浅谈中考中的分类讨论思想

【前言】浅谈中考中的分类讨论思想由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。解 当a－5=0即a=5时，原方程是关于x的一元一次方程，有x=－■； 当a－5≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，欲使方程有实数根，就要满足 Δ=b2－4ac=（－4）2－4（a－5）·（－1）？叟0解得a≥1，而a=5也在a≥1的范围内 故选A 小结： 方程、不等式及函数中如果含有字母...

近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性，全面性.在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是在平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够.怎样利用分类讨论思想解题呢？下面本文结合中考题归纳七类需要运用分类讨论思想解题的重要题型，供同学们参考：

第一类 由字母系数引起的分类讨论

例1 关于x的方程（a －5）x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）

A． a≥1 B． a＞1且a≠5

C． a≥1且a≠5 D． a≠5

解 当a－5=0即a=5时，原方程是关于x的一元一次方程，有x=－■；

当a－5≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，欲使方程有实数根，就要满足

Δ=b2－4ac=（－4）2－4（a－5）·（－1）？叟0解得a≥1，而a=5也在a≥1的范围内

故选A

小结： 方程、不等式及函数中如果含有字母系数，则需要运用分类讨论思想来处理.

（1） 方程中含有参与运算的字母系数：①对于形如ax=b的一元一次方程其解的情况如下：当a≠0时，有唯一解为x=■；当a=0，b=0时，有无数多个解；当a=0，b≠0时，无解.②对于形如ax2+bx+c=0的方程，需要判断a是否为0，并在此基础上运用根的判别式加以讨论研究.

（2） 对于形如ax>b的一元一次不等式，当a>0时，解集为x>■；当a

（3） 一次函数的斜率k、二次函数的二次项系数a、一次项系数b和常数项c，对图像的形状、大小以及位置都起着决定性的作用，对这些量的讨论是函数问题中永恒的话题.

第二类 由分母是否为0引起的分类讨论

例2 已知a，b，c为非零实数，且满足■=■=■=k，则一次函数y=kx+（1+k）的图像一定经过（ ）

A. 第一、二、三象限 B. 第二、四象限

C. 第一象限 D. 第二象限

解 ①若a+b+c≠0，则由等比定理性质得：

k=■=■=■＞0，从而有1+k=■>0，

此时y=kx+（1+k）的图像经过第一、二、三象限

②若a+b+c=0，则有a+b=－c，a+c=－b，b+c=－a，此时k=－1，1+k=0

从而知y=kx+（1+k）的图像经过第二、四象限

综合①和②得，y=kx+（1+k）的图像一定经过第二象限，故选D

小结： 分式方程、代数恒等式变形以及一些综合题型中常会出现由分母是否为0引起的分类讨论，此时要注意“分而治之”.

第三类 由绝对值引起的分类讨论

例3 函数y1=│x│， y2=■x+■．当y1＞y2时，x的范围是（ ）

A. x＜－1 B． －1＜x＜2

C． x＜－1或x＞2 D． x＞2

解 当x＞0时，y1=x，由y1＞y2得x＞■x+43，解得x＞2；

当x=0时，y1=0，y2=■，不满足y1>y2；

当xy2得－x>■x+■，解得x

综上得，x

小结： 解决有关绝对值问题的方法通常是利用去绝对值法则进行分类讨论，将绝对值符号消去，其去绝对值法则如下：a=a＝？摇a（a>0）0（a=0）－a（a

第四类 由存在特殊情形引起的分类讨论

例4 四个数据8、10、x、10的平均数与中位数相等，则x等于（ ）

A. 8 B． 10

C． 12 D. 8或12

解 依题意，本题可分以下三种情况进行讨论：

① 将这组数据按从小到大排列为x、8、10、10时，则有■=■，解得x=8；

② 将这组数据按从小到大排列为8、x、10、10时，则有■=■，解得x=8；

③ 将这组数据按从小到大排列为8、10、10、x时，则有■=■，解得x=12；

综上得x=8或x=12，故选D

小结： 当题目中含有不确定取值的字母时，应注意考虑其特殊情况，利用分类讨论思想求解，从而避免漏解.

