从例题教学谈有效的数学课堂教学

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》给出了学习与教学的基本理念：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”；“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是学习的组织者、引导者与合作者”。在教学建议中提出：让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流。在研究有效的数学课堂教学的今天，例题教学是实现有效课堂教学的一个重要环节。

要在例题教学中实现有效的教学，可以通过以下三个途径去探索：

一、例题选择

例题的选择非常重要，选择好的例题并讲透能巩固基础知识和基本方法，能起到示范作用，体现解题常规思路，能让学生了解问题的变化，引申问题的背景，能渗透数学思想，能启迪学生思维，促进学生数学思想方法的形式，调动学生学习的积极性、主动性、创造性。所以上课要选择容量、难度适中，具有基础性、典型性、综合性、灵活性和开放性的例题，选择例题要由易到难，要有层次。为使所选例题有效，课前应广泛地收集、创造性地开发课程资源。可以从各种不同版本的教材上挑选例习题，从最近两三年的全国各地中考试题中精挑细选，可以使用原题，最好能自行加工编制，选择例题或编制例题的方法有：（1）通过数学游戏编制例题；（2）利用数学故事编制例题；（3）利用数学实验编制例题；（4）巧设悬念编制例题；（5）通过阅读编制例题；（6）利用实际问题编制例题。备课时应精心设计有思维价值或思考力度的例题二至三个。通过精心编制数学例题，力图在课堂教学中使学生在主动参与中积极地生成、发现新知（方法）或体验、感悟新知（方法）。

如在讲a2-b2=（a-b）（a+b）因式分解平方差的公式应用时，例题选择要有公式的直接运用，还要选择包含

①-b2+a2=-（b-a）（b+a），

②a4-b4=（a2+b2）（a2-b2）=（a2+b2）（a+b）（a-b），

a4-b2=（a2+b）（a2-b）

③（a+b）2-c2=（a+b+c）（a+b-c），

（a+b）2-（c+d）2=（a+b+c+d）（a+b-c-d）等公式的应用，如可选择下列例题：

①分解因式：36-a2

②分解因式：-m2+n2

③分解因式：81-a4b4

④已知：三条线段的长分别是a、b、c，且满足（a+b）2-c2>0，那么这三条线段能否围成一个三角形？为什么？

讲解时要强调变形公式，要引导学生灵活掌握应用公式而不能一味死背公式或生搬硬套公式，这样选择好的例题，学生不仅巩固了公式还深化了公式。

二、例题教学

课堂教学过程中，常常看到教师出示题目后，自己读一遍题目后，马上就进行分析并板书解题过程，一题接一题，根本不顾及学生的反应及实践接受能力。有些教师的教学方式单调，以老师讲，学生听的灌输式教学方法为主，而且过于平铺直叙，缺乏递进式的动态教学，教师的讲解不能围绕课堂教学的重点、难点展开，抓不住问题的核心。教师没有给学生留下自主学习、整理、反思的时间。教师不能适时地对学生进行学法指导，学生学习的积极性差、自主性差，独立思考问题的意识弱。教师讲解过程中，对自己思维过程的暴露不够到位。教师对学情的了解不够，授课的针对性差。提问学生时，不能给学生留下足够的独立思考的时间；不能够让学生把自己的想法彻底表述清楚、明白。在上述教学思想、方法的影响下，课堂教学活动缺少了学生的共同参与和主动探索，学生被动地学习，

思维呆板，视野狭窄，课堂教学效率低下。

其实，这样的例题教学的有效性无从谈起。在例题教学中，出示例题后要先留给学生足够的阅读和独立思考的时间，然后再组织讨论或进行指导；要让学生经历、体验、领悟到解决问题的策略；要注意学生的参与面及参与度；要体现、渗透数学思想方法。

例题教学时，可以试着给学生足够的时间让其先做，在此基础上，教师认为有必要时，可给予适当的指导、点拨或讲解。讲解例题时要注重引导学生，引导学生审题，从已知条件得出推出事项或从结论探求所需的条件，或从特殊入手，或动手实践等。要通过典型例题引导学生学会思维转换的方法，体会学科的基本思想；并指导学生养成独立思考的习惯。

不仅要启发学生思考问题，还应启发学生更广泛、更深刻地去思考问题，通过例题进行推广、深化，使问题在更大范围内或更深刻的程度上得到进一步的认识，从而对解题方法，所学知识进行巩固加深，使问题向纵深方向发展，从而得到更多、更深刻的结论和方法。例题讲解要引导学生注重前后知识的连贯、例题的已知条件改变和一题多解的分析，要把学生的基础知识串在一起，启发学生思维，开拓学生思路。

