高等数学类课程直观性教学法的探索

摘要：本文将结合笔者的教学实践，以“概率论与数理统计”课程作为实例，对高等数学类课程直观性教学进行探索，介绍了如何利用图像、动画、电影、流程图、标注图、表格等多媒体技术手段，将教学内容直观化、形象化，实践表明这种处理教学内容的方法是非常有效的，对其他层次数学课程的教学也有很好的借鉴作用。

关键词：文氏图;图像;动画;电影;流程图;表格;图形标注

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）20-0167-02

高等数学类教材特点是文字叙述严谨、字符运算多、公式多、定理多，但推理严密、逻辑性强、抽象难懂，学习者甚至需要通过逐字逐句地去推敲、思考、理解、想象、练习等过程，才能掌握。在教学过程中，怎样将涉及到的数学思想方法、概念、定理、解题步骤、特殊情况等抽象内容生动、形象、直观地表现出来，充分调动学生的感觉器官以及空间想象能力，以便尽快理解并掌握所学内容，一直是高等数学教学中一个亟待解决的问题。以前已经有不少教师进行过讨论，提出了很多有意义的解决办法[1-3]。本文将结合“概率论与数理统计”课程教学实践，说明如何利用文氏图、图像、动画、电影、流程图、标注图、表格等多媒体技术手段处理教学内容。

一、随机事件的直观化

文氏图通常用于直观地表示抽象集合，“随机事件”是样本点的集合，自然可以用文氏图表示。在设计时，要注意不同的事件涂不同的颜色，对事件运算如：■，A∪B，AB，■■，A-B，B-A等，要能用动态方法体现出运算结果，动画过程不要太快，这样才能给学生较深刻的印象;同时概率减法公式P（A-B）=P（A）-P（AB）、概率加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）也可以按动画过程说明，论证更加直观，理解相当容易。甚至多个事件的德・摩根定理也可以用动态文氏图设计，这样难懂、难记的公式一下子就变活了。如果学生能够掌握并正确地使用文氏图，就会对随机事件的运算、概率公式等结论更好的理解，运用更自如。

二、概率函数的直观化

绘制函数图像是直观化函数的有效途径。概率函数是指利用概率定义的函数，比如分布函数、分布律、概率密度函数、似然函数等。虽然这些函数仍然符合经典函数定义，具有自变量、表达式、定义域、值域，但是学生总觉得它们与“高等数学”中学习的函数不一样。比如分布函数，教师除了需要讲清楚定义中的各个细节外，最好能求出不同类型随机变量的分布函数表达式，并绘制它们的图像，看着图像分析分布函数的特点，就会非常形象地将分布函数的各个细节展现出来，让学生对分布函数有一个全面的感性认识，使他们更细致地了解分布函数的细节，从而有利于抓住分布函数所固有的特征。通过对大量分布函数图像的观察，可以顺利地对随机变量进行分类：（1）离散型――分布函数是阶梯形函数;（2）连续型――分布函数为连续函数;（3）其他型――分布函数为其他类型。再比如，概率密度函数也有很多不同的特性，比如：允许有间断点吗？必须连续或可导吗？单峰还是多峰函数？这些特性会对分布函数或似然函数有什么样的影响？密度函数有那些共同的性质？要回答这些问题只要绘制各种类型密度函数的图像，用图形来“说话”，就会比抽象的分析更容易接受。似然函数是由样本发生概率定义的，但是求似然函数时经常被一些学生忽略掉样本数据，各种类型的教材中也很少介绍它们的图像，如果教师能结合不同的样本数据，求出一些似然函数并绘制出它们图像，那么展示在学生面前的将是栩栩如生的似然函数，不再是枯燥无味的表达式。通过图像对比还可以发现：单峰直方图或密度函数对应的似然函数也是单峰图像，最大值点就是驻点，不必检验二阶导数的负性。

