解的基本方法；引导学生体会万有引力定律发现过程中的思路和方法。

3. 能力目标：培养学生分析问题的能力；培养学生从能量的观点和守恒的观点来处理的能力。

三、教材分析：

第一章《抛体运动》可分为两个单元：

第一单元第一节，讲述物体做曲线运动的条件和曲线运动的特点．

第二单元第二节、第三节，讲述研究曲线运动的基本方法──运动的合成和分解，并用这个方法具体研究平抛运动的特点和规律，这是本章的一个重点内容．

第二章匀速圆周运动可分为两个单元：

第一单元第一节、第二节，讲述匀速圆周运动的描述方法和基本规律．

分析匀速圆周运动的实例以及离心现象．

第二单元第三节、第四节，讲述圆周运动的实例分析

第三章《万有引力定律》章可分为三个单元：

第一单元第一节，学习开普勒关于行星运动描述的有关知识．

第二单元第二节和第三节，学习万有引力定律的知识．

第三单元第四节，学习万有引力定律在天体运动中的有关知识．

第四章《机械能》可分为四个单元：

第一单元第一节和第二节，讲述功和功率。

第二单元第三、四、五节，讲述动能和动能定理、重力势能。

第三单元第六、七节，讲述机械能守恒定律及其应用。

第五章《经典力学的成就与局限性》只有一个单元，即经典力学的成就与局限性。

四、教学进度表：

教学进度周计划安排表

周次日期

12．21—2．27曲线运动及习题课

22．28—3．06运动的合成及分解、平抛运动

33．07—3．13平抛运动及习题课

43．14—3．20第一章测试及讲解

53．21—3．27圆周运动、匀速圆周运动的向心力和向心加速度

63．28—4．03圆周运动的实例分析及习题课

74．04—4．10圆周运动部分练习及单元测试

84．11—4．17天体运动及万有引力定律

94．18—4．24万有引力定律的应用及习题课期中复习

104．25—5．01期中考试

115．02—5．08功、功率及习题课

125．09—5．15势能、动能、动能定理

135．16—5．22动能定理习题课

145．23—5．29机械能守恒定律、能源的开发与利用

155．30—6．05经典力学的成就与局限性

166．06—6．12电荷、电荷守恒定律、库仑定律

176．13—6．19电场、电场强度和电场线、电势差及习题课

186．20—6．26电势差与电场强度的关系、电容器和电容

196．27—7．03静电的利用及危害及静电场单元检测

曲线运动习题篇7

一、对教材处理的建议

（一）明确解析几何的基本思想方法。

解析法（坐标法）；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何性质；强调解析几何解决问题数形结合的重要性；自始至终贯穿曲线与方程、方程与曲线的关系。

解析几何的基本思想方法是解析法（坐标法；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何问题。在《普通高中课程标准实验教科书•数学2》A版中首先建立直线、圆这两种平面上最简单的非封闭图形与封闭图形的方程，然后通过它们的方程，研究它们的几何性质。从大的范围看，“曲线与方程”“方程与曲线”的关系反映了空间形式与数量关系之间的关系，它用数及其运算为工具，在平面直角坐标系下，用代数方法研究几何问题，是数形结合的重要方面。

（二）抓住轨迹问题的本质――变化过程中的不变量，建立曲线的方程。

轨迹是由动点运动形成的曲线（或几何图形），其特点是，动点在运动变化过程中，始终有保持不变的量，由此我们建立轨迹的方程。通过轨迹的方程，判断轨迹的形状，研究轨迹的几何性质。

三种圆锥曲线的几何特征明显。在椭圆的学习过程中，我们从圆出发，给出“探究”栏目，通过把细绳的两端分开，让学生观察轨迹的形状，建立与已有知识的联系与区别。由画图的过程，探究形成轨迹的动点满足的几何条件，展现曲线的典型几何特征。在此基础上，给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称――椭圆。通过观察椭圆的形状，引导学生建立适当的直角坐标系，用点的坐标表示距离，建立椭圆的标准方程。其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程及标准方程的建立过程，都是与椭圆相类比展开的。

