分解合成,以简驭繁

中考数学压轴题承担着体现试卷区分度，为高中尤其是重点高中甄别选拔优秀学生的“职能”，历来都是有志于冲击中考高峰的学生关注的焦点．为了帮助即将走上中考考场的这部分同学了解数学压轴题的解题方法，消除对压轴题的神秘感和畏惧心理，特选取2008年哈尔滨中考数学试卷的28题为例，从解题策略的角度加以解说．

范例：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+与x轴、y轴分别交于A，B两点，将ABO绕原点O顺时针旋转得到A′B′O，并使OA′AB，垂足为D，直线AB与线段A′B′相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．

（1）求点D的坐标；

（2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；

（3）若以动点为E圆心，以2为半径作E，连接A′E，t为何值时，tan∠EA′B′＝？并判断此时直线A′O与E的位置关系，请说明理由．

解说：诚如有关评论所言，这是一道熔待定系数法、数形结合与分类讨论思想于一炉，引导考生在探究过程中发现问题，提出问题，进而解决问题，在图形变换过程中考查考生的空间观念、推理与运算能力的一道好题．试题设计精巧，内容比较复杂，乍看起来会有头晕的感觉．而克服这种“见题而晕”的感觉正是我们在解压轴题时首先要具备的心理素质，防晕止晕的办法就是本文的标题：分解合成，以简驭繁．

我们首先要明白，压轴题好比是一座高峰，能够完美登顶的毕竟只是极少数的佼佼者，我们的目的是尽可能登得高一些．每向上走一步都是胜利，都会为我们在升学竞争中获得宝贵的优势．持这种开放的心态去解题，我们就可以从容镇定，从读题开始，享受征服的快乐．

“由已知推可知，扩展题设面；由求证想需证，探索证题术；由关系想联系，突破关键点．”类似这般老师在平时的教学中反复教导我们的方法，在这关键的时刻可以派上大用场．读者诸君如若不信，请听我为你条分缕析，娓娓道来：

(一)“如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+与x轴、y轴分别交于A，B两点”．试题开门见山，为我们提供了一个熟悉得不能再熟悉的条件．由这个条件我们可以轻易地求得A(－2,0)，B(0，)，AB＝5，进而可以得到我们所需的RtAOB的锐角三角函数值.

(二)因为OA′AB，垂足为D，我们从中可以轻易发现OD是RtAOB的高，利用三角形的面积知识，又可轻易求得OD ＝ 2.

(三)试题的第一个问题是“求点D的坐标”，依据常识，我们自然会过点D作DHx轴于H，如图3，利用同角的余角相等，借助RtAOB的锐角三角函数值，在RtODH中，求得OH＝，DH＝，从而得到D(－，)．至此，我们便取得了征服这道压轴题的第一个战果，为后续的解题奠定了基础．

（四）这时我们面对的第二个问题是：直线AB与线段A′B′相交于点G，动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒． 连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图4）求此时线段DE所在的直线的解析式．

要求线段DE所在直线的解析式，此前我们已经求出Ｄ (－，)，我们只需求出直线DE的另一个点的坐标，就可以利用我们熟悉的待定系数法求得直线DE的解析式．

（五）怎样确定另一点及其坐标呢？显然点E和点F的坐标都不便求出，这时可考虑求直线DE与y轴交点M的坐标. 点M具有什么特征呢?观察图形,我们不妨“大胆假设”点M是线段OB的中点,再依据条件和我们证这类问题的经验“小心求证”，从而求得M(0，)．下面的事情就是照章办事，用待定系数法求得直线DE的解析式为y＝－x+．

（六）在获得上述重要的第二阶段的成果之后，我们就可以放开手脚，集中精力，尝试攻克最后的“堡垒”了．请看第三个问题：若以动点为E圆心，以2为半径作E，连接A′E，t为何值时．tan∠EA′B′＝？并判断此时直线A′O与E的位置关系，请说明理由．

这时至关重要的是从字里行间找到解题的切入点．显然，问题“t为何值时．tan∠EA′B′＝？”中的条件“tan∠EA′B′＝”是合适的切入点，这里的tan∠EA′B′的表达式肯定是关于t的代数式，我们可以通过解方程求出t值．而要求tan∠EA′B′的表达式，首先要构造直角三角形．因为A′B′是确定的直线，而E是动点，所以我们应过点E作直线A′B′的垂线来构造直角三角形．如图5，显然，点E不能是直线A′B′与x轴的交点，所以要运用分类讨论的方法，求出两个不同t值．

(七)有了上面的“战略分析”，就可以从战术层面启动解题程序．考虑到分类的标准是点Ｅ是位于直线A′B′与x轴交点的左侧还是右侧，第一个动作就应该是求出直线A′B′的解析式．根据条件，我们不难求出A′（－2，4）和B′（2，1），进而求得直线A′B′的解析式为y＝－x+．

(八)求出了直线A′B′的解析式，就可求得直线A′B′与x轴的交点坐标N（，0）与线段A′N＝．以下再实施分类讨论，经过细致严谨的计算，求得t＝或t＝5时，tan∠EA′B′＝．

(九)现在只剩下最后一个小问题了：判断当tan∠EA′B′＝即t＝或t＝5时，以2为半径的E 与直线A′O的位置关系．而求圆与直线的位置关系正是我们熟悉的内容，过E1和E2作直线A′O的垂线段并求出其长度，就可利用直线与圆的位置关系定理确定它们各自的位置关系．

看了上面的解说，你是不是有茅塞渐开的感觉？其实，只要我们在平时的数学学习中，打下了较好的知识基础，形成了较强的思维能力，善于将综合的问题加以分解，对解题资源进行有效的整合就能在考试中立于不败之地．