浅谈用辩证思想求解数学题

摘 要：从具体与抽象，特殊与一般，静止与运动，整体与局部的辩证思想中找到解决数学问题的方法。

关键词：辩证思想

中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2012）12（a）-0216-01

数学中充满着矛盾，也处处渗透着辩证法。于是解决矛盾的过程不但是一个运用辩证法的过程，也是推动数学向前发展的过程。因此，在中学数学教学中，教师要善于引导并培养学生学会运用辩证的思想方法来探索问题、研究问题、解决问题。本文就如何运用辩证思想解决数学问题谈点浅见。

1 具体与抽象的辩证关系

把抽象的问题同相应的感性经验材料联系起来，使得数学问题具体化、直观化，通过具体直观的性质，使问题的解决过程变得简单化。

例1：定义在实数集R上的奇函数为增函数，偶函数在区间的图像与的图像重合，设，给出下列不等式：

分析：这是一道高考题，是当年的难题；因为本题的函数比较抽象，直接来做困难很大，如果将满足题设的函数具体化，问题方便得解。令代入检验可选。

2 特殊与一般的辩证关系

抓住问题的特殊性，利用特殊元素、特殊位置，优先处理或合理分类，使问题的解决一目了然，条理清晰，思路清楚。

例2：已知是两个公比不想等的等比数列，，证明：不是等比数列。（2000年高考题）

分析：欲证不是等比数列，只需证明中某连续三项不成等比即可。

设的公比分别为，因为：

=

=，

又，故不成等比数列，所以不是等比数列。

特殊问题与一般问题不是截然划分的，从辩证的角度看，一般问题的解决有赖于从特殊问题的思考中发现线索；一般问题解决以后，又可以解决更多、更新的特殊问题。

例3：比较两个幂20112012和20122011的大小。

分析：由于数据较大，计算困难，把问题一般化，考察函数，可以证明，当时是减函数，问题立刻解决。

3 静止与运动的辩证关系

辩证法告诉我们，运动是绝对的，静止是相对的，它们在一定条件下可以互相转化，我们要善于利用动与静之间的辩证关系去指导解题。

例4：解方程

分析：这是无理方程，按常规要经过两次移项且两边平方才能全部脱去根号，转化为有理方程，运算复杂。若把方程转化为，令，则方程可以转化为椭圆方程，由相关理论得到椭圆的标准方程，可方便得到。

解决运动型问题，要善于在运动中发现静止，以静制动，使问题得到解决。

例5：已知圆C：直线

，求证：对任意实数k，与圆C总有两个交点。

分析：通常总是用圆心到直线的距离与圆的半径的大小来判定，用算量大，十分麻烦，若挖掘直线中静止的因素，可获得简洁解答。

的方程用直线系可表示为：，显然直线恒过直线和的交点，而P点在圆内，故直线与圆C总有两个交点。

4 整体与局部的辩证关系

有些数学问题，如果只在整体或局部中周旋，往往思维杂乱，难以获解。这时若能从整体深入到局部或把局部拓展为整体，解题思路会豁然开朗。

例6：已知，且+，

求证：+

分析：本题若从整体上思考，则难以下手，但若局部考虑，各个击破，很快获证。

因 …，

把上列各同向不等式相加，再利用：

即可获证。

有些问题局部解决较为棘手，若整体思考，则会柳暗花明。

例7：设分别为三角形的三条边长，求证：

分析：此问题的难点是分母是一个多项式，难以入手；如果把分母看作整体，

令：，则，可得到：

，式左=

·

，显然当时等号成立。

参考文献

[1] 郑洪浩.运用转化思想求解数学题[J].连云港师范高等专科学校学报，2002（4）：64-65.

[2] 王英明.辩证思想在数学解题中的运用[J].数学大世界：初中版，2012（Z1）：48.