（三）注重实际背景和应用。

实际上，圆锥曲线与人类生活、生产及科研有着紧密的联系。本章引言说明三种圆锥曲线都是用不垂直与圆锥的轴的平面截圆锥面得到的。改变截面与圆锥轴的夹角，可以得到椭圆、双曲线、抛物线。这种引入，目的是使学生了解“圆锥曲线”名称的由来。另外在教材的正文中，还多次提到行星运行轨道、发电厂冷却塔的外形、抛物运动轨迹、探照灯的镜面，等等。

在教材的拓展栏目中，还安排了“探究与发现――为什么截口曲线是椭圆”；“阅读与思考――圆锥曲线的光学性质及其应用”。安排了大量的实例，注重实际背景和应用的目的是让学生感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的重要作用。

（四）重视信息技术工具的作用。

信息技术工具在解析几何的学习中有较大的支持作用，发挥的空间也比较大。在教材中，安排了很多“信息技术应用”的内容。

（1）利用信息技术工具向学生演示平面截圆锥的过程，通过改变截面与圆锥曲线的夹角，得出不同的圆锥曲线。信息技术工具的使用可以加深学生对圆锥曲线的直观认识。

（2）运用信息技术工具的“运动变化过程中保持几何关系不变”的特点，非常容易探索动点轨迹的形状。一方面，信息技术工具为我们创造了一个实验、发现、猜想的环境，在动态演示中，观察轨迹形成的原因、轨迹的形状，发现结论、形成猜想。另一方面，当我们求出轨迹的方程后，可以用信息技术工具帮助我们进行直观验证轨迹的形状，加深对方程所表示的曲线形状的理解。比如在教学中，对双曲线渐近线的研究是难点。从直观上看，双曲线的两支是向外无限延伸的，始终在渐近线形成的一组对顶角中，不会越过它的渐近线。教材通过“信息技术应用”栏目，让学生通过观察，发现双曲线的这一性质。正文中并没有给出严格证明，拓展性栏目“探究与发现――为什么y=±x是双曲线+=1的渐近线”给出了严格的证明，但不作为教学要求。渐近线的概念比较抽象，学生对它的理解需要一个过程。

二、值得注意的问题

（一）注意整个“解析几何”知识的前后衔接，准确把握教学要求。

必修《数学2》中的直线与方程、圆与方程，以及（文）选修1-1，（理）选修2-1中的圆锥曲线与方程，系列4中的“选修4-4坐标系与参数方程”一起构成了经典的平面解析几何内容的主干。要注意知识内容的衔接，把相关内容放在平面解析几何内容的通盘考虑，切实把握每部分的教学要求。特别注意的是新课程标准规定的教学要求中，椭圆的内容要求“理解”，双曲线的内容只作“了解”，抛物线的内容理科要求“理解”而文科要求“了解”。

准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好新课标的精神，第二是把握好学生的实际。根据新课标的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大。如何控制教学要求是个难点。高中的教学时间有限，全体学生都必须掌握的重点课程应以最基础的知识和最基本的技能为主，要使学生切实把基础打好，不要过分重视技巧性很强的难题。从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求。

（二）圆锥曲线的第二定义、圆锥曲线的统一定义，以及非标准形式的圆锥曲线方程不作教学要求。

教学中，老师经常说到圆锥曲线的“第二定义”、圆锥曲线的离心率与统一方程，尽管是非常经典的内容，但不作为基本的教学要求。考虑到它们的意义，椭圆、双曲线的“第二定义”在教材的相关部分的例题有所体现，但没有明确给出它们的“第二定义”。在拓展性栏目“信息技术应用――用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆”和“信息技术应用――用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线”虽然给出了上述两种圆锥曲线的“第二定义”，但是不作要求。

在教材中安排了一个拓展性栏目“探究与发现――圆锥曲线的离心率与统一方程”，供学有余力的学生学习参考。但是这些大纲明确说明不作为基本要求，不要给学生补充这方面的内容。不然就给学生增加了难度，也增加了老师的负担。