第五类 由边、点的不确定引起的分类讨论

例5 用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形（提供的火柴棒全部用完），下列根数的火柴棒不能围成梯形的是（ ）

A． 5 B． 6

C． 7 D. 8

解 用5、7、8根火柴，可分别排成如上图所示的梯形.当用6根火柴时，可分以下三种情况讨论：①当上底为两根，两腰一边为一根时，则下底必为两根，这时所围成的图形是平行四边形；②当上底为一根，两腰一边为两根时，则下底必为一根，这时所围成的图形是平行四边形；③当上底为一根，两腰每边为一根时，则下底必为三根，这时可作如上图的辅助线，根据“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可判断该三角形ABC不存在.所以，当用6根火柴时，所有情况均不能围成梯形，故选B.

小结： 由于边、点以及图形的形状等的不确定，需要对问题进行分类讨论.如当等腰三角形中的底与腰不确定时，需要分情况进行讨论；如当全等三角形和相似三角形的对应点不确定时，需要分情况进行讨论.在进行分类讨论时，要抓住问题的实质，以便更快找到问题破解的关键点和突破口.

第六类 由应用题中的限制条件引起的分类讨论

例6 我市某商场为做好“家电下乡”的惠农服务，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机108台，其中甲种电视机的台数是丙种的4倍，购进三种电视机的总金额不超过147000元，已知甲、乙、丙三种型号的电视机的出厂价分别为1000元/台、1500元/台、2000元/台．

（1） 求该商场至少购买丙种电视机多少台？

（2） 若要求甲种电视机的台数不超过乙种电视机的台数，问有哪些购买方案？

解 （1） 设购买丙种电视机为x台，则购买甲种电视机为4x台，购买乙种电视机为108－5x台，依题意得：1000×4x+1500×（108－5x）+2000x≤147000解得x≥10

因此，该商场至少购买丙种电视机10台

（2） 依题意得：4x≤108－5x，解得x≤12，结合（1）得10≤x≤12

又 x为正整数 x=10，11，12？摇因此有以下三种方案：

方案一： 购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机分别为40台、58台、10台；

方案二： 购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机分别为44台、53台、11台；

方案一： 购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机分别为48台、48台、12台；

小结： 当所研究的应用题条件不确定或结论不唯一时，一般需分类讨论。

第七类 由图形位置引起的分类讨论

例7 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=■x2+■x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上。

（1） 求点B的坐标；

（2） 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E.延长PE到点D。使得ED=PE。以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）

① 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

② 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）.过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F.延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q 点运动时，M点，N点也随之运动）.若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值.

解 （1） 抛物线y=-■x2+■x+m2-3m+2经过原点，

m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2，

由题意知m1，m=2，抛物线的解析式为y=-■x2+■x，

点B（2，n）在抛物线 y=-■x2×■x上，n=4，B点的坐标为（2，4）

（2） ①设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，

A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为（10，0），

设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，

如图1.可求得点C的坐标为（3a，2a），由C点在抛物线上得2a=-■×（3a ）2+■×3a，即■a2-■a=0，解得a1=■，a2=0（舍去），OP=■.

② 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为yk2x+b，由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=-■x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：

第一种情况： CD与NQ在同一条直线上.如图2所示，可证DPQ为等腰直角三角形.此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位.PQ=DP=4t，t+4t+2t=10，t=■

第二种情况： PC与MN在同一条直线上.如图3所示，可证PQM为等腰直角三角形.此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位. OQ=10-2t，F点在直线AB上， FQ=t， MQ=2t， PQ=MQ=CQ=2t， t=2t+2t=10， t=2

第三种情况： 点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示，此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。 t+2t=10， t=y=-■.

综上，符合题意的t值分别为■，2， ■.

小结： 当题目未提供图形时，往往需要考虑分类讨论.这是因为当图形确定了，问题的结果也就确定了.但由于图形位置或者图形本身具有不确定性，从而无法给出具体图形.这就要求我们能根据题意画出不同的图形，以便更好地分类讨论.

综上可见，分类讨论思想在中考题中的应用是非常广泛的，也是我们解题的一个难点.因此，我们必须夯实基础知识，熟悉以上七类重要题型，灵活应用分类讨论思想，这样有关中考题便迎刃而解.