运动的合成与分解

运动的合成与分解是解决复杂运动的一种基本方法。所谓求合运动，是指求合运动的位移速度和加速度。位移速度和加速度均为矢量，合成和分解遵循平行四边形法则。小船过河问题是运动合成与分解中的一个难点问题，同学们在解这类问题时，总觉得无从下手。我在教学实践中总结了关于小船在河水中运动问题的一些解题思路和方法，以帮助同学们走出困境。

一、船速和水速在同一直线上的问题

顺水和逆水行舟，是在一条直线上的运动和速度的合成，在解这类问题时，如果变换参照物，会容易得多。

例1：一渔人在河中乘舟逆流航行。经过某桥下时，一只木桶落入水中，半小时后才发现，即回头追赶，在桥下游5千米处赶上。设船速一定，求水流速度。

解析：当渔人以桶为参照系时，即以流动的水为参照系，以桶落入水中为计时时刻，当渔人发现时，船行进了半小时，当回头追赶时，船与桶的相对距离不变。因此在船速不变的情况下，也只需半小时，就能追赶上。前后往返时间为1小时。再看水流的速度，当桶掉入桥下水中时，在水带动下，1小时离桥为5千米。故水速为v==千米/小时=5千米/小时。

二、小船过河问题

例2：若小船横渡宽为d米的河流，水流速为v，船在静水中的速度为v。①船以最短时间渡河到达对岸，求时间速度和位移。②船以最短距离到达对岸，求时间速度位移？

分析和解答：①如图1所示，船在流水中行驶的合运动是由船在静水中的速度和水速两个分运动速度合成的。由合运动和分运动的等时性可知，合运动的时间和分运动的时间是一样的。船以最短时间过河，只要判断分运动的时间最短便可。显然船在静水中过河时间最短，在船速一定下，位移最短时间就最短，即垂直过岸。

最短时间为t=

此时船速为v=，方向与水平方向的夹角为tanθ=

沿岸漂流的位移为s=vt

合位移为S==，方向与水平方向夹角为tanθ=

不难算出，合速度的方向与水平方向的夹角和合位移与水平方向的夹角相等，当船以最短时间过河时，运动方向是一定的。

②最短距离即垂直距离，即合运动是垂直河岸的，即s=d。分两种情况讨论。

1．当船在静水中的速度v大于水流v时，船行驶方向如图2所示。

此时船速为v=

到达对岸的时间为t=S/v=d/v

不难算出，此时t>t，

船头偏离垂直河岸的方向tanθ=。

2.船在静水中的速度v小于水流速v时，船运动最小距离的求解方法如下。

以水流速v的末端为圆心，以船速v的大小为半径作圆，然后以水速的始端为圆外一点，沿船运动的方向作圆的切线，该切线与河岸相交的线段长度即为最短距离，如图3所示，该切线的方向就是合速度的方向（同学们可自己尝试证明）。

此时船速为v=

船头偏离垂直河岸的方向cosθ=

船的最小位移为S==

船过河的时间为t=

不难算出，此时t＞t。

由12讨论可知，不论水速大于船速，还是船速大于水速，船过河的最短时间都是一定的。

例3：一人以不变的速度面向河对岸游去，游到河中间时，水的流速增大，则渡河人实际所用的时间比预定的时间（?摇?摇）。

A?郾增长B?郾不变C?郾减少D?郾不确定

解析：根据运动的独立原理可知，B正确。

例4：某人划船渡一条河，当划行速度和水流速度一定，且划行速度大于水流速度时，过河的最短时间是t；若以最小位移过河，需时间t，则船速v与水速v之比是多少？

解析：小船沿直河岸方向过河时间最短，v=①。小船沿斜上游划船使船的合速度方向沿垂直河岸的方向，小船过河位移最短，=②。联立①②得=。

例5：如图4所示，一直河流的水速为v，一小船在静水中划行的速率为v，若这船在河流中航行，若船从一岸到另一岸路程s最短，河宽用d表示，则s和d的关系如何？

解析：若v＜v，小船沿斜上游方向划行，使合位移方向垂直与河岸，则s=d。当v＞v时，要使小船过河位移最小，小船的划行方向与水流速方向成θ角且与合运动方向垂直，如图4可知，cosθ==，则s=d。

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