曲线运动习题篇8

一、优化圆锥曲线的几何性质教学过程

1.几何画板在讲解圆锥曲线定义中的应用

几何画板中的作图工具里，可以作出定点、定直线、动点、动直线，可以度量出两定点之间的距离、点到直线的距离及其这些距离的和、差功能，对于椭圆上的点到两定点的距离的和是一个常数它也能够用直观的数量关系表示出来.比如在讲椭圆定义时，可以由“到两定点F1、F2的距离之和为定值的点得轨迹”着手，如图（1），令线段AB的长为“定值”，点M为线段AB上一点，分别以F1、F2为圆心，AM、BM的长为半径作圆，先让学生猜测这两圆的交点的轨迹会是什么图形，等学生各抒己见之后，老师进行演示，学生豁然开朗：“原来是一个椭圆”.这时老师继续拖动点A，试图改变线段AB的长度，学生开始认真的思索，当AB=F1F2时，满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2，最后比较容易发现当AB

2.通过圆锥曲线第二定义探究曲线的离心率与开口大小之间的关系

运用几何画板作出如图（2）圆锥曲线的图像，拖动点E，则离心率e的值随之变化，此时图形也相应变化，当0

3.帮助学生理解双曲线的渐近线

新课标人教版圆锥曲线章节对双曲线的渐近线没有给出严格的定义，在黑板上也只能画出粗略的简图表示，学生较难想象更理解不了，在此借助几何画板就可以把双曲线与渐近线之间的特殊关系准确地显示出来，如图（3）所示，拖动点F1或F2双曲线开口会变大或变小，在第一象限内，点P、点Q分别在双曲线与渐近线上，拖动点P，使得点P和点Q同时向右平移，PQ的值越来越接近0，这说明，在第一象限内，双曲线向右上方越来越接近相应的渐近线，但是永远不会相交.同理在左上方、左下方和右下方也都可以用此方法演示.考察过程中灵活的运用几何画板的强大的动画功能，使图形动起来，且自然流畅，对想象能力相对差点的学生帮助很大.

4.探究抛物线的开口大小与p之间的关系

椭圆的圆、扁程度和双曲线的开口大小与其离心率e有着密切的关系，然而抛物线的离心率是不变的.那么抛物线的开口大小跟什么有关呢？通过几何画板的演示、探究，如图（4）以y2=2px（p>0）为例，学生会发现，抛物线的开口随着p的变大而扩大，且抛物线的焦点F也逐渐的向右平移，通径AB的长也随着变长，再通过几何画板强大的计算功能显示，焦点F的坐标与通径长与p的代数关系，从而使学生比较容易理解抛物线的这一性质.

二、几何画板与圆锥曲线整合教学的效果分析

1.创设情境，改善认知环境

创设情境是数学教学的前提条件，建构主义教学理论也是强调学习情境的创设，它可以为学生创设思维情境.用几何画板创设问题情景，可以改善学生的认知环境，促进学生对所学内容的建构.几何画板可以为圆锥曲线学习创设与学习目标直观形象的数学情景.如：在学习椭圆第二定义时，学生会感到很困惑，如果直接用教材中的方式来定义，学生会更加摸不着头脑，他们在学习中会提出如此的问题：第一定义和第二定义是否有本质联系？为什么要用这种方式对椭圆下第二个定义？如此的问题，如果在传统的方式下授课，换来的只有学生的盲目附和，无法将学生的疑惑解除.为此笔者借助几何画板另辟蹊径，通过适当的数学实验，改善认知环境进行整合教学，使学生烟消云散、茅塞顿开，进而大大地增加了学生学习数学的自信心.

2.动态展示教学的内容，使静态图形动起来、抽象的内容形象化

几何画板的动态功能将圆锥曲线的图形动起来，通过平移、缩放、旋转及其翻折等多视角、多方位呈现圆锥曲线的图形，通过数形结合研究对动态的对象进行“追踪”，并且显示对象的“轨迹”问题、直线与圆锥曲线之间的位置关系、通过拖动某个点观察整个圆锥曲线的变化从而研究曲线方程中变量的关系，使抽象的曲线变得具体、形象、生动且易于理解.比如，高三模拟考里的一道题目：讨论方程（5-t）x2+（t-1）y2=（t-1）（5-t）表示的是什么曲线？在讲评试卷时，如果我们只是把它化成标准形式从理论到理论，静态的探究，显然不直观.但是如果我们利用几何画板，把t值“动起来”，可以观察到当t连续变化时，此方程表示的曲线是如何动态的由“横椭圆”变“竖椭圆”逐渐变成双曲线.学生能够直观清晰的看到各种情况的演变，比起老师的讲评更有说服力，从而开阔了学生的思维.

三、反思