反比例函数

1 温习知识要点

1．1 反比例函数的概念

一般地，函数 (k为常数，且k≠0)，称y是x的反比例函数. 其中，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值y的取值范围是y≠0的一切实数.

1．2 反比例函数的图象与系数符号的关系及性质

反比例函数y=k[]x(k≠0)的图象是关于坐标原点旋转对称的两支双曲线. 当k>0时，这两个分支分别位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k

1．3 反比例函数解析式的确定

反比例函数解析式的确定方法：待定系数法. 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：设、列、解. 即根据题意，先设出函数的解析式为y=k[]x(k≠0),解关于k的方程，求出系数k，然后写出解析式.

1．4 用反比例函数解决实际问题

反比例函数在现实生活中普遍存在. 先将实际问题转化为反比例函数，再根据已知条件列出解析式，同时注意自变量的取值必须符合实际问题.

2 链接中考热点

函数知识是每年中考的重点知识，是必考的主要内容. 本节主要考查结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数解析式. 能正确画出反比例函数的图象，利用解析式y=k[]x(k≠0)探索并理解其性质(k>0或k

3 名题回放热身

3．1 根据已知条件确定反比例函数的解析式

例1 (2006年重庆)如图1，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为B(-20[]3，5)，D是AB边上的一点. 将ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_____.

解析 解决本题的关键是求出点E的坐标.

点评 本题是求反比例函数的解析式. 因解析式中有一个待定系数，这样只需一个独立的条件，所以利用已知条件求出对称点的坐标即可.

3．2 根据几何意义确定函数比例系数

例2 (2003年上海)平面直角坐标系内，从反比例函数y=k[]x(k>0)的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的面积为12，那么该函数的解析式为_____.

解析 由反比例函数的几何意义知，矩形面积等于反比例函数系数|k|,又因为k>0，所以k=12,所以该函数的解析式为y=12[]x.

点评 反比例函数y=k[]x(k≠0)中的比例系数k的几何意义是过双曲线上任意一点作x、y轴的垂线段，所得矩形的面积为|k|.

3．3 根据图象和性质慎用函数的增减性

例3 (2006年宁夏)若A(-3,y1),B(-2,y2),C(-1,y3)三点都在函数y=-1[]x的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是( ).

A．y1

C．y1y3

解析 主要考查反比例函数的图象和性质. 解答时，应先画出y=-1[]x的图象，如图2，然后把A(-3,y1),B(-2,y2),C(-1,y3)三点在图中表示出来，依据数轴的特性，易知y1

点评 数形结合的思想方法在解题中能起到化繁为简，化难为易的作用. 这是因为“形”能直观启迪“数”的计算，“数”能准确澄清“形”的模糊.

3．4 根据函数的图象和性质探索变化规律

例4 (2006年南通)如图3，直线y=kx(k>0)与双曲线y=4[]x交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则2x1y2-7x2y1的值等于_____.

解析 因为点A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线y=kx上，所以y1=kx1,y2=kx2,所以x1y2=x2y1. 又因为点A(x1,y1),B(x2,y2)又在双曲线xy=4上，所以x1y1=4，x2y2=4,所以x1y2・x2y1=16,所以(x2y1)2=16,而x2y1

点评 根据反比例函数解析式xy=k(k≠0)的特征，两变量的乘积等于常量. 再根据图象上的点满足函数解析式，两者有机结合，经过适当变式，从而发现变化规律.

3．5 根据图象信息确定系数符号

例5 (2005年株洲)在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=k[]x与一次函数y=kx-k的图象大致是( ).

点评 由函数图象确定系数符号时，要仔细观察图象，从图象中获取尽可能多的有用信息以助于解题.

3．6 根据图象信息解决实际问题

例6 (2006年湖北十堰)某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地. 为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干木块，构筑成一条临时近道. 木板对地面的压强p(Pa)是本板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图4所示.

(1)请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围；

(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？

(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？

解析 首先应求出反比例函数解析式，可由图4上点的坐标A(1.5,400)，求出函数式中待定系数k即可. 其次，利用反比例函数的解析式及图象分步解决问题.

(1)设所求p与S之间的函数解析式为p=k[]S(k>0),因为点A(1.5,400)在函数图象上，所以400=k[]1.5,得k=600. 所以p与S之间的函数解析式为p=600[]S,其中S的取值范围为S>0.

(2)当S=0.2时，p=600[]0.2=3000,即压强是3000Pa.

(3)由题意知：600[]S≤6000,所以S≥0.1，即木板面积至少要有0.1m2.

点评 通过函数图象上点的坐标，求函数解析式，再由函数解析式，求图象上点的横(纵)坐标，就是解决这类问题的基本方法.

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”