三、连续参数的直观化

随机变量分布函数或者数字特征中常常有连续变化的参数，它们都是一些抽象的不会“动”的字符，当这些参数连续变化时会有连续渐变的几何图形与之对应，这时就可以采用帧动画支持直观性。比如讲正态分布N（？滋，？滓2）时，通常？滋是位置参数，？滓是形状参数，但是如果将？滋或？滓按一定的步长在某个范围内变化，就可以将不同参数密度函数图像作为帧，制作成动画或电影进行播放，这样会更加突出位置和形状的渐变效果，使两个参数的几何意义深深地刻在同学们的脑海里。在二维正态分布N（？滋1，？滋2，？滓12，？滓22，ρ）中，参数ρ所起的作用是相关系数，概率密度函数图形怎样随ρ变化？如让ρ按步长0.1变化，将每个ρ对应的正态分布N（0，0，1，1，ρ）密度函数图像作为帧，制作成动画播放，同学们会惊奇地发现当ρ接近1，密度曲面越来越接近一块平面薄片（图1），因此就容易理解定理|ρ|=1的充要条件是随机变量X、Y与概率1具有线性关系，对相关系数的意义就有了比较深刻的认识。对常见统计量的分布，如：x2平方分布、t分布、F分布，也可以按一系列自由度逐个绘制它们的密度函数图像，作成帧动画或电影，就可以形象地观察了解密度函数随自由度的渐变规律：什么自由度时概率密度上升较快？何时又上升较慢？概率密度是如何衰减的？概率集中在哪个范围？对应的分位点在哪？等等。实际上，几乎所有“概率论与数理统计”教材的附录中都列举了很多常见的分布，这些分布中都带有参数，它们都有相应的概率意义，都具有连续变化的特点，但它们有什么几何意义呢？强烈建议教师、同学们能够充分运用MATLAB等数学软件中的绘图和AVI函数，将渐变参数对应的一系列图形制作成动画，再配上优美的音乐，让抽象的参数“动”起来，在看电影的享受中学习数学。

四、求解过程的直观化

流程图可以方便地描述算法的步骤，它同样也适合描述解题步骤。在“概率论与数理统计”课程中有些问题的求解方法是比较独特的，建立方法的原理也不易理解，要想让同学们在短时间内掌握，可行的办法就是将求解步骤分解，利用流程图描述求解过程，然后在PPT课件中动态显示，即时讲解，一目了然。比如：求参数置信区间，很多教材都是用文字来叙述求解方法或步骤，但是若用流程图（图2）来描述就更形象了，十分有利于学生对方法的掌握，不必去死记公式，生搬硬套公式。一般地，对复杂的求解过程若能将它分解成尽可能简单的步骤组合，使每步涉及的原理与公式都很单一，然后再画出求解的流程图，就可以各个击破，降低学习过程的难度。所以在多媒体教学课件设计中，灵活使用流程图对解题训练可以起到非常好的效果。

表格化处理也是很好的直观工具。比如：在处理二维离散型随机变量函数的分布或数字特征时，若将计算过程设计成一个表格（图3），在课件中展示给同学们，教师和学生都会感觉一目了然，直接观察就可以得到结果。千万不要用课本[4，5]上那些带有多个下标求和的∑公式去计算，这样弄错的概率会很大。

五、特殊情况的直观化

采用图形标注方式可以将定义或定理中的特殊情形表示出来。数学中的定义或定理通常是对一般情况的描述，这掩盖了一些常用的特殊情况。比如：课本[4，5]中n=2时，全概率公式和贝叶斯公式是什么？相应的样本空间划分是什么？还有自由度n=2时，x2分布是指数分布吗？如此内容还有很多。教师要挖掘这些特殊情况，在课件中对定义、定理、公式的特殊情况进行图形标注，用标注闪烁或晃动等方式吸引同学们的注意力，提高同学们的关注度。教师要提醒学生对定义、定理养成考虑特殊情况、充分挖掘特殊情况，学会从特殊到一般的良好思维习惯，这样能够起到好的学习效果。

前面介绍了如何利用文氏图、图像、动画或电影、流程图、表格、标注图等多媒体技术手段对“概率论与数理统计”课程部分内容进行直观化处理技术，它们都可以通过Microsoft Office PowerPoint，Mathworks MATLAB等软件实现。在“概率论与数理统计”教学过程中，我们根据教材[4，5]研制了多媒体教学课件（PPT格式），并在多年教学过程中不断丰富、完善，起到了非常好的教学效果，在其他数学课程的教学过程中，我们也在积极探索这些多媒体技术的使用。

参考文献：

[1]李未材.优化高等数学多媒体教学的几点策略[J].中国大学教学，2009，（11）：58-59.

[2]张素梅.概率论与数理统计C课件的制作和应用[J].山东师范大学学报・自然科学版，2008，（2）：25-26.

[3]葛虹，刘国庆，王勇.概率统计类课程多维立体教学的实践与认识[J].大学数学，2005，（6）：7-10.

[4]周圣武，周长新，李金玉.概率论与数理统计[M].第二版.北京：煤炭工业出版社，2007.

[5]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2010.