例题不仅能够复习巩固基础知识，而且能够培养学生思维的递进性、深刻性、灵活性、广阔性和批判性。教学中可以采取以下策略：（1）例题和习题的选取体现层次性，降低思维起点，使例题贴近学生的思维起点，然后步步为营，在问题得到解决的同时使思维得到升华。（2）例题的学习以学生自主学习为主，学生能做让学生独立做；较难的例题可以提示后，让学生自己做；对复杂例题，可以师生共同理清思路后，教师写出主要过程，让学生自己完整解答。（3）注意探求例题所蕴涵的数学思想和方法，准确把握事物本质及规律性联系。（4）重视一题多解，从不同角度去思考、观察、联想例题，得到不同的解题途径。（5）注意对例题进行挖掘、引申、演变、推广。

如听了一位教师执教苏科版数学教材九上1.5《中位线》第二课时的课，大致流程是：提问学生什么是三角形的中位线；顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形是什么特殊四边形；顺次连接矩形的各边中点得到的四边形是菱形，那么顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么原来的四边形一定是矩形吗？……完全按课本上的顺序进行，期间容不得学生哪怕一点点的节外生枝。

后来我在设计这节课时，一开始就提出上节课解决了的一个问题：依次连接三角形的各边中点得到的三角形与原三角形的形状、大小的关系，马上提出依次连接四边形的各边中点得到的四边形与原四边形有关系吗？如果有，有什么关系？这样就把三角形和四边形的问题紧密联系起来，使学生在复习旧知识的同时主动思考、探求新知识，而且在解法上、探求新知识的方法上寻找规律，以便于学生理解和掌握。

在讲解一个例题时，一定要把例题讲深讲透，再利用因果倒置、改变已知条件或结论、将问题特殊化、一般化等方法，利用不同渠道，将例题改变，让学生从中学会多种解法，从中寻找出一般化规律以便于理解，从而促使学生复习旧知识，训练思维的灵活性，同时也可让学生比较方法的优劣。

如在上面《中位线》的案例中，选用的例题：例1.依次连接任意四边形的各边中点得到的四边形是什么特殊四边形，你能说明理由吗？由于学生画图时画出的任意四边形中有一般四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等，所以得到的特殊四边形也不相同，在引导学生交流后，得到一致的结论：平行四边形。在证明时，学生用了三种不同的方法，分别是只用三角形中位线的数量关系、只用三角形中位线的位置关系、既用三角形中位线的数量关系也用位置关系。接着改变题目条件，问：顺次连接矩形的各边中点得到的四边形是什么特殊四边形，你能说明理由吗？这里在学生独立思考时我就发现有学生用全等的知识证明，显然他并没有与前面的例题联系起来，当然大多数学生能用三角形中位线的知识解决，这也有两种不同的回答：一是重述前面的证明过程后证明有一组邻边相等，一是直接说由前面的例题可知，得到的四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，思路虽然一样，但思维品质却不是一样的。再接着反过来思考，问：例2.顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么原来的四边形应是一个怎样的四边形呢？你能说说吗？例3.顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来的四边形一定是菱形吗？为什么？由上面的例1、例2、例3，你能得到什么想法，思考后，再与小组内同学交流你们的想法，然后由小组代表向全班同学汇报。通过例题及一系列的提问，既综合应用了所学三角形中位线的知识、特殊四边形的性质与判定，还让学生学会了处理问题的策略，发展了学生解决问题的能力。

在减负的前提下，只有向课堂要效益，才能不断提高教学的有效性，而向课堂要效益，只有精心选择例题，并把例题讲深讲透，注重前后知识联系，注重一题多变，一题多解，注重思想方法的渗透，才能在数学教学中取得丰硕的成果。

三、例题反思

反思是学生对自身学习活动进行回顾、思考、总结、评价、调节的过程。教师积极为学生创造反思条件，强化学生的反思意识，培养学生自觉对自己的学习过程进行反思的习惯，能够增强学生的学习能力，促进他们全面发展。在例题教学中，师生共同解答一道题目后，教师要及时引导学生进行反思，这不是简单的回顾或检验，而是引导学生根据问题的结构特点，通过对题意的理解、思路的形成、解题的书面表达的反思来进一步揭示解决数学问题的思维过程，开发学生的解题智慧，掌握规律，形成知识的正迁移，达到举一反三、触类旁通的目的。解题后还可以引导学生对题目的结论进行反思，以培养学生的创造性；引导学生反思自己在学习过程中的学习态度，使学生学会自我评价、自我赞赏，激发学生的内驱力，提高学习信心，增添学习动力。实践表明，在教学中不失时机地引导学生进行反思，在反思中优化学生的思维品质，才能提高学生的数学综合素养。

（作者单位 江苏省张家港市大